Übung — AFB III

a) Nach dem ersten newtonschen Gesetz (Trägheitsprinzip) bewegt sich ein Körper genau dann geradlinig und gleichförmig, wenn die resultierende Kraft null ist. Die nach Osten wirkende Kraft muss also die bisher nach Westen beschleunigende Kraft aufheben: F = m · a ⇒ m = F : a = 1000 N : 22 m/s² ≈ 45,45 kg.

b) Kräfte wirken komponentenweise. Zeigt die Beschleunigung nach Nordwesten, so liegt nur der Anteil cos(45°) · 22 m/s² ≈ 15,56 m/s² auf der Ost-West-Achse; der Nord-Anteil bleibt bestehen (deshalb fliegt das Schiff danach nach Norden). Die 1000 N müssen nur diesen kleineren Anteil kompensieren: m = 1000 N : 15,56 m/s² ≈ 64,3 kg. Die Masse ist also größer — bei gleicher Kraft ist die Beschleunigung, die sie erzeugt, kleiner.

Musterlösung: Kräfte sind Vektoren; addiert werden sie, indem man die Pfeile aneinanderhängt oder komponentenweise rechnet. Der Summenpfeil ist die direkte Verbindung vom Angriffspunkt zur Spitze des zweiten Pfeils, die Summe der Einzelbeträge dagegen die Länge des Umwegs über die Zwischenecke. Der direkte Weg ist nie länger als der Umweg, also gilt |F₁ + F₂| ≤ |F₁| + |F₂|. Gleichheit tritt nur ein, wenn beide Kräfte gleich gerichtet sind; zeigen sie in verschiedene Richtungen, „arbeiten“ die Querkomponenten teilweise gegeneinander.

Zahlenbeispiel: |F₁| ≈ 2267,16 N, |F₂| ≈ 1421,27 N, Summe der Beträge ≈ 3688,43 N. Tatsächlich ist F₁ + F₂ = (2600 N | 800 N) mit dem Betrag 2720,29 N — deutlich weniger. Bei entgegengesetzter Richtung wäre die resultierende Kraft sogar null.

a) Das Wechselwirkungsprinzip sagt: Übt das Pferd auf die Kutsche die Kraft F aus, so übt die Kutsche auf das Pferd die gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft aus. Diese beiden Kräfte greifen aber an verschiedenen Körpern an und können sich deshalb nicht gegenseitig aufheben. Ob sich die Kutsche bewegt, entscheidet nur die resultierende Kraft an der Kutsche: Zugkraft minus Reibung. Ist sie größer als null, wird die Kutsche nach dem Aktionsprinzip beschleunigt.

b) Die Reaktionskraft macht sich an den Hufen des Pferdes und an den Reifen der Kutsche bemerkbar: Das Pferd drückt sich gegen den Boden ab, der Boden drückt zurück — diese Reibungskraft treibt das Gespann an.

c) In der Schwerelosigkeit gäbe es keinen Boden zum Abstoßen und praktisch keine Reibung. Pferd und Kutsche würden aufeinander zutreiben und sich in der Mitte treffen — der Schwerpunkt des Gesamtsystems bliebe in Ruhe. Fortbewegung „am eigenen Zopf“ ist unmöglich.

Richtig ist (3): Die Anzeige bleibt gleich. Begründung mit dem Wechselwirkungsprinzip: Um zu schweben, müssen die Fliegen mit ihren Flügeln Luft nach unten beschleunigen. Die Luft übt dann auf die Fliegen eine gleich große Kraft nach oben aus, die genau ihre Gewichtskraft ausgleicht. Der nach unten gerichtete Anteil wird über die eingeschlossene Luft auf den Glasboden übertragen. Da das Glas verschlossen ist, bleibt die Summe aller Gewichtskräfte im System gleich — die Waage zeigt in beiden Fällen denselben Wert.

Beachte: Nur während des Startens oder Landens (also solange die Fliegen beschleunigt werden) schwankt die Anzeige kurz — im gleichmäßigen Schwebeflug nicht.

Musterlösung: Der Antrieb kann nicht funktionieren. Nach dem Wechselwirkungsprinzip zieht die Winde mit der Kraft F an der Stoßstange, und die Stoßstange zieht mit der gleich großen, entgegengesetzten Kraft an der Winde. Beide Kräfte greifen innerhalb desselben Systems (des Autos) an; ihre Summe ist null. Nach dem Aktionsprinzip F = m · a ist die Beschleunigung des Gesamtsystems damit ebenfalls null: Das Auto bleibt stehen (bzw. behält nach dem Trägheitsprinzip seinen Bewegungszustand bei).

Ein echtes Auto beschleunigt, weil die Reifen eine Kraft auf die Straße nach hinten ausüben und die Straße als Reaktion das Auto nach vorne drückt — hier greift die Gegenkraft an einem Körper außerhalb des Systems an. Genauso funktionieren Rakete (Ausstoß der Gase), Schwimmen und Gehen.

a) Nach dem Trägheitsprinzip behält ein Körper seinen Bewegungszustand bei, solange keine Kraft auf ihn wirkt. Das Auto wird durch die Bremskraft verzögert, auf den Körper der Person wirkt zunächst aber keine vergleichbare Kraft — er bewegt sich mit unveränderter Geschwindigkeit weiter und wird deshalb relativ zum Auto nach vorne geschleudert. Der Gurt übt diese fehlende Kraft aus und verzögert den Körper gemeinsam mit dem Auto.

b) Die Geschwindigkeitsänderung liegt beim Aufprall fest. Über a = v : t und F = m · a gilt: Je länger der Verzögerungsvorgang dauert, desto kleiner ist die Beschleunigung und damit die Kraft. Knautschzone, Gurtstraffer und Airbag verlängern genau diese Zeit (und den Weg) — die Kraft auf die Insassen sinkt entsprechend.

c) a = 13,89 m/s : 0,1 s = 138,9 m/s²; F = 70 kg · 138,9 m/s² ≈ 9723 N. Zum Vergleich: Die Gewichtskraft dieser Person beträgt nur 686,7 N — die Belastung ist also rund 14-mal so groß.

Musterlösung: Der Vektor v = (x | y) führt vom Angriffspunkt aus x Einheiten in waagerechter und y Einheiten in senkrechter Richtung. Ergänzt man diese beiden Strecken, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten x und y; der Vektorpfeil selbst ist die Hypotenuse, und seine Länge ist definitionsgemäß der Betrag |v|. Nach dem Satz des Pythagoras gilt |v|² = x² + y², also |v| = √(x² + y²). Die negative Wurzel entfällt, weil ein Betrag als Länge nie negativ ist.

Negative Koordinaten ändern nichts: Beim Quadrieren wird das Vorzeichen aufgehoben (x² = (−x)²). Ein Pfeil nach links ist genauso lang wie der entsprechende Pfeil nach rechts — die Formel misst nur die Länge, nicht die Richtung.

Beweis: Wir legen F₂ auf die x-Achse. Die Komponenten von F₁ sind dann x₁ = F₁ · cos α (parallel zu F₂) und x₂ = F₁ · sin α (senkrecht dazu).

Nach Pythagoras gilt für die Resultierende:
F_R² = (F₂ + F₁cos α)² + (F₁sin α)²
⇔ F_R² = F₂² + 2·F₂·F₁cos α + F₁²cos²α + F₁²sin²α
⇔ F_R² = F₂² + 2·F₂·F₁cos α + F₁²·(cos²α + sin²α)
⇔ F_R² = F₁² + F₂² + 2·F₁·F₂·cos α
⇒ F_R = √(F₁² + F₂² + 2·F₁·F₂·cos α)

Kontrolle an bekannten Fällen: Für α = 0° (gleiche Richtung) wird cos α = 1 und F_R = F₁ + F₂. Für α = 180° (entgegengesetzt) wird cos α = −1 und F_R = |F₁ − F₂|. Für α = 90° bleibt der bekannte Pythagoras übrig.

a) Stiere: x-Anteil je cos(45°) · 3 kN ≈ 2,12 kN, zusammen ≈ 4,24 kN. Pferde: die beiden schrägen je cos(15°) · 1,8 kN ≈ 1,739 kN, dazu 1,8 kN vom mittleren Pferd, zusammen ≈ 5,28 kN. Die y-Komponenten heben sich in beiden Gruppen paarweise auf.

b) Die Pferde gewinnen, obwohl jedes einzelne Pferd schwächer zieht als ein Stier (1,8 kN gegen 3 kN) und die Stiere zusammen sogar 6 kN aufbringen. Entscheidend ist nur die Komponente entlang der Zugrichtung: Wer schräg zieht, verliert den Faktor cos(Winkel). Bei 45° bleiben nur rund 71 % der Kraft übrig, bei 15° dagegen 97 %. Das ist der Grund, warum man beim Tauziehen möglichst in einer Linie zieht.

a) Ja. Nach dem Trägheitsprinzip bleibt ein Körper in Ruhe, wenn die resultierende Kraft null ist — nicht, wenn gar keine Kräfte wirken. Drei Kräfte können sich gegenseitig vollständig aufheben, wenn ihre Vektorsumme null ergibt, ihre Pfeile also aneinandergehängt ein geschlossenes Dreieck bilden.

b) Beispiel: F₁ = (3 N | 0 N), F₂ = (0 N | 4 N), F₃ = (−3 N | −4 N). Summe: (0 N | 0 N). Die Beträge sind 3 N, 4 N und 5 N — keine Kraft ist null. Ein Alltagsbeispiel ist die Tasche aus AFB II, A6: zwei Zugkräfte und die Gewichtskraft ergeben zusammen null.

c) „In Ruhe“ ist eine Aussage über den Bewegungszustand, nicht über die Kräfte. Aus a = 0 folgt mit F = m · a nur, dass die Summe aller Kräfte null ist. Deshalb wird bei jeder Kräfteskizze zuerst gefragt: Welche Kräfte greifen an — und heben sie sich auf?