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Erklärung — die Bornsche Deutung
Die Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeit
Der einzelne Treffer ist zufällig (6.2.1) — was sagt die Welle dann voraus? Max Born: nur die Wahrscheinlichkeit.
- Wellenfunktion:die Welle, die zum Quantenobjekt gehört, heißt \(\psi\) (psi).
- Wie bei Licht:die Intensität ist proportional zum Quadrat der Amplitude (5.1.6).
- Für ein Elektron:an die Stelle der Intensität tritt die Auftreffwahrscheinlichkeit.
Bornsche Wahrscheinlichkeitsdeutung
\(P\sim|\psi|^2\)
Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an einem Ort zu finden, ist proportional zum Quadrat der Wellenamplitude dort
- Helle Streifen:Große Amplitude → hohe Wahrscheinlichkeit → viele Treffer.
- Dunkle Streifen:Amplitude null → Wahrscheinlichkeit null → keine Treffer.
- Einzelner Treffer:Bleibt zufällig — vorhersagbar ist nur die Häufigkeit über viele Messungen.
Die Balken zählen, wo Elektronen auftreffen. Je mehr Messungen, desto besser passt das Histogramm zur Wahrscheinlichkeitskurve \(|\psi|^2\) (gestrichelt).
Die Wellenfunktion sagt nicht den genauen Auftreffort voraus, sondern nur die Wahrscheinlichkeit: \(P\sim|\psi|^2\). Mit wenigen Messungen ist das Histogramm zackig, mit vielen nähert es sich exakt der Wahrscheinlichkeitskurve an.
Erwartete Trefferzahl
An einem Ort beträgt die Auftreffwahrscheinlichkeit pro Elektron \(P=0{,}15\). Wie viele von 2000 Elektronen treffen dort im Mittel auf?
AnsatzErwartungswert \(=P\cdot N\)
Einsetzen\(0{,}15\cdot2000\)
Ergebnis\(=300\) Elektronen
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Allgemeine Hinweise
Quadrat
Wahrscheinlichkeit \(\sim|\psi|^2\), nicht \(\psi\) selbst.
Einzelfall zufällig
Vorhersagbar ist nur die Häufung vieler Treffer.
Erwartungswert
Trefferzahl \(\approx P\cdot N\).