Größen und Formeln des Kapitels
- g = Gegenstandsweite (Abstand Gegenstand – Linsenmitte)
- b = Bildweite (Abstand Linsenmitte – Bild; negativ heißt: virtuell, vor der Linse)
- f = Brennweite · D = Brechkraft in Dioptrien
- G, B = Gegenstands- und Bildgröße · β = Abbildungsmaßstab
- n = Brechzahl · V = Vergrößerung (bei sehwinkelvergrößernden Geräten)
Reflexionsgesetz
An einer glatten Grenzfläche wird Licht zurückgeworfen. Alle Winkel werden zum Lot gemessen, nicht zur Fläche. Einfallender Strahl, Lot und reflektierter Strahl liegen in einer Ebene. Beim ebenen Spiegel entsteht ein virtuelles Bild — gleich groß, aufrecht, ebenso weit hinter dem Spiegel.
Brechungsgesetz
Beim schrägen Übergang ändert Licht die Richtung, weil sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit ändert. Ins optisch dichtere Medium wird zum Lot hin gebrochen, ins dünnere vom Lot weg. Luft ≈ 1,00 · Wasser 1,33 · Glas ≈ 1,5. Ab dem Grenzwinkel: Totalreflexion.
Brennweite und Brechkraft
Alle achsenparallel einfallenden Strahlen treffen sich im Brennpunkt F; sein Abstand von der Mittelebene ist die Brennweite f. Auf jeder Seite liegt ein Brennpunkt im gleichen Abstand. Stärker gekrümmte Linsen haben kleines f und große Brechkraft.
Linsengleichung
Sind zwei der drei Größen g, b, f bekannt, ist die dritte bestimmt. Aufgelöst nach der Bildweite liest man die Fälle direkt ab: b > 0 reell, Nenner null bedeutet kein Bild, b < 0 virtuell.
b = g · f / (g − f)
Abbildungsmaßstab
Der Mittelpunktstrahl erzeugt vor und hinter der Linse zwei ähnliche rechtwinklige Dreiecke — daraus folgt B : G = b : g. Deshalb lässt sich β wahlweise am Schirm oder auf der optischen Bank bestimmen.
Vergrößerung optischer Geräte
Bei Mikroskop und Fernrohr multiplizieren sich die beiden Stufen. Sehwinkelvergrößernde Geräte vergrößern nicht den Gegenstand, sondern den Winkel, unter dem er ins Auge fällt.
V = fObj / fOk
V = tan α′ / tan α
Der Rechenfehler, der am meisten Punkte kostet
1/f = 1/g + 1/b darf nicht zu f = g + b vereinfacht werden. Erst die Kehrwerte addieren — und ganz am Ende den Kehrwert bilden. Gegenbeispiel: 1/2 + 1/2 = 1, aber 1/(2+2) = 1/4.
Die fünf Fälle
Bei fester Linse entscheidet allein die Gegenstandsweite g darüber, wo das Bild liegt, wie groß es ist und ob es überhaupt aufgefangen werden kann. Die Grenzen bilden die beiden ausgezeichneten Stellen 2f und f. Zwei Muster tragen die ganze Tabelle: g und b verhalten sich gegenläufig — rückt der Gegenstand näher, wandert das Bild weiter weg und wird größer. Und bei g = f kippt das Verhalten.
| Gegenstandsweite | Bildweite | Bild |
|---|---|---|
| g > 2f | f < b < 2f | reell, umgekehrt, verkleinert |
| g = 2f | b = 2f | reell, umgekehrt, gleich groß |
| f < g < 2f | b > 2f | reell, umgekehrt, vergrößert |
| g = f | — | kein Bild: die Strahlen verlassen die Linse parallel |
| g < f | auf der Gegenstandsseite | virtuell, aufrecht, vergrößert (Lupe) |
Linsen-Simulator — die fünf Fälle selbst durchfahren
Verschiebe die Gegenstandsweite g und ändere die Brennweite f. Die drei ausgezeichneten Strahlen werden mitgezeichnet, gestrichelte Linien sind rückwärtige Verlängerungen — Wege, die das Licht nicht genommen hat. Bedienung mit Maus oder mit den Pfeiltasten, wenn ein Regler den Fokus hat.
Virtuell heißt nicht „unsichtbar“
Ein virtuelles Bild ist mit dem Auge gut zu sehen — nur nicht auf einem Schirm aufzufangen, weil sich dort keine Strahlen treffen, sondern nur ihre rückwärtigen Verlängerungen.
Die drei ausgezeichneten Strahlen
Man konstruiert sie von der Spitze des Gegenstands aus; ihr Schnittpunkt ist die Spitze des Bildes, der Fußpunkt liegt auf der optischen Achse. Zwei Strahlen legen den Bildpunkt bereits fest — der dritte dient als Kontrolle. Gebrochen wird in der Zeichnung immer an der Mittelebene der Linse, nicht an ihrer Oberfläche.
Parallelstrahl
Läuft parallel zur optischen Achse auf die Linse zu und geht danach durch den Brennpunkt F. Das ist genau die Definition der Brennweite.
Brennpunktstrahl
Geht vor der Linse durch den Brennpunkt F und verläuft danach parallel zur Achse — denn der Lichtweg ist umkehrbar.
Mittelpunktstrahl
Trifft die Linsenmitte und läuft ungebrochen weiter, weil die Linse dort wie eine planparallele Platte wirkt. Er liefert außerdem die ähnlichen Dreiecke für β.
Konstruktion bei g < f
Liegt der Gegenstand innerhalb der Brennweite, laufen die drei Strahlen hinter der Linse auseinander — sie schneiden sich nicht. Man verlängert sie dann rückwärts (gestrichelt) bis zum Schnittpunkt auf der Gegenstandsseite. Dort liegt das virtuelle Bild. Gestrichelte Linien kennzeichnen in jeder Konstruktion Wege, die das Licht nicht genommen hat.
Die optischen Geräte
Jedes Gerät ist ein einziger Fall aus der Tabelle, technisch ausgereizt. Wer die fünf Fälle kann, kann auch die Geräte — man muss nur wissen, welchen Fall jedes von ihnen benutzt.
Projektor
Verlangt ist ein reelles, stark vergrößertes Bild — also der Fall f < g < 2f. Die Vorlage steht knapp außerhalb der Brennweite und wird auf dem Kopf und seitenverkehrt eingelegt. Scharfgestellt wird durch Verschieben des Objektivs. Der Kondensor bildet nicht ab, sondern leuchtet die Vorlage gleichmäßig aus.
Fotoapparat
Der umgekehrte Fall: g > 2f, meist g ≫ f. Aus der Linsengleichung folgt b ≈ f — der Sensor sitzt etwa in der Brennebene. Scharfstellen heißt, b an das aktuelle g anzupassen. Die Blende begrenzt das genutzte Bündel und steuert Helligkeit und Schärfentiefe.
Mikroskop
Vergrößert in zwei Stufen. Das Objektiv (sehr kleine Brennweite, f < g < 2f) erzeugt im Tubus ein reelles, umgekehrtes, stark vergrößertes Zwischenbild. Das Okular wirkt darauf als Lupe und macht daraus ein vergrößertes virtuelles Bild für das entspannte Auge.
Fernrohr (Kepler)
Derselbe Zweistufenbau, aber für praktisch unendlich weit entfernte Gegenstände: Das langbrennweitige Objektiv erzeugt sein Zwischenbild genau in seiner Brennebene, das kurzbrennweitige Okular betrachtet es als Lupe. Beide Brennpunkte fallen zusammen — daraus folgt die Baulänge. Das Bild ist umgekehrt.
L ≈ fObj + fOk
Zwei Klassen unterscheiden
Abbildende Geräte (Projektor, Fotoapparat) erzeugen ein reelles Bild auf einer Fläche — Kenngröße ist β. Sehwinkelvergrößernde Geräte (Lupe, Mikroskop, Fernrohr) liefern kein auffangbares Endbild; das Bild entsteht erst auf der Netzhaut. Die Frage „Wie groß ist das Bild?“ ist nur bei der ersten Klasse sinnvoll.