Erklärung — Zeiger und Projektion
Der rotierende Zeiger
Stelle dir einen Pfeil — den Zeiger — der Länge \(\hat{y}\) vor, der sich gleichmäßig im Kreis dreht. Sein Drehwinkel heißt Phasenwinkel \(\varphi\) und wächst gleichmäßig mit der Zeit:
- Zeiger:Ein Pfeil der Länge \(\hat{y}\) dreht sich gleichmäßig im Kreis.
- Phasenwinkel:Sein Drehwinkel wächst gleichmäßig mit der Zeit: \(\varphi=\omega t\), ein voller Umlauf sind \(2\pi\).
- Projektion:Die senkrechte Projektion der Zeigerspitze auf die y-Achse ist die momentane Auslenkung.
- Herkunft des Sinus:Aus dem rechtwinkligen Dreieck folgt \(y=\hat{y}\sin(\omega t)\) — der Zeiger zeichnet die Schwingung.
\(\varphi=\omega\, t\)
\(\omega\): Kreisfrequenz, t: Zeit; ein voller Umlauf entspricht \(\varphi=2\pi\) (360°)
Der Zeiger rotiert gleichmäßig oder wird über den Phasenwinkel eingestellt. Der orange Balken ist seine Projektion auf die senkrechte Achse — er erzeugt Punkt für Punkt die Sinuskurve.
Die Projektion ist die Schwingung
Projiziert man die Zeigerspitze senkrecht auf die y-Achse, erhält man genau die momentane Auslenkung der Schwingung. Aus dem rechtwinkligen Dreieck im Kreis folgt:
\(y=\hat{y}\cdot\sin\varphi=\hat{y}\cdot\sin(\omega t)\)
Die Projektion des gleichmäßig rotierenden Zeigers ist die Sinusschwingung
Auslenkung aus dem Phasenwinkel
Ein Zeiger der Länge \(\hat{y}=4{,}0\,\mathrm{cm}\) hat sich um \(\varphi=30^\circ\) gedreht. Welche Auslenkung zeigt die Schwingung?
Allgemeine Hinweise
Zeigerlänge
Die Länge des Zeigers ist immer die Amplitude \(\hat{y}\).
Projektion
y ist die senkrechte Projektion der Zeigerspitze auf die y-Achse.
Phase
\(\varphi=\omega t\) im Bogenmaß; 360° entsprechen \(2\pi\).
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