Übung — AFB III

Musterlösung: Der Mittelpunktstrahl trifft die Linsenmitte und läuft dort ungebrochen weiter; er ist also eine durchgehende Gerade von der Gegenstandsspitze zur Bildspitze. Vor der Linse bildet er mit der optischen Achse und dem Gegenstand ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten G und g, hinter der Linse eines mit den Katheten B und b. Beide Dreiecke haben je einen rechten Winkel an der Achse, und an der Linsenmitte sind ihre Winkel Scheitelwinkel, also gleich groß — die Dreiecke sind damit ähnlich. Aus dem Verhältnis entsprechender Seiten folgt unmittelbar B : G = b : g, also β = B/G = b/g. Praktisch heißt das: Man kann β wahlweise mit dem Lineal am Schirm oder auf der optischen Bank bestimmen — beide Wege müssen denselben Wert liefern.

Musterlösung: Gleichsetzen ergibt b/g = (b − f)/f. Multiplikation mit g·f liefert b·f = g·(b − f) = g·b − g·f. Bringt man g·f nach links, folgt g·f + b·f = g·b. Division durch g·b·f ergibt f/(b·f) + f/(g·f) … also 1/b + 1/g = 1/f — das ist die Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b.

Bemerkenswert daran: Zwei rein geometrische Aussagen über ähnliche Dreiecke ergeben zusammen eine Gleichung, in der die Bildgröße gar nicht mehr auftaucht. Sind zwei der drei Größen g, b, f bekannt, ist die dritte damit bestimmt.

Musterlösung: Geometrisch: Steht die Gegenstandsspitze genau im Brennpunkt, so ist der von ihr ausgehende Brennpunktstrahl gerade der, der hinter der Linse parallel zur Achse weiterläuft; der Mittelpunktstrahl läuft ungebrochen durch. Beide Strahlen verlassen die Linse parallel zueinander und schneiden sich deshalb nirgends — auch ihre Rückwärtsverlängerungen nicht. Es gibt keinen Bildpunkt, also weder ein reelles noch ein virtuelles Bild.

Rechnerisch: In b = g·f/(g − f) wird für g = f der Nenner null; der Ausdruck ist nicht definiert. Beides beschreibt dasselbe: g = f ist die Stelle, an der das Verhalten kippt — für g > f entsteht ein reelles Bild hinter der Linse, für g < f ein virtuelles davor.

Musterlösung: Gleiche Größe bedeutet β = B/G = 1, wegen β = b/g also b = g. Aus der Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/g = 2/g folgt g = 2f, und damit auch b = 2f — das ist genau der Fall g = 2f aus der Tabelle der fünf Fälle.

Der Abstand zwischen Gegenstand und Bild ist g + b = 4f. Aus 4f = 36 cm folgt f = 9 cm. Es gibt nur diese eine Lösung, weil die Bedingung β = 1 die Weiten bereits vollständig festlegt: b = g ist mit der Linsengleichung nur für g = b = 2f verträglich.

Musterlösung: Fotoapparat: Der Gegenstand ist weit entfernt, es gilt g ≫ f. Dann ist 1/g fast null, und aus 1/f = 1/g + 1/b folgt 1/b ≈ 1/f, also b ≈ f. Der Sensor sitzt deshalb ungefähr in der Brennebene. Das ist der Fall g > 2f: reell, umgekehrt, verkleinert.

Projektor: Die Vorlage steht knapp außerhalb der Brennweite, also f < g < 2f. In b = g·f/(g − f) wird der Nenner sehr klein, während der Zähler etwa f² bleibt — b wächst also stark an, und mit β = b/g auch das Bild. Das ist der Fall f < g < 2f: reell, umgekehrt, vergrößert.

Beide Geräte nutzen dieselbe Gleichung; sie unterscheiden sich nur darin, an welchem Ende der Skala sie arbeiten. Deshalb ist der Fotoapparat gewissermaßen der umgekehrte Projektor.

Musterlösung: Die Behauptung ist falsch. Von jedem Punkt des Gegenstands geht Licht in alle Richtungen ab; das Bündel, das die Linse erreicht, nutzt deren gesamte Fläche und wird vollständig in einem Bildpunkt vereinigt. Es gibt also keine Zuordnung „obere Linsenhälfte → obere Bildhälfte“.

Deckt man die Hälfte ab, so tragen zu jedem einzelnen Bildpunkt weniger Strahlen bei. Das Bild bleibt deshalb vollständig, behält seine Lage und seine Größe — es wird nur dunkler. Geometrie und Helligkeit sind hier zwei getrennte Dinge: Die Geometrie bestimmt die Strahlrichtungen, die Fläche bestimmt, wie viel Licht ankommt. Genau darauf beruht auch die Blende des Fotoapparats.

Musterlösung: Die beiden Zahlen messen verschiedene Dinge. Der Projektor gehört zu den abbildenden Geräten: Er erzeugt ein reelles Bild auf einer Fläche (Schirm), das unabhängig vom Betrachter existiert und eine messbare Größe hat. Seine Kenngröße ist deshalb der Abbildungsmaßstab β = B/G = b/g — ein Verhältnis zweier Längen.

Das Fernrohr gehört zu den sehwinkelvergrößernden Geräten. Es liefert gar kein auffangbares Endbild; das eigentliche Bild entsteht erst auf der Netzhaut. Wie groß etwas dort erscheint, hängt nicht von einer absoluten Länge ab, sondern vom Sehwinkel. Seine Kenngröße ist V = tan α′ / tan α — ein Verhältnis zweier Winkel.

β = 24 und V = 20 sind daher keine vergleichbaren Zahlen. Beim Fernrohr lautet die richtige Frage nicht „Wie groß ist das Bild?“, sondern „Um welchen Faktor wächst der Sehwinkel?“

Musterlösung: Wegen g + b = 100 gilt b = 100 − g. Einsetzen in 1/f = 1/g + 1/b ergibt 1/24 = (b + g)/(g·b) = 100/(g·(100 − g)), also g·(100 − g) = 2400 und damit g² − 100g + 2400 = 0. Die Lösungen sind g = (100 ± √(10000 − 9600))/2 = (100 ± 20)/2, also g = 40 cm und g = 60 cm.

Warum genau zwei? Weil die Linsengleichung in g und b symmetrisch ist: Vertauscht man beide, bleibt sie richtig. Zu jeder Lösung (g, b) gehört daher die gespiegelte Lösung (b, g) — hier (40, 60) und (60, 40). In der einen Stellung ist das Bild vergrößert (β = 60/40 = 1,5), in der anderen um denselben Faktor verkleinert (β = 40/60 = 2/3). Mehr als zwei Lösungen kann es nicht geben, weil die Gleichung quadratisch ist.

Musterlösung: b₁ = 60·10/(60−10) = 600/50 = 12 cm, also β₁ = 12/60 = 0,2. b₂ = 60·20/(60−20) = 1200/40 = 30 cm, also β₂ = 30/60 = 0,5. Die kleinere Brennweite liefert die kleinere Bildweite und das kleinere Bild.

Allgemein: Bei festem g hängt b = g·f/(g − f) so von f ab, dass mit wachsendem f der Zähler wächst und der Nenner zugleich kleiner wird — b wächst also doppelt begünstigt. Und da β = b/g bei festem g proportional zu b ist, wächst die Bildgröße im selben Maß. Physikalisch dahinter: Eine Linse mit kleiner Brennweite ist stärker gekrümmt, bricht das Licht stärker und führt die Strahlen deshalb früher zusammen. Genau darauf beruht die Wahl des Objektivs: kurze Brennweite = weitwinklig und klein, lange Brennweite = enger Ausschnitt und groß.

Musterlösung: Der Fehler ist eine unzulässige Vereinfachung: Aus 1/f = 1/g + 1/b folgt nicht f = g + b. Man sieht das schon an einem Gegenbeispiel: 1/2 + 1/2 = 1, aber 1/(2+2) = 1/4. Kehrwerte darf man nicht gliedweise „umdrehen“.

Richtig: 1/f = 1/30 + 1/15 = 1/30 + 2/30 = 3/30 = 1/10, also f = 10 cm — und nicht 45 cm. Die Reihenfolge lautet immer: erst die Kehrwerte addieren, dann am Ende den Kehrwert bilden.

Zum Vorzeichen: Ein negatives b bedeutet nicht „Rechenfehler“, sondern hat eine physikalische Bedeutung: Das Bild liegt dann vor der Linse, auf der Gegenstandsseite, und ist virtuell — der Fall g < f, also die Lupe. Es ist aufrecht, vergrößert und nicht auf einem Schirm auffangbar, weil sich dort nur die rückwärtigen Verlängerungen treffen.