Der Rückblick vor der Klausur
Das Kapitel 8 Kernphysik ist durch. Diese Seite bündelt alles, was in der Klausur abrufbar sein muss: neun Übersichtskarten — eine je Unterkapitel —, die vollständige Formelsammlung, zehn Merksätze, die Zahlen des Kapitels und ein Selbstcheck.
Arbeite von oben nach unten: erst lesen, dann bei jeder Karte die Prüffrage aufklappen (die zählt als bearbeitet), dann die Kernphysik-Werkstatt ausprobieren, zuletzt der Selbstcheck. Der Balken oben zeigt, wie weit du bist.
Die neun Unterkapitel auf einen Blick
Je Unterkapitel eine Karte: die Kernaussage, die Formeln, die dazugehören, und eine Prüffrage. Klapp die Prüffrage erst auf, wenn du selbst geantwortet hast.
8.1.1Geiger-Müller-Zählrohr
Ein Zylinderkondensator: Rohr = Kathode, dünner Draht = Anode. Nur nahe am Draht ist das Feld stark genug für die Stoßionisation — aus einem Startelektron wird eine Lawine, aus der Lawine ein Klick. Jeder Impuls ist gleich hoch: das Rohr zählt, es misst keine Energie. Betriebspunkt in die Plateaumitte.
\(n=\dfrac{\Delta N}{\Delta t}\)
\(n_{\text{wahr}}=\dfrac{n}{1-n\cdot\tau}\)
Prüffrage: Warum ist der Draht so dünn?
8.1.2Das Zerfallsgesetz
Der einzelne Kern zerfällt zufällig und ohne Gedächtnis — bei sehr vielen Kernen wird daraus ein exaktes Gesetz. \(\lambda\) ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, die Aktivität \(A\) das Tempo in Becquerel (1 Bq = 1 Zerfall pro Sekunde). Gemessen wird immer \(A\), nie \(N\).
\(T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\)
\(A=\lambda\cdot N\)
Prüffrage: N oder A — was misst das Zählrohr?
8.1.3Zerfallsvorgänge grafisch darstellen
Drei Kurvenmerkmale: immer fallend, immer flacher, gleicher Faktor ½ je Halbwertszeit, und die Kurve erreicht die Zeitachse nie (Asymptote). Halblogarithmisch wird daraus eine Gerade mit der Steigung \(-\lambda\). Ablesen: \(N_0/2\) waagerecht bis zur Kurve, dann senkrecht nach unten.
\(\ln N=\ln N_0-\lambda\,t\)
Prüffrage: Steile Gerade — lange oder kurze Halbwertszeit?
8.2.1Zerfallsreihen mit der Nuklidkarte
Jedes Nuklid bekommt ein eigenes Kästchen: \(N\) nach rechts, \(Z\) nach oben. Die Verschiebungssätze legen jeden Zug fest — \(\alpha\): 2 nach links, 2 nach unten; \(\beta^-\): 1 nach links, 1 nach oben; \(\beta^+\)/EC: 1 nach rechts, 1 nach unten; \(\gamma\) bleibt im Kästchen. Weil nur \(\alpha\) die Massenzahl ändert (um 4), ist \(A\bmod 4\) eine Erhaltungsgröße — daher genau vier Zerfallsreihen.
\({}^{A}_{Z}\mathrm{X}\rightarrow{}^{A}_{Z+1}\mathrm{Y}+e^-+\bar{\nu}_e\)
\({}^{A}_{Z}\mathrm{X}\rightarrow{}^{A}_{Z-1}\mathrm{Y}+e^++\nu_e\)
Prüffrage: Wie viele Zerfälle von \({}^{238}\mathrm{U}\) bis \({}^{206}\mathrm{Pb}\)?
8.2.2Kennzeichnende Größen eines Nuklids
\(Z\) ist die Identität und legt das Element fest, \(A\) zählt alle Nukleonen, \(N\) steht nie in der Schreibweise und wird gerechnet. Isotope: gleiches \(Z\) (Zeile) · Isobare: gleiches \(A\) (Diagonale) · Isotone: gleiches \(N\) (Spalte). Isotope sind chemisch identisch und nur physikalisch trennbar.
\(N=A-Z\)
\(Q=Z\cdot e\qquad m\approx A\cdot u\)
Prüffrage: Warum ist \(Q\) exakt, \(m\) aber nur genähert?
8.2.3Eigenschaften von \(\alpha\)-, \(\beta\)- und \(\gamma\)-Strahlung
\(\alpha\) = Heliumkern \(({}^{4}_{2}\mathrm{He},\ +2e)\), stärkste Ionisierung, wenige Zentimeter Luft, ein Blatt Papier stoppt vollständig. \(\beta^-\) = schnelles Elektron, rund 7000-mal leichter, wenige Millimeter Aluminium. \(\gamma\) = Photon ohne Ladung und Ruhemasse — nur abschwächbar, nie ganz gestoppt. Ionisierungsvermögen und Reichweite sind stets gegenläufig.
\(I=I_0\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n},\ n=\dfrac{d}{d_{1/2}}\)
\(d_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\mu}\qquad r=\dfrac{m\,v}{q\,B}\)
Prüffrage: Welche Strahlung bleibt im Magnetfeld gerade?
8.3.1Halbleiterdetektor
Eine pn-Diode in Sperrrichtung: die ladungsfreie Sperrschicht ist das empfindliche Volumen. In Silizium kostet ein Elektron-Loch-Paar nur 3,6 eV (im Zählgas rund 30 eV) — dadurch entstehen etwa 8-mal so viele Träger, die Schwankung \(\Delta N\approx\sqrt N\) wird relativ kleiner und die Linien werden schärfer. Impulshöhe = Energie, Impulsrate = Anzahl.
\(Q=\dfrac{W}{W_{\text{Paar}}}\cdot e\)
\(\Delta N\approx\sqrt{N},\quad \dfrac{\Delta N}{N}=\dfrac{1}{\sqrt N}\)
Prüffrage: Was ändert eine höhere Sperrspannung?
8.3.2Das \(\alpha\)-Spektrum interpretieren
Der Vielkanalanalysator sortiert jeden Impuls nach seiner Höhe in einen Kanal; erst die Kalibrierung mit zwei bekannten Linien macht daraus MeV. Lage = Energie, Fläche = Häufigkeit, Breite = Auflösung des Detektors. \(\alpha\)-Teilchen sind monoenergetisch — die Peakbreite kommt vom Messgerät, nicht von der Strahlung.
\(m=\dfrac{\Delta W}{\Delta K},\quad b=W_1-m\cdot K_1\)
\(K=(W-b)\div m\qquad h_{\text{rel}}=\dfrac{A_{\text{Peak}}}{\sum A}\)
Prüffrage: Was bedeuten zwei enge Linien bei 5,30 und 5,49 MeV?
8.3.3Energie-Häufigkeits-Diagramme
Form zuerst, dann Energieskala. Linien = \(\alpha\) (typisch 4 bis 9 MeV) oder \(\gamma\) (oft einige hundert keV); ein lückenloses Band bis \(W_{\max}\) = \(\beta\). Grund: \(\alpha\) ist ein Zweikörperzerfall, die Aufteilung liegt fest; \(\beta\) ist ein Dreikörperzerfall — das Neutrino nimmt einen beliebigen Anteil mit. Wo das Band endet, ist \(W_{\max}=Q\).
\(W_\nu=W_{\max}-W_{\mathrm e}\)
\(W_\gamma=W_{\alpha,\max}-W_{\alpha,\text{klein}}\)
Prüffrage: Warum ist das \(\beta\)-Spektrum kontinuierlich?
Formelsammlung — alles auf einer Seite
Diese Formeln musst du in der Klausur sicher anwenden können. Achte auf die beiden Klassiker: gleiche Zeiteinheit für \(\lambda\) und \(t\), und erst prüfen, ob \(t\) ein Vielfaches von \(T_{1/2}\) ist — dann genügt Halbieren.
Zerfallsgesetz und Aktivität
1 Bq = 1 Zerfall pro Sekunde. \(\lambda\) und \(t\) brauchen dieselbe Zeiteinheit; für ein Ergebnis in Bq muss \(\lambda\) in \(\mathrm{s}^{-1}\) stehen. \(\ln 2\approx 0{,}693\).
Kennzeichnende Größen eines Nuklids
Masse genähert, Ladung exakt: \(Q=Z\cdot e\) gilt exakt, \(m\approx A\cdot u\) ist wegen Massendefekt und der leicht abweichenden Nukleonenmassen nur eine Schätzung (rund 1 %).
Messung korrigieren — Zählrohr
Der Nulleffekt \(n_0\approx 0{,}4\ \tfrac{1}{\mathrm s}\) wird abgezogen (Wert wird kleiner), die Totzeitkorrektur macht den Wert größer — das Rohr kann Teilchen nur verlieren, nie erfinden. Regel: hohe Raten → Totzeit, kleine Raten → Nulleffekt.
Detektor, Spektrum, Kalibrierung
Erst \(b\) abziehen, dann durch \(m\) teilen — \(W/m-b\) ist der Klassiker unter den Rechenfehlern. Mit nur einer Linie zu kalibrieren verschiebt das ganze Spektrum.
Verschiebungssätze (Soddy und Fajans)
Kurzmerker: \(\alpha\): 2← 2↓ · \(\beta^-\): 1← 1↑ · \(\beta^+\)/EC: 1→ 1↓. Ladungszahl und Massenzahl müssen auf beiden Seiten exakt aufgehen (Doppelbilanz).
Abschirmung, Ablenkung, \(\beta\)-Bilanz
\(n\) ist ein Exponent, kein Divisor: bei \(n=4\) wird durch \(2^4=16\) geteilt, nicht durch 4. Prüfe zuerst, ob \(I_0/I\) eine Zweierpotenz ist.
Zehn Sätze, die im Kopf sitzen müssen
Diese zehn Sätze beantworten die meisten Fehlerquellen des Kapitels, bevor sie entstehen. Wenn du sie frei aufsagen kannst, hast du das Gerüst der Klausur.
Z ist die Identität, N wird gerechnet
\(Z\) legt das Element fest, \(A\) zählt alle Nukleonen — \(N\) steht nie in der Schreibweise, sondern folgt aus \(N=A-Z\). Nur zwei der drei Zahlen sind unabhängig.
Masse genähert, Ladung exakt
\(Q=Z\cdot e\) stimmt exakt, weil jedes Proton genau eine Elementarladung trägt. \(m\approx A\cdot u\) ist dagegen nur eine Schätzung — Nukleonen wiegen nicht exakt \(1\,u\), und der Massendefekt macht den Kern leichter.
\(\beta^-\) hebt Z um 1
Im Kern wird ein Neutron zum Proton, die negative Ladung geht nach außen: \(Z\) steigt, \(N\) sinkt, \(A\) bleibt. Auf der Karte ein Schritt nach links oben — nicht nach unten. Das ist die häufigste Verwechslung des Kapitels.
„\(\Delta A\) zuerst!“
Nur \(\alpha\) ändert die Massenzahl (um 4). Bestimme daher immer erst \(n_\alpha\) aus \(\Delta A\) und danach \(n_{\beta^-}\) aus \(\Delta Z\). Wer mit \(\Delta Z\) beginnt, hat zwei Unbekannte in einer Gleichung.
\(A\bmod 4\) ist eine Erhaltungsgröße
Weil \(\alpha\) die Massenzahl um 4 ändert und \(\beta\) gar nicht, bleibt der Rest von \(A\) bei Division durch 4 erhalten. Darum gibt es genau vier Zerfallsreihen, und kein Kern wechselt jemals seine Reihe.
Erst in Halbwertszeiten denken
Ist \(t\) ein Vielfaches von \(T_{1/2}\), genügt wiederholtes Halbieren — keine e-Funktion, keine Vorzeichen- und Klammerfehler. Erst prüfen, dann rechnen.
Nichts wird exakt null
Nach 4 Halbwertszeiten sind noch 6,25 % da, nach 10 noch rund 0,1 %. Auch \(\gamma\)-Strahlung wird durch Blei nur abgeschwächt, nie ganz gestoppt — „abgeschirmt“ heißt im Strahlenschutz immer „unter einem festgelegten Grenzwert“.
Reichweite ist nicht Gefahr
Außerhalb des Körpers ist \(\gamma\) das Problem, innerhalb des Körpers \(\alpha\): ein \(\alpha\)-Strahler gibt seine ganze Energie auf wenigen Zellschichten ab. Ionisierungsvermögen und Reichweite sind stets gegenläufig.
Höhe = Energie, Rate = Anzahl
Im Geiger-Müller-Zählrohr sind alle Impulse gleich hoch — es zählt nur. Erst der Halbleiterdetektor liefert eine Impulshöhe proportional zur Energie und damit Spektren.
Form zuerst, dann Energieskala
Ein lückenloses Band bis \(W_{\max}\) ist immer \(\beta\) (Dreikörperzerfall mit Neutrino). Scharfe Linien sind \(\alpha\) (typisch 4 bis 9 MeV) oder \(\gamma\) (oft einige hundert keV) — erst die Form entscheiden, dann die Energie ansehen.
Alle Zahlen des Kapitels an einem Ort
Konstanten, Nuklide, Halbwertszeiten, Energien, Reichweiten und Gerätewerte — genau die Zahlen, die in den Aufgaben und Abituraufgaben dieses Kapitels vorkommen. Die Tabelle lässt sich seitlich scrollen.
| Größe / Nuklid | Wert | Wo es vorkommt |
|---|---|---|
| Konstanten und Umrechnungen | ||
| Atomare Masseneinheit \(u\) | 1,660539·10⁻²⁷ kg | in Aufgaben 1,6605·10⁻²⁷ kg; \(m\approx A\cdot u\) |
| Elementarladung \(e\) | 1,602·10⁻¹⁹ C | \(Q=Z\cdot e\); im Detektorteil auch 1,6·10⁻¹⁹ C |
| \(\ln 2\) | ≈ 0,693 | \(T_{1/2}=\ln 2/\lambda\) |
| 1 Jahr in Sekunden | ≈ 3,15·10⁷ s | Umrechnung, wenn \(A\) in Bq gefragt ist (1 h = 3600 s) |
| Paarbildungsenergie Silizium | 3,6 eV | \(N_{\text{Paare}}=W/W_{\text{Paar}}\), Halbleiterdetektor |
| Paarbildungsenergie Zählgas (Argon) | ≈ 30 eV | Verhältnis 8,3 → Peaks rund 2,9-mal schmaler im Halbleiter |
| Kerne in 1 g Uran | ≈ 2,5·10²¹ | Zufall wird relativ unwichtig — makroskopisch ein Uhrwerk |
| Nuklide und Halbwertszeiten | ||
| \({}^{99m}\mathrm{Tc}\) | \(T_{1/2}=6{,}0\) h | Szintigrafie; \(A_0=600\) MBq, nach 24 h noch 37,5 MBq |
| \({}^{131}\mathrm{I}\) | \(T_{1/2}=8{,}0\) d | Schilddrüsentherapie |
| \({}^{222}\mathrm{Rn}\) | \(T_{1/2}=3{,}8\) d | Radon in Kellerräumen; einziges gasförmiges Glied der U-Ra-Reihe |
| \({}^{90}_{\ 38}\mathrm{Sr}\) | \(T_{1/2}=28{,}8\) a | \(N=52\), \(\beta^-\); 1,0 mg ≈ 6,7·10¹⁸ Kerne, \(A\approx1{,}5\cdot10^{5}\) Bq |
| \({}^{137}_{\ 55}\mathrm{Cs}\) | \(T_{1/2}=30{,}2\) a | \(N=82\), \(\beta^-\rightarrow{}^{137}\mathrm{Ba}\) (Isobare); \(\lambda\approx0{,}023\ \mathrm{a}^{-1}\) |
| \({}^{14}\mathrm{C}\) | \(T_{1/2}=5730\) a | Altersbestimmung; \(a_0=0{,}25\) Bq je g Kohlenstoff, Grenze ≈ 50 000 a |
| \({}^{237}\mathrm{Np}\) | \(T_{1/2}=2{,}1\cdot10^{6}\) a | Np-Reihe (4n+1) → \({}^{209}\mathrm{Bi}\); in der Natur ausgestorben |
| \({}^{235}\mathrm{U}\) | \(T_{1/2}=7{,}0\cdot10^{8}\) a | U-Actinium-Reihe (4n+3) → \({}^{207}\mathrm{Pb}\) |
| \({}^{238}_{\ 92}\mathrm{U}\) | \(T_{1/2}=4{,}5\cdot10^{9}\) a | \(N=146\); U-Radium-Reihe (4n+2) → \({}^{206}\mathrm{Pb}\) über 8 \(\alpha\) und 6 \(\beta^-\) |
| \({}^{232}\mathrm{Th}\) | \(T_{1/2}=1{,}4\cdot10^{10}\) a | Thorium-Reihe (4n) → \({}^{208}\mathrm{Pb}\) über 6 \(\alpha\) und 4 \(\beta^-\) |
| \({}^{212}_{\ 83}\mathrm{Bi}\) | 64 % \(\beta^-\) / 36 % \(\alpha\) | Verzweigung der Th-Reihe; beide Äste enden bei \({}^{208}\mathrm{Pb}\) |
| \({}^{40}_{\ 19}\mathrm{K}\) | \(N=21\), \(Q=3{,}04\cdot10^{-18}\) C | natürliche Radioaktivität; \(m\approx6{,}64\cdot10^{-26}\) kg |
| Energien | ||
| \(\gamma\)-Linien | 140 keV · 662 keV · 1,17 MeV | \({}^{99m}\mathrm{Tc}\) (= 0,14 MeV) · Übergangslinie · \({}^{60}\mathrm{Co}\) |
| \(\alpha\)-Energiebereich | typisch 4 bis 9 MeV | \({}^{238}\mathrm{U}\): 4,2 MeV · \({}^{212}\mathrm{Po}\): 8,8 MeV |
| \(\alpha\)-Feinstruktur | 5,30 MeV und 5,49 MeV | Grundzustand / angeregt; \(W_\gamma=190\) keV, \(\Delta W/W\approx3{,}6\ \%\) |
| \(\alpha\) mit 5,4 MeV in Silizium | 1,5·10⁶ Paare, \(Q\approx0{,}24\) pC | im Zählgas nur 1,8·10⁵ Paare — Faktor 8 |
| Ende des \(\beta\)-Bandes | \(W_{\max}=0{,}60\) MeV | \(W_{\max}=Q\); Beispiel \(W_{\mathrm e}=0{,}25\) MeV → \(W_\nu=0{,}35\) MeV |
| Reichweite und Abschirmung | ||
| \(\alpha\)-Strahlung | wenige Zentimeter Luft | ein Blatt Papier stoppt vollständig; stärkste Ionisierung |
| \(\beta\)-Strahlung | einige Meter Luft | wenige Millimeter Aluminium; mittlere Ionisierung |
| \(\gamma\)-Strahlung | sehr große Reichweite | dickes Blei oder Beton — nur abgeschwächt, nie ganz gestoppt |
| Halbwertsdicke Blei | \(d_{1/2}=12\) mm | 36 mm = 3 HWD → \(\tfrac18\); 48 mm → \(\tfrac1{16}\) = 6,3 % |
| Blei für 5 % Restintensität | ≈ 52 mm (\(n\approx4{,}3\)) | 10 cm Blei lassen aus 800 1/s noch ≈ 2,5 1/s durch |
| Rest nach \(n\) Halbwertszeiten | 50 % · 25 % · 12,5 % · 6,25 % | \(n=1,2,3,4\); nach 10 HWZ noch ≈ 0,1 %; bei 3,5 HWZ 8,8 % |
| Zählrohr und Messung | ||
| Nulleffekt \(n_0\) | ≈ 0,4 1/s | 254 Impulse in 600 s → 0,42 1/s; begrenzt die C-14-Methode |
| Totzeit \(\tau\) | typisch ≈ 10⁻⁴ s | Datenblattwert 120 µs; bei 2500 1/s sind 30 % der Zeit blind |
| Anodendraht | ≈ 0,05 mm | nur am dünnen Draht ist \(E\) groß genug für die Lawine |
| Zählrohrkennlinie | \(U_E\approx350\) V, Plateau ≈ 400–600 V | Betriebsspannung ≈ 500 V (Plateaumitte); ab ca. 640 V Dauerentladung |
| Aktivität im Alltag | Banane ≈ 15 Bq, Mensch ≈ 9000 Bq | \({}^{40}\mathrm{K}\); 1 Bq = 1 Zerfall pro Sekunde |
Kernphysik-Werkstatt — Zerfälle auf der Karte
Stell einen Kern ein und schau zu, wohin ihn ein Zerfall auf der Nuklidkarte trägt. Die Werkstatt rechnet nichts für dich vor: sie zeigt den Zug, du liest \(A\), \(Z\) und \(N\) ab und prüfst deine eigene Bilanz. Die Färbung der Kästchen ist ein schematischer Orientierungsrahmen nach der Faustregel „rechts vom Stabilitätsband \(\beta^-\), links \(\beta^+\)/EC, sehr schwere Kerne \(\alpha\)“.
Maus: Kästchen anklicken setzt den Kern, die Knöpfe rechts führen den Zerfall aus. Tastatur: mit Tab in die Karte springen, dann ← → für \(N\), ↑ ↓ für \(Z\), Enter oder Leertaste für den gewählten Zerfall.
Womit du dich hier prüfst
Setze \({}^{238}_{\ 92}\mathrm{U}\) und führe die Folge \(\alpha,\ \beta^-,\ \beta^-,\ \alpha,\ \alpha\) aus — du landest über \({}^{234}\mathrm{Th}\), \({}^{234}\mathrm{Pa}\), \({}^{234}\mathrm{U}\) und \({}^{230}\mathrm{Th}\) bei \({}^{226}\mathrm{Ra}\). Achte auf den Zickzack: ein Schritt schräg nach unten links, dann zwei schräg nach oben links. Und beobachte, dass \(A\bmod 4\) dabei nie den Wert wechselt.
Selbstcheck — zehn kurze Fragen
Zehn Fragen quer durch das Kapitel. Entscheide zuerst selbst, klicke dann. Nach der richtigen Antwort erscheint die Begründung — und die Frage zählt oben im Balken als erledigt.
Die Neutronenzahl \(N\) kann man in der Schreibweise \({}^{A}_{Z}\mathrm{X}\) rechts oben ablesen.
Beim \(\beta^-\)-Zerfall steigt die Ordnungszahl \(Z\) um 1.
Welche Strahlungsart wird von einem Blatt Papier vollständig gestoppt?
Nach vier Halbwertszeiten sind praktisch alle Kerne zerfallen.
\({}^{137}_{\ 55}\mathrm{Cs}\) und \({}^{137}_{\ 56}\mathrm{Ba}\) sind zueinander …
Die Aktivität \(A\) gibt an, wie viele Kerne seit Beginn der Messung insgesamt zerfallen sind.
Womit misst man die Energie eines einzelnen Teilchens?
Ein Diagramm zeigt ein lückenloses Band von fast 0 bis 0,60 MeV. Welche Strahlungsart liegt vor?
Bei einer sehr kleinen Zählrate ist der Nulleffektabzug wichtiger als die Totzeitkorrektur.
Wie viele \(\alpha\)-Zerfälle führen von \({}^{238}\mathrm{U}\) zu \({}^{206}\mathrm{Pb}\)?
Wie sicher fühlst du dich für die Klausur?
Antworte ehrlich — davon hängt ab, was als Nächstes sinnvoll ist.