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Übung — AFB II

Zehn Anwendungsaufgaben aus Verkehr, Technik und Alltag: Größen sortieren, Formeln verketten, Einheiten umrechnen — und am Ende die Frage beantworten, die gestellt wurde.

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Aufgabenblock — AFB II

Hier geht es um Anwenden und Übertragen: Die Aufgaben nennen dir nicht mehr direkt, welche Formel du brauchst — du musst erst Gegeben und Gesucht sortieren, dann zwei oder drei Formeln zu einer Kette verbinden. Typisch für die Klausur: Einheiten umrechnen (t → kg, km/h → m/s), Kräfte erst zusammensetzen und dann einsetzen. Zu jeder Aufgabe gibt es drei gestufte Tipps — nimm sie erst, wenn du wirklich feststeckst. Rechne mit g = 9,81 m/s² und runde auf zwei Nachkommastellen.

A1
Boeing 747 — wie lang muss die Startbahn sein?
AFB II

Die Masse einer beladenen Boeing 747 beträgt 320 t. Beim Start erzeugen ihre vier Triebwerke zusammen eine Kraft von 1000 kN. Zum Abheben braucht das Flugzeug die Geschwindigkeit 300 km/h.

a) Berechne die Beschleunigung. b) Berechne die Zeit bis zum Abheben. c) Berechne die minimale Länge der Startbahn.

m/s²
s
m
Ansatz: Erst alle Größen in Grundeinheiten: 320 t = 320 000 kg, 1000 kN = 1 000 000 N, 300 km/h = 83,33 m/s. Dann die Kette a = F : m → t = v : a → s = ½ · a · t².
Rechenweg: a = 1 000 000 N : 320 000 kg = 3,125 m/s². t = 83,33 m/s : 3,125 m/s² ≈ 26,67 s. s = ½ · 3,125 · 26,67² ≈ 1111 m.
Lösung: a = 3,125 m/s², t ≈ 26,67 s, s ≈ 1111 m.
Vollständige Lösung
Gegeben: m = 320 t = 320 000 kg, F = 1000 kN = 1 000 000 N, v = 300 km/h = 83,33 m/s.
a = F : m = 1 000 000 N : 320 000 kg = 3,125 m/s²
Aus v = a · t folgt t = v : a = 83,33 : 3,125 ≈ 26,67 s
s = ½ · a · t² = ½ · 3,125 · (26,67 s)² ≈ 1111 m
Hinweis: Reale Startbahnen sind länger — Reibung, Luftwiderstand und Sicherheitsreserven kommen dazu.
F = 1000 kN m = 320 t s = ? · v = 300 km/h
Start aus dem Stand
A2
Motorrad — Anfangsgeschwindigkeit aus dem Bremsweg
AFB II

Ein Motorrad mit der Masse 600 kg wird auf einer Strecke von 50 m durch die konstante Bremskraft 900 N bis zum Stillstand abgebremst.

a) Berechne den Betrag der Bremsbeschleunigung. b) Berechne die Bremsdauer. c) Berechne die Anfangsgeschwindigkeit.

m/s²
s
m/s
Ansatz: Bremsen ist derselbe Vorgang wie Beschleunigen, nur rückwärts: Aus a = F : m bekommst du die Verzögerung. Die Strecke liefert dann über s = ½ · a · t² die Zeit — nach t umstellen.
Rechenweg: a = 900 N : 600 kg = 1,5 m/s². Aus s = ½ · a · t² folgt t = √(2s : a) = √(100 : 1,5) ≈ 8,165 s. Damit v = a · t = 1,5 · 8,165 ≈ 12,25 m/s.
Lösung: a = 1,5 m/s², t ≈ 8,17 s, v ≈ 12,25 m/s (das sind rund 44 km/h).
Vollständige Lösung
a = F : m = 900 N : 600 kg = 1,5 m/s²
t = √(2 · s : a) = √(2 · 50 m : 1,5 m/s²) = √66,67 s² ≈ 8,165 s
v = a · t = 1,5 m/s² · 8,165 s ≈ 12,25 m/s ≈ 44,1 km/h
Denkweise: Der Bremsvorgang ist die zeitlich umgekehrte beschleunigte Bewegung — deshalb gelten dieselben Formeln.
F = 900 N s = 50 m · m = 600 kg
Bremsen bis zum Stillstand
A3
Torschuss — Geschwindigkeit des Balls
AFB II

Bei einem Torschuss trifft ein Spieler den Ball (m = 0,5 kg) mit einer Schusskraft von 0,5 kN. Der Kontakt zwischen Fuß und Ball dauert etwa 0,02 s.

a) Berechne die Beschleunigung des Balls. b) Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Ball den Fuß verlässt.

m/s²
m/s
Ansatz: Zwei Formeln nacheinander: F = m · a liefert die Beschleunigung, v = a · t liefert daraus die Geschwindigkeit. Vorher 0,5 kN in Newton umrechnen.
Rechenweg: a = F : m = 500 N : 0,5 kg = 1000 m/s². v = a · t = 1000 m/s² · 0,02 s = 20 m/s.
Lösung: a = 1000 m/s², v = 20 m/s (72 km/h).
Vollständige Lösung
Gegeben: F = 0,5 kN = 500 N, m = 0,5 kg, t = 0,02 s. Gesucht: v.
a = F : m = 500 N : 0,5 kg = 1000 m/s²
v = a · t = 1000 m/s² · 0,02 s = 20 m/s = 72 km/h
Beachte: Die riesige Beschleunigung wirkt nur 0,02 s lang — deshalb bleibt die Geschwindigkeit „normal“.
m = 0,5 kg F = 500 N t = 0,02 s
Kurzer Stoß, große Kraft
A4
U-Bahn — Kraft beim Anfahren
AFB II

Eine U-Bahn mit der Masse 200 t beschleunigt aus dem Stand innerhalb von 8 s auf 36 km/h.

a) Rechne die Geschwindigkeit in m/s um. b) Berechne die Beschleunigung. c) Berechne die dafür nötige Kraft.

m/s
m/s²
N
Ansatz: Erst umrechnen (km/h : 3,6 und t · 1000), dann a = v : t, zuletzt F = m · a.
Rechenweg: 36 km/h : 3,6 = 10 m/s. a = 10 m/s : 8 s = 1,25 m/s². F = 200 000 kg · 1,25 m/s² = 250 000 N.
Lösung: v = 10 m/s, a = 1,25 m/s², F = 250 000 N = 250 kN.
Vollständige Lösung
v = 36 km/h : 3,6 = 10 m/s; m = 200 t = 200 000 kg
Aus v = a · t folgt a = v : t = 10 m/s : 8 s = 1,25 m/s²
F = m · a = 200 000 kg · 1,25 m/s² = 250 000 N = 250 kN
m = 200 t 0 → 36 km/h in 8 s
Anfahren aus dem Stand
A5
Frachtschiff — zwei Schlepper
AFB II

Ein Frachtschiff mit der Masse 600 t wird von zwei Schleppern gezogen. Der erste zieht mit F1 = (1500 N | 1700 N), der zweite mit F2 = (1100 N | −900 N).

a) Berechne die Beträge der beiden Einzelkräfte. b) Berechne die resultierende Kraft und ihren Betrag. c) Berechne die Beschleunigung des Schiffs (in 10−3 m/s²).

N
N
N
N
N
· 10⁻³ m/s²
Ansatz: Beträge einzeln mit |F| = √(x² + y²). Für die resultierende Kraft zuerst die Vektoren addieren — nicht die Beträge! Erst danach den Betrag der Summe bilden und in F = m · a einsetzen.
Rechenweg: |F1| = √(1500² + 1700²) = √5 140 000 ≈ 2267,16 N. |F2| = √(1100² + (−900)²) = √2 020 000 ≈ 1421,27 N. FR = (1500 + 1100 | 1700 − 900) = (2600 | 800), |FR| = √7 400 000 ≈ 2720,29 N. a = 2720,29 N : 600 000 kg ≈ 0,00453 m/s².
Lösung: 2267,16 N; 1421,27 N; FR = (2600 N | 800 N); 2720,29 N; a ≈ 4,53 · 10−3 m/s².
Vollständige Lösung
|F1| = √(1500² + 1700²) N = √5 140 000 N ≈ 2267,16 N
|F2| = √(1100² + (−900)²) N = √2 020 000 N ≈ 1421,27 N
FR = F1 + F2 = (2600 N | 800 N), |FR| = √(2600² + 800²) N ≈ 2720,29 N
a = F : m = 2720,29 N : 600 000 kg ≈ 0,00453 m/s² = 4,53 · 10−3 m/s²
Beachte: 2267,16 + 1421,27 = 3688 N wäre falsch — Beträge darf man nicht addieren, weil die Kräfte in verschiedene Richtungen ziehen.
F₁ F₂ FR m = 600 t
Zwei Zugkräfte, eine Wirkung
A6
Tasche tragen — Kräfte zerlegen
AFB II

Zwei gleich große Schüler tragen gemeinsam eine Tasche. Jeder zieht mit 200 N; zwischen den beiden Kräften liegt ein Winkel von 90°, jede Kraft ist also um 45° gegen die Senkrechte geneigt.

a) Berechne die beiden Koordinaten von F1. b) Berechne den Betrag der Gewichtskraft der Tasche. c) Berechne die Masse der Tasche.

N
N
N
kg
Ansatz: Zeichne das rechtwinklige Dreieck aus Kraftpfeil, waagerechter und senkrechter Komponente. Der Winkel wird gegen die Senkrechte gemessen: x = sin(45°) · |F|, y = cos(45°) · |F|. Der linke Schüler zieht nach links — seine x-Koordinate ist negativ.
Rechenweg: sin(45°) · 200 N ≈ 141,42 N und cos(45°) · 200 N ≈ 141,42 N, also F1 = (−141,42 N | 141,42 N) und F2 = (141,42 N | 141,42 N). Die Summe ist (0 N | 282,84 N) — sie hält die Tasche. Die Gewichtskraft zeigt genau entgegengesetzt.
Lösung: F1 = (−141,42 N | 141,42 N), |FG| = 282,84 N, m ≈ 28,83 kg.
Vollständige Lösung
sin(45°) = x1 : |F1| ⇒ x1 = sin(45°) · 200 N ≈ 141,42 N
cos(45°) = y1 : |F1| ⇒ y1 = cos(45°) · 200 N ≈ 141,42 N
F1 = (−141,42 N | 141,42 N), F2 = (141,42 N | 141,42 N)
F1 + F2 = (0 N | 282,84 N) ⇒ FG = (0 N | −282,84 N), also |FG| = 282,84 N
m = FG : g = 282,84 N : 9,81 m/s² ≈ 28,83 kg
Merke: Die waagerechten Anteile heben sich auf — sonst würde die Tasche seitlich wegziehen.
F₁ F₂ 45° FG m = ?
Zwei Zugkräfte halten die Tasche
A7
Transporter am Berg — resultierende Kraft
AFB II

Ein Transporter der Masse 2100 kg fährt bergauf. Der Motor erzeugt eine nach vorne gerichtete Kraft von 2000 N, die rückwärts gerichtete Hangabtriebskraft beträgt 1200 N.

a) Berechne die resultierende Kraft. b) Berechne die Beschleunigung des Transporters.

N
m/s²
Ansatz: Zwei Kräfte auf einer Wirkungslinie in entgegengesetzter Richtung: Die kleinere wird von der größeren abgezogen. Erst danach F = m · a benutzen.
Rechenweg: Fres = 2000 N − 1200 N = 800 N. a = 800 N : 2100 kg ≈ 0,38 m/s².
Lösung: Fres = 800 N, a ≈ 0,38 m/s².
Vollständige Lösung
Fres = 2000 N − 1200 N = 800 N (bergauf gerichtet)
a = Fres : m = 800 N : 2100 kg ≈ 0,38 m/s²
Typischer Fehler: mit 2000 N statt mit 800 N rechnen. Beschleunigend wirkt immer nur die resultierende Kraft.
2000 N 1200 N m = 2100 kg
Gegeneinander wirkende Kräfte
A8
Vollbremsung — Kraft auf das Auto
AFB II

Ein Auto mit der Masse 1200 kg fährt mit 50 km/h und kommt bei einer Vollbremsung in 1 s zum Stillstand.

a) Rechne die Geschwindigkeit in m/s um. b) Berechne die Verzögerung. c) Berechne die dabei wirkende Kraft.

m/s
m/s²
N
Ansatz: 50 km/h : 3,6 ergibt die Geschwindigkeit in m/s. Weil das Auto in 1 s auf 0 abbremst, ist a = v : t. Danach F = m · a.
Rechenweg: v = 50 : 3,6 ≈ 13,89 m/s. a = 13,89 m/s : 1 s = 13,89 m/s². F = 1200 kg · 13,89 m/s² ≈ 16 666,67 N.
Lösung: v ≈ 13,89 m/s, a ≈ 13,89 m/s², F ≈ 16 666,67 N ≈ 16,7 kN.
Vollständige Lösung
v = 50 km/h : 3,6 ≈ 13,89 m/s
a = v : t = 13,89 m/s : 1 s ≈ 13,89 m/s²
F = m · a = 1200 kg · 13,89 m/s² ≈ 16 666,67 N
Einordnung: Diese Kraft ist größer als die Gewichtskraft des Autos (11 772 N) — deshalb sind Gurt und Knautschzone so wichtig.
F = ? m = 1200 kg 50 km/h → 0 in 1 s
Bremskraft beim Aufprallschutz
A9
Zwei Schlepper mit Kursangaben
AFB II

Ein liegengebliebenes Schiff wird von zwei Schleppern gezogen. Schlepper A zieht mit 20 kN in Richtung N65°O, Schlepper B mit 15 kN in Richtung S80°O. Die Winkel sind jeweils von der Nord-Süd-Achse aus gemessen; Osten ist die positive x-Richtung, Norden die positive y-Richtung.

a) Stelle beide Kräfte als Vektoren dar. b) Berechne die resultierende Kraft und ihren Betrag.

kN
kN
kN
kN
kN
Ansatz: Zeichne für jede Kraft das rechtwinklige Dreieck. Weil der Winkel von der Nord-Süd-Achse aus gemessen wird, gehört der Sinus zur Ost-West-Koordinate (x) und der Cosinus zur Nord-Süd-Koordinate (y). Schlepper B zieht nach Süden — seine y-Koordinate ist negativ.
Rechenweg: xA = sin(65°) · 20 kN ≈ 18,13 kN, yA = cos(65°) · 20 kN ≈ 8,45 kN. xB = sin(80°) · 15 kN ≈ 14,77 kN, yB = −cos(80°) · 15 kN ≈ −2,60 kN. Summe: (32,90 kN | 5,85 kN).
Lösung: FA = (18,13 kN | 8,45 kN), FB = (14,77 kN | −2,60 kN), FR = (32,90 kN | 5,85 kN), |FR| ≈ 33,41 kN.
Vollständige Lösung
sin(65°) = xA : 20 kN ⇒ xA ≈ 18,13 kN; cos(65°) = yA : 20 kN ⇒ yA ≈ 8,45 kN
sin(80°) = xB : 15 kN ⇒ xB ≈ 14,77 kN; cos(80°) = |yB| : 15 kN ⇒ yB ≈ −2,60 kN (Richtung Süden)
FR = FA + FB ≈ (32,90 kN | 5,85 kN)
|FR| = √(32,90² + 5,85²) kN ≈ 33,41 kN
N S O 65° FA = 20 kN 80° FB = 15 kN
Kurse in Vektoren übersetzen
A10
Ortsfaktor — Nordpol und Äquator
AFB II

Auf der Erde wurden diese Fallbeschleunigungen gemessen: Nordpol gN = 9,83 m/s², Bonn gB = 9,81 m/s², Äquator gÄ = 9,78 m/s².

a) Welche Masse muss ein Körper haben, damit sich seine Gewichtskräfte am Nordpol und am Äquator um genau 1,00 N unterscheiden? b) Wie groß ist die Gewichtskraft dieses Körpers in Bonn?

kg
N
Ansatz: Schreibe die Differenz der beiden Gewichtskräfte auf: 1 N = m · gN − m · gÄ. Klammere m aus.
Rechenweg: 1 N = m · (9,83 − 9,78) m/s² = m · 0,05 m/s² ⇒ m = 1 N : 0,05 m/s² = 20 kg. In Bonn: F = 20 kg · 9,81 m/s² = 196,2 N.
Lösung: m = 20 kg; FG,Bonn = 196,2 N.
Vollständige Lösung
1 N = FN − FÄ = m · gN − m · gÄ = m · (gN − gÄ)
m = 1 N : (9,83 − 9,78) m/s² = 1 N : 0,05 m/s² = 20 kg
FG,Bonn = 20 kg · 9,81 m/s² = 196,2 N
Warum ist g am Äquator kleiner? Die Erde ist an den Polen abgeplattet — am Äquator ist man weiter vom Erdmittelpunkt entfernt; dazu kommt die Wirkung der Erdrotation.
Nordpol · 9,83 Bonn · 9,81 Äquator · 9,78 Ortsfaktor g in m/s²
g hängt vom Ort ab

Wie war es?

Wie sicher fühlst du dich nach diesen 10 Anwendungsaufgaben?