Erklärung — Sinus, Kreisfrequenz und Kraftgesetz
Die Zeit-Ort-Funktion
Bei einer harmonischen Schwingung lässt sich die Auslenkung zu jedem Zeitpunkt mit einer Sinusfunktion berechnen. Startet die Schwingung in der Ruhelage, gilt:
- Sinuskurve:Eine Schwingung heißt harmonisch, wenn ihr Weg-Zeit-Diagramm eine reine Sinuskurve ist.
- Zeit-Ort-Funktion:Startet sie in der Ruhelage, gilt \(y(t)=\hat{y}\sin(\omega t)\) mit der Amplitude \(\hat{y}\).
- Kreisfrequenz:\(\omega=\tfrac{2\pi}{T}=2\pi f\) gibt an, wie schnell die Sinuskurve durchlaufen wird.
- Kraftgesetz:Ursache ist die rücktreibende Kraft \(F=-D\,y\), die immer zur Ruhelage zurückzeigt.
\(y(t)=\hat{y}\cdot\sin(\omega\, t)\)
\(\hat{y}\): Amplitude, \(\omega\): Kreisfrequenz, t: Zeit
Die Kreisfrequenz \(\omega\) (sprich: omega) gibt an, wie schnell die Sinuskurve durchlaufen wird. Sie hängt direkt mit Periodendauer und Frequenz zusammen:
\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f\)
Einheit: \(\tfrac{1}{\mathrm s}\) (rad/s)
Amplitude, Periodendauer und Zeitpunkt bestimmen den Marker auf der Sinuskurve. Der orangene Marker zeigt die Auslenkung y zu diesem Zeitpunkt.
Warum gerade ein Sinus?
Eine Schwingung ist genau dann harmonisch, wenn die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist und stets zur Ruhelage zurückzeigt. Das ist das lineare Kraftgesetz:
\(F=-D\cdot y\)
D: Richtgröße; das Minuszeichen zeigt: Kraft entgegen der Auslenkung
Auslenkung zu einem Zeitpunkt
Eine harmonische Schwingung hat \(\hat{y}=5{,}0\,\mathrm{cm}\) und \(T=2{,}0\,\mathrm s\). Welche Auslenkung herrscht bei \(t=0{,}5\,\mathrm s\)?
Allgemeine Hinweise
Omega
\(\omega=2\pi f\). Erst \(\omega\) berechnen, dann in die Sinusfunktion einsetzen.
Taschenrechner
Bei \(\sin(\omega t)\) muss der Rechner im Bogenmaß (RAD) stehen!
Minuszeichen
\(F=-D y\): Die Kraft zeigt immer zur Ruhelage zurück.
Vertiefung
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