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Übung — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Formel kennen, Werte einsetzen, ausrechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur zur Atomhülle.

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Aufgabenblock — AFB I

Diese Übung deckt alle Unterkapitel des Themas „Atomhülle“ ab — von der Quantisierung über den Potenzialtopf und die Spektren bis zum Franck-Hertz-Versuch. Du löst 10 Standardaufgaben der Anforderungsstufe AFB I (Reproduzieren) — also: Formel kennen, Werte einsetzen, ausrechnen. Diese Aufgaben sind die sicheren Punkte in jeder Klausur. Bei jeder Aufgabe gibt es bei Bedarf eine Formel-Erinnerung und eine Lösung. Rechne mit \(h\,c = 1240\,\text{eV⋅nm}\) und gib Dezimalzahlen mit Komma ein.

A1
Wasserstoff — Energie des Niveaus n = 3Quantisierung
AFB I

Für das Wasserstoffatom gilt \(E_n=-\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\). Berechne die Energie des Niveaus \(n=3\).

Gegeben: \(n=3\), Zähler \(13{,}6\,\text{eV}\). Achte auf das Minuszeichen — gebundene Niveaus sind negativ.
eV
Niveauformel: \(E_n=-\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\). Zuerst \(n^2=9\) bilden, dann 13,6 durch 9 teilen — und das Minus mitnehmen.
Lösung anzeigen
\(E_3=-\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{3^2}=-\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{9}\) = −1,51 eV
Das Niveau liegt unter der Ionisierungsgrenze \(E_\infty=0\) — das Elektron ist gebunden.
E / eV E∞ = 0 n = 1: −13,60 n = 2: −3,40 n = 3: ? n = 4: −0,85 gebundene Zustände (Werte negativ)
Niveauschema des Wasserstoffatoms
A2
Übergang 3 → 2 — Energie des PhotonsQuantisierung
AFB I

Ein Elektron fällt im Wasserstoffatom von \(n=3\) auf \(n=2\). Berechne die Energie \(\Delta E\) des abgestrahlten Photons.

Gegeben: \(E_3=-1{,}51\,\text{eV}\), \(E_2=-3{,}40\,\text{eV}\). Es gilt \(\Delta E = E_\text{hoch} - E_\text{tief}\).
eV
Energiedifferenz: \(\Delta E = E_n - E_m\). Zwei Minuszeichen hintereinander werden zu einem Plus: \(-1{,}51-(-3{,}40) = -1{,}51+3{,}40\). Das Ergebnis muss positiv sein.
Lösung anzeigen
\(\Delta E = E_3 - E_2 = -1{,}51\,\text{eV} - (-3{,}40\,\text{eV})\) = 1,89 eV
Das ist die Hα-Linie der Balmer-Serie.
E / eV n = 1: −13,60 n = 2: −3,40 n = 3: −1,51 ΔE = ? Photon Emission: Sprung nach unten, Photon hinaus
Emissionsübergang 3 → 2
A3
Seriengrenze der Balmer-Serie — WellenlängeNiveauschema
AFB I

An der Seriengrenze der Balmer-Serie fällt ein gerade freies Elektron (\(E=0\)) auf das Niveau \(n=2\). Die Energiedifferenz beträgt \(\Delta E = 3{,}40\,\text{eV}\). Berechne die zugehörige Wellenlänge \(\lambda\).

Gegeben: \(\Delta E = 3{,}40\,\text{eV}\), \(h\,c = 1240\,\text{eV⋅nm}\). Runde auf ganze Nanometer.
nm
Wellenlängenformel: \(\lambda=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta E}\). ΔE steht im Nenner: große Energie → kurze Welle.
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\(\lambda=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{3{,}40\,\text{eV}}\) ≈ 365 nm
Das liegt unterhalb von 380 nm, also im Ultravioletten — die Balmer-Linien häufen sich dort.
410434486656 λ = ? λ in nm links UV · rechts sichtbares Rot Seriengrenze
Balmer-Serie mit Häufung an der Seriengrenze
A4
Potenzialtopf — Wellenlänge im Zustand n = 3Potenzialtopf
AFB I

Ein Elektron sitzt in einem eindimensionalen Potenzialtopf der Breite \(L = 1{,}2\,\text{nm}\) im Zustand \(n = 3\). Berechne die Wellenlänge \(\lambda_3\) der stehenden Welle.

Gegeben: \(L = 1{,}2\,\text{nm}\), \(n = 3\). Passbedingung: \(L = n\cdot\dfrac{\lambda}{2}\).
nm
Passbedingung: In die Breite \(L\) passen genau \(n\) Halbwellen, also \(\lambda_n=\dfrac{2L}{n}\). Hier: \(\dfrac{2\cdot 1{,}2\,\text{nm}}{3}\).
Lösung anzeigen
\(\lambda_3=\dfrac{2L}{n}=\dfrac{2\cdot 1{,}2\,\text{nm}}{3}=\dfrac{2{,}4\,\text{nm}}{3}\) = 0,8 nm
Im Zustand \(n=3\) gibt es 3 Bäuche und 2 Knoten im Inneren.
L = 1,2 nm n = 3 · 3 Bäuche · λ₃ = ? ψ Knoten an beiden Wänden
Stehende Welle im Kasten, Zustand n = 3
A5
Potenzialtopf — Energie des Zustands n = 2Potenzialtopf
AFB I

Für ein Elektron im eindimensionalen Potenzialtopf gilt \(E_n\approx n^2\cdot\dfrac{0{,}376\,\text{eV}}{(L/\text{nm})^2}\). Berechne \(E_2\) für einen Topf der Breite \(L = 1{,}0\,\text{nm}\).

Gegeben: \(L = 1{,}0\,\text{nm}\), \(n = 2\), Konstante \(0{,}376\,\text{eV}\). Alle Energien im Topf sind positiv. Runde auf eine Nachkommastelle.
eV
Merkbild: \(n^2\) oben, \(L^2\) unten. Bei \(L = 1{,}0\,\text{nm}\) ist \(E_1 = 0{,}376\,\text{eV}\); \(E_n = n^2\cdot E_1\), also \(E_2 = 4\cdot E_1\).
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\(E_2 = 2^2\cdot\dfrac{0{,}376\,\text{eV}}{1{,}0^2} = 4\cdot 0{,}376\,\text{eV} = 1{,}504\,\text{eV}\) ≈ 1,5 eV
Nach oben rücken die Stufen im Topf auseinander, weil \(E_n\sim n^2\).
n = 1: 0,376 eV n = 2: ? n = 3: 3,4 eV Eₙ ~ n² L = 1,0 nm
Energiestufen im Kasten (positiv, spreizend)
A6
Natrium-Linie — Energie des PhotonsLinienspektren
AFB I

Natriumdampf leuchtet gelb. Die Linie liegt bei \(\lambda = 589\,\text{nm}\). Berechne die Energie des zugehörigen Photons.

Gegeben: \(\lambda = 589\,\text{nm}\), \(h\,c = 1240\,\text{eV⋅nm}\). Runde auf zwei Nachkommastellen.
eV
Photonenenergie: \(E=\dfrac{h\,c}{\lambda}=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\lambda}\). Die Wellenlänge in nm einsetzen — dann kommt die Energie direkt in eV heraus.
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\(E=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{589\,\text{nm}}\) ≈ 2,11 eV
Der Wert liegt im sichtbaren Fenster (1,59 eV bis 3,26 eV) — deshalb sieht man die Linie.
400500600700 589 nm λ in nm Emissionsspektrum von Natrium E = ? eV
Gelbe Natrium-Linie im Emissionsspektrum
A7
Wiensches Gesetz — Temperatur der SonnenoberflächeSpektren & Temperatur
AFB I

Die Strahlungskurve der Sonne hat ihr Maximum bei \(\lambda_\text{max} = 500\,\text{nm}\). Berechne die Oberflächentemperatur \(T\).

Gegeben: \(\lambda_\text{max} = 500\,\text{nm}\), Wiensche Konstante \(2{,}90\cdot 10^{6}\,\text{nm⋅K}\). Ergebnis in Kelvin.
K
Wiensches Verschiebungsgesetz: \(\lambda_\text{max}\cdot T = 2{,}90\cdot 10^{6}\,\text{nm⋅K}\), also \(T=\dfrac{2{,}90\cdot 10^{6}\,\text{nm⋅K}}{\lambda_\text{max}}\). Mit λ in nm kommt T direkt in Kelvin heraus.
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\(T=\dfrac{2{,}90\cdot 10^{6}\,\text{nm⋅K}}{500\,\text{nm}}\) = 5800 K
Das Maximum liegt mitten im Sichtbaren (grün-gelb) — deshalb wirkt die Sonne fast weiß.
50010001500 λ in nm Intensität λmax = 500 nm → T = ? sichtbar
Strahlungskurve mit Maximum im Sichtbaren
A8
Glühwendel — Lage des StrahlungsmaximumsSpektren & Temperatur
AFB I

Die Wendel einer Glühlampe hat die Temperatur \(T = 2700\,\text{K}\). Berechne die Wellenlänge \(\lambda_\text{max}\), bei der die Strahlungskurve ihr Maximum hat.

Gegeben: \(T = 2700\,\text{K}\), Wiensche Konstante \(2{,}90\cdot 10^{6}\,\text{nm⋅K}\). Runde auf ganze Nanometer.
nm
Nach λ auflösen: \(\lambda_\text{max}=\dfrac{2{,}90\cdot 10^{6}\,\text{nm⋅K}}{T}\). Kontrolle: Das Ergebnis muss größer als 780 nm sein, denn die Wendel strahlt vor allem im Infraroten.
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\(\lambda_\text{max}=\dfrac{2{,}90\cdot 10^{6}\,\text{nm⋅K}}{2700\,\text{K}}\) ≈ 1074 nm ≈ 1,07 µm
Das liegt jenseits von 780 nm, also im Infraroten — die Glühlampe ist vor allem ein Heizkörper.
50010001500 λ in nm Intensität T = 2700 K λmax = ? sichtbar Infrarot
Kurve der Glühwendel bei 2700 K
A9
Resonanz — wie viel fehlt dem Photon?Resonanzabsorption
AFB I

Ein Photon mit \(E_\text{Ph} = 2{,}40\,\text{eV}\) trifft auf ein Wasserstoffatom im Zustand \(n = 2\). Der Übergang \(2\to 4\) benötigt \(\Delta E = 2{,}55\,\text{eV}\). Berechne, wie viel Energie dem Photon zur Resonanz fehlt.

Gegeben: \(\Delta E = 2{,}55\,\text{eV}\), \(E_\text{Ph} = 2{,}40\,\text{eV}\). Resonanzbedingung: \(E_\text{Ph} = \Delta E\).
eV
Einfache Differenz: Fehlbetrag \(= \Delta E - E_\text{Ph} = 2{,}55\,\text{eV} - 2{,}40\,\text{eV}\). Wichtig: Resonanz kennt kein „fast“ — das Photon läuft vollständig durch.
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Fehlbetrag \(= 2{,}55\,\text{eV} - 2{,}40\,\text{eV}\) = 0,15 eV
Weil die Energie nicht exakt passt, wird das Photon gar nicht absorbiert — es gibt keine Teilabsorption.
n = 4 (−0,85 eV) n = 2 (−3,40 eV) EPh = 2,40 eV fehlt: ? passt nicht exakt → keine Absorption
Photon zu energiearm für den Übergang 2 → 4
A10
Franck-Hertz-Versuch — fünfter Einbruch und UV-PhotonFranck-Hertz
AFB I

In einer Franck-Hertz-Röhre mit Quecksilberdampf liegen die Stromeinbrüche im festen Raster \(U_n = n\cdot 4{,}9\,\text{V}\). Berechne zuerst die Spannung des fünften Einbruchs. Berechne danach die Wellenlänge des Photons, das ein angeregtes Quecksilberatom beim Rücksprung aussendet.

Gegeben: \(\Delta E = 4{,}9\,\text{eV}\) (Anregungsenergie Quecksilber), \(h\,c = 1240\,\text{eV⋅nm}\). Runde λ auf ganze Nanometer.
V
nm
Zwei Formeln: \(U_n = n\cdot\dfrac{\Delta E}{e} = n\cdot 4{,}9\,\text{V}\) — wegen \(E_\text{kin}=eU\) entspricht jede Volt-Zahl direkt einer eV-Zahl. Und \(\lambda=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta E}\).
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\(U_5 = 5\cdot 4{,}9\,\text{V}\) = 24,5 V
\(\lambda=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{4{,}9\,\text{eV}}\) ≈ 253 nm
253 nm liegt unter 380 nm — das Photon ist ultraviolett und damit unsichtbar.
4,99,814,719,6 ? Beschleunigungsspannung U in V Strom I fester Abstand 4,9 V = 4,9 eV
Franck-Hertz-Kennlinie mit regelmäßigen Einbrüchen

Wie war es?

Wie sicher fühlst du dich nach diesen 10 AFB-I-Aufgaben zur Atomhülle?