Typische Fehler

Richtig: In λ = h/p steht nicht die Geschwindigkeit, sondern der Impuls p = m·v. Bei gleicher Geschwindigkeit entscheidet also allein die Masse — und die steht im Nenner.

Das Proton (m_p = 1,67·10⁻²⁷ kg) ist rund 1800-mal schwerer als das Elektron (m_e = 9,11·10⁻³¹ kg). Es hat damit den rund 1800-fachen Impuls und die rund 1800-fach kleinere Wellenlänge.

Nur die Elektronenwellenlänge liegt damit in der Größenordnung des Netzebenenabstands im Graphit (d = 2,1·10⁻¹⁰ m) — deshalb funktioniert die Elektronenbeugung, mit Protonen bei gleicher Geschwindigkeit aber nicht.

Richtig: λ = h/(m·v) — die Geschwindigkeit steht im Nenner. λ ist also antiproportional zu v: doppelte Geschwindigkeit bedeutet halbe Wellenlänge, vierfache Geschwindigkeit ein Viertel.

Genau darauf beruht das Elektronenmikroskop: Hohe Beschleunigungsspannung bedeutet hohe Geschwindigkeit, kurze Wellenlänge und damit feine Auflösung. Mit der Vorstellung „schneller = längere Welle“ ließe sich dieses Gerät gar nicht erklären.

Auch der Umkehrschluss ist eine beliebte Prüfungsfrage: Soll λ = 0,10 nm erreicht werden, so folgt aus v = h/(m·λ) die nötige Geschwindigkeit v = 7,3·10⁶ m/s.

Richtig: Die Masse steht im Nenner von λ = h/(m·v). 1800-fache Masse bedeutet 1800-fachen Impuls und damit eine 1800-mal kleinere Wellenlänge. Aus 7,3·10⁻¹⁰ m werden rund 4·10⁻¹³ m.

Der Fehler ist derselbe wie bei Karte 2, nur mit der Masse statt der Geschwindigkeit — und er fällt hier besonders auf, weil die falsche Antwort mit 1,3·10⁻⁶ m auf eine Wellenlänge im Bereich sichtbaren Lichts führen würde. Beugung an einem Kristall wäre damit unmöglich, denn beobachtbar ist Beugung nur, wenn λ höchstens etwa so groß ist wie der Netzebenenabstand d.

Die Reihe zeigt zugleich: λ = h/p gilt für jedes Objekt mit Impuls. Beim Fußball ist die Wellenlänge nur so klein, dass sie sich nicht messen lässt — „nicht messbar“ ist aber nicht dasselbe wie „nicht vorhanden“.

Richtig: Es gilt 1 nm = 10⁻⁹ m. Also ist 2,4·10⁻¹⁰ m = 0,24·10⁻⁹ m = 0,24 nm — zehnmal kleiner als behauptet. Die Rechnung selbst war richtig: p = 2,73·10⁻²⁴ kg·m/s, λ = h/p = 2,4·10⁻¹⁰ m. Nur die letzte Zeile kippt das Ergebnis.

Der Fehler ist gefährlich, weil er das physikalische Argument zerstört: Elektronenbeugung funktioniert nur, weil λ in der Größenordnung des Netzebenenabstands d = 2,1·10⁻¹⁰ m liegt. Mit „2,4 nm“ wäre λ mehr als zehnmal größer als d — dann käme man mit sin α = λ/d auf einen Wert über 1, und Beugung wäre gar nicht beobachtbar.

Richtig: Abprallende Kugeln ergäben einen gleichmäßig auslaufenden Fleck ohne dunkle Zwischenräume. Beobachtet werden aber scharfe, konzentrische Ringe mit dunklen Bereichen dazwischen. Solche Maxima und Minima entstehen nur durch konstruktive und destruktive Interferenz — ein reines Wellenphänomen.

Die regelmäßig angeordneten Kohlenstoffatome wirken dabei wie ein Gitter; es ist dasselbe Muster, das auch Röntgenwellen an einem Kristall erzeugen. Es gilt sin α = λ/d mit dem Netzebenenabstand d = 2,1·10⁻¹⁰ m.

Warum Ringe und keine Punkte? Die Folie besteht aus sehr vielen winzigen Kriställchen in allen Drehlagen. Ihre Beugungsrichtungen bilden zusammen einen Kegel um die Strahlachse; dessen Schnitt mit dem Schirm ist ein Kreisring. Je Ebenenschar entsteht genau ein Ring.

Zwei häufige Anschlussfehler: Der Strahlstrom ändert nur die Helligkeit, nicht die Ringgröße. Und eine dickere Folie ändert die Geometrie ebenfalls nicht — der Gitterabstand bleibt derselbe, es wird nur heller.

Richtig: Es gilt r ~ λ ~ 1/√U, also r₂ = r₁ · √(U₁/U₂). Bei Verdopplung der Spannung bleibt der Faktor 1/√2 ≈ 0,71 übrig — der Radius sinkt auf rund 71 %, nicht auf 50 %.

Die Messreihe des Kapitels bestätigt das: Für U = 2,0 / 3,0 / 4,0 / 5,0 / 6,0 kV wurden r = 2,00 / 1,64 / 1,42 / 1,26 / 1,15 cm gemessen. Das Produkt r·√U ist mit 2,83 / 2,84 / 2,84 / 2,82 / 2,82 cm·√kV konstant. Bei dreifacher Spannung (2,0 → 6,0 kV) sinkt r also nur auf 1,15 cm und nicht auf ein Drittel.

Richtig: Hier wurde die Wurzel schlicht vergessen. Vierfache Spannung bedeutet den Faktor √4 = 2, also die Hälfte des Radius: r₂ = 3,6 cm : 2 = 1,8 cm.

Umgekehrt gefragt: Soll der Radius auf ein Drittel sinken (3,6 cm → 1,2 cm), so braucht man den Faktor 3 unter der Wurzel — und damit die neunfache Spannung: U₂ = 9 · 400 V = 3600 V.

Dasselbe gilt für die Wellenlänge selbst: λ = h/√(2·m_e·e·U). Bei U = 2,5 kV → 10 kV (Verhältnis 4) halbiert sich λ, und der zugehörige Radius geht von 2,4 cm auf 1,2 cm.

Richtig: Das Muster entsteht auch dann, wenn die Elektronen einzeln mit großem zeitlichem Abstand losgeschickt werden — es ist nie mehr als eines unterwegs. Ein Stoßpartner ist also gar nicht vorhanden.

Die Zahlen des Kapitels zeigen, wie leer die Apparatur ist: Der Weg von der Quelle zum Schirm beträgt s = 0,45 m, die Elektronen fliegen mit v = 3,0·10⁷ m/s. Die Flugdauer ist damit t = s/v = 1,5·10⁻⁸ s = 15 ns. Bei einer Rate von 1,0·10³ 1/s liegt zwischen zwei Elektronen im Mittel Δt = 1,0 ms.

Jedes Elektron interferiert deshalb mit sich selbst, nicht mit anderen. Genau das ist die Selbstinterferenz — und deshalb ist der Versuch mit vereinzelten Elektronen (Tonomura, 1989) das entscheidende Argument.

Richtig: Ein einzelnes Elektron hinterlässt genau einen punktförmigen Leuchtfleck — nie ein Muster. Das Streifenbild ist die Summe sehr vieler solcher Einzelereignisse.

Entscheidend: Die Lage der Streifen ändert sich dabei nie. Die Punkte füllen dasselbe Muster nur immer dichter aus. Schon der erste Treffer landet an einer Stelle, an der später ein helles Band liegt — vorhersagen lässt sich das aber nicht.

Deshalb ist der Versuch so aufwendig: Eine schwache Quelle mit 60 Elektronen pro Minute liefert in 50 min nur 3000 Treffer, das Muster ist gerade erahnbar. Für ein sauberes Bild braucht man Hunderttausende Ereignisse — mit einzelnen Elektronen gelang das erst 1989.

Richtig: ψ ist keine reale, verschmierte Ladungswolke, sondern eine Wahrscheinlichkeitsamplitude. Erst |ψ|² gibt an, wie wahrscheinlich das Elektron als ganzes Teilchen an einem Ort gefunden wird. Nachgewiesen wird immer ein Punkt, nie ein verschmierter Fleck.

Und ψ sagt über das einzelne Elektron nichts aus: Der konkrete Auftreffort bleibt offen. Diese Unbestimmtheit ist grundsätzlich und keine Folge ungenauer Messgeräte — auch bei vollständiger Kenntnis von ψ lässt sich der Einzelfall nicht vorhersagen.

Der Umkehrschluss „dann lässt sich gar nichts vorhersagen“ ist aber ebenso falsch. Die Häufigkeitsverteilung vieler Ereignisse ist sehr genau vorhersagbar: Erwartungswert = P · N. In der Messreihe des Kapitels wurden für die Streifen S1 bis S5 mit P = 0,05 / 0,20 / 0,50 / 0,20 / 0,05 bei N = 20 000 die Trefferzahlen 1017 / 3962 / 10 043 / 3971 / 1007 gemessen — im Streifen S2 also 3962 statt erwarteter 4000, eine Abweichung von unter 1 %.

Dunkle Streifen sind übrigens wirklich leer: Dort ist die Amplitude null, also P = 0 — kein Treffer, nicht „selten ein Treffer“.

Zwei Fehler in einem Satz.

Erstens: Die Wahrscheinlichkeit ist proportional zu |ψ|², nicht zu ψ. Doppelte Amplitude bedeutet also die vierfache Trefferdichte. Gemessen wird immer das Quadrat — deshalb sind Wellenberg und Wellental gleichwertig, obwohl ψ negativ werden darf.

Zweitens: In Treffer = P · N muss P als Anteil eingesetzt werden, nicht als Prozentzahl: 0,12 · 5000 = 600. Mit der Zahl 12 liegt man um den Faktor 100 daneben — und erhält mehr Treffer, als überhaupt Elektronen geschickt wurden. Das ist die einfachste Plausibilitätskontrolle der ganzen Seite.

Zur Einordnung: Bei 600 erwarteten Treffern liegt die typische Schwankung bei etwa √600 ≈ 25, also rund 4 %. Eine gemessene Zahl zwischen 575 und 625 ist damit völlig unauffällig.

Richtig: Genau das verbietet die Komplementarität (Niels Bohr). Welle und Teilchen sind zwei einander ergänzende Seiten desselben Quantenobjekts; welche Seite sichtbar wird, entscheidet der Versuchsaufbau — nie beide zugleich.

Ist der Weg bekannt, verschwindet die Interferenz. Auf dem Schirm bleiben zwei breite Streifen wie von zwei Einzelspalten. Die Gesamtzahl der Treffer bleibt dabei gleich, und die Einzeltreffer bleiben punktförmig — es wird nichts vernichtet, sondern nur umverteilt.

Entscheidend ist die grundsätzliche Verfügbarkeit der Weginformation, nicht ob jemand sie abliest: Ein eingebauter, aber ausgeschalteter Detektor ändert nichts. Ein zugeklebter Spalt liefert zwar dieselbe Weginformation, doch dann fehlt auch die zweite Teilwelle — das Ergebnis ist ein Einzelspaltbild, keine zwei getrennten Streifen.

Und es wird nichts „verwandelt“: Das Objekt bleibt dasselbe, nur die Frage des Experiments hat sich geändert. Misst der Detektor nur etwa jedes zweite Elektron, so addieren sich halbes Interferenzbild und halbes Teilchenbild, der Kontrast halbiert sich etwa — der Übergang ist stetig, nicht sprunghaft. Das Fulleren-Interferometer zeigt es an der Ofentemperatur: V ≈ 0,47 bei 900 K, 0,25 bei 2100 K, 0,12 bei 2400 K, 0,01 bei 3000 K.