Die De-Broglie-Wellenlänge

Erklärung — die De-Broglie-Gleichung

Die Formel von de Broglie

Wenn Elektronen eine Wellenlänge haben (6.1.1) — wie groß ist sie? Die Antwort gab Louis de Broglie 1924.

Idee:jedem Teilchen mit Impuls \(p=m\cdot v\) (Mechanik Kl. 11) gehört eine Wellenlänge \(\lambda\).
Wirkungsquantum:die Naturkonstante \(h=6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}\) verknüpft Teilchen- und Wellengröße.
Antiproportional:doppelte Geschwindigkeit → halbe Wellenlänge; das erklärt die engeren Ringe bei schnelleren Elektronen.
Makroskopisch:ein Tennisball hat \(\lambda\sim10^{-34}\,\mathrm m\) — nie messbar. Wellenverhalten zeigt sich nur bei winzigen Massen.

De-Broglie-Wellenlänge

\(\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m\,v}\)

\(h=6{,}626\cdot10^{-34}\,\mathrm{Js}\), p: Impuls, m: Masse, v: Geschwindigkeit

Die Materiewelle eines Elektrons wird kurzwelliger, je höher seine Geschwindigkeit ist — \(\lambda=\tfrac{h}{m\,v}\) nimmt ab. Verdoppelt man v, halbiert sich λ.

Geschwindigkeit v (10⁶ m/s)

Jedem Teilchen mit Impuls p gehört eine Wellenlänge \(\lambda=h/p\). Je schneller das Elektron, desto größer sein Impuls und desto kleiner seine Wellenlänge: λ und v sind antiproportional.

Wellenlänge eines Elektrons

Ein Elektron (\(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\)) fliegt mit \(v=1{,}0\cdot10^{6}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\). Wie groß ist seine Wellenlänge?

Formel\(\lambda=\dfrac{h}{m\,v}\)

Einsetzen\(\lambda=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot1{,}0\cdot10^{6}}\)

Ergebnis\(\lambda=7{,}3\cdot10^{-10}\,\mathrm m=0{,}73\,\mathrm{nm}\)

Wellenlänge aus der Beschleunigungsspannung

Formelzeichen:Energie heißt W, weil E die elektrische Feldstärke ist (1.2.1).

Herleitung:

\(e\,U=\tfrac12\,m\,v^{2}\)

| · \(2m\)

Das Feld überträgt \(W=e\,U\); alles wird Bewegungsenergie (1.2.3).

\(m^{2}v^{2}=2\,m\,e\,U\)

| \(\sqrt{\phantom{x}}\)

Beide Seiten mit \(2m\) multipliziert.

\(m\,v=\sqrt{2\,m\,e\,U}\)

| in \(\lambda=\tfrac{h}{m\,v}\)

Das ist der Impuls \(p\).

\(\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2\,m\,e\,U}}\)

Ergebnis

\(\lambda\sim\tfrac{1}{\sqrt U}\) — genau wie die Messung in 6.1.1.

Bestätigung:\(\lambda\sim\tfrac{1}{\sqrt U}\) — genau die Messung \(r\sim\tfrac{1}{\sqrt U}\) aus 6.1.1.

Wellenlänge nach der Beschleunigung

\(\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2\,m\,e\,U}}\)

U: Beschleunigungsspannung, m: Masse, e: Elementarladung

Elektron aus der Beugungsröhre

Welche Wellenlänge haben Elektronen nach \(U=4{,}0\,\mathrm{kV}\)?

Formel\(\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2\,m_e\,e\,U}}\)

Einsetzen\(\lambda=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot4{,}0\cdot10^{3}}}\)

Ergebnis\(\lambda\approx1{,}9\cdot10^{-11}\,\mathrm m=19\,\mathrm{pm}\) — etwa so groß wie Atomabstände im Graphit.

Allgemeine Hinweise

Spannung gegeben?

Erst \(e\cdot U=\tfrac12 m\,v^2\) nach \(v\) auflösen, dann \(\lambda=\tfrac{h}{m\,v}\) — oder direkt \(\lambda=\tfrac{h}{\sqrt{2meU}}\).