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Übung — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Unterkapiteln: erst die Situation in Größen übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn es hakt.

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Aufgabenblock — AFB II

Hier geht es um Anwenden und Verknüpfen: Jede der 10 Aufgaben beschreibt eine Situation, die du erst in Größen übersetzen musst — und danach in mehreren Schritten rechnest. Fast immer hängen zwei Formeln zusammen: erst die Linsengleichung, dann der Abbildungsmaßstab; oder erst Snellius, dann der Grenzwinkel. Wenn du festhängst, gibt es drei gestufte Tipps — Ansatz, Rechenweg, Lösung. Nutze sie in dieser Reihenfolge.

A1
Projektor — Vorlage richtig platzieren
AFB II

Ein Projektor arbeitet mit einem Objektiv der Brennweite f = 12 cm. Der Schirm hängt so, dass das Bild in b = 300 cm Abstand scharf entsteht. Die Vorlage ist 3 cm hoch.

a) In welchem Abstand g von der Linse muss die Vorlage stehen? b) Wie hoch ist das Bild auf dem Schirm?

cm
cm
Ansatz: Die Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b gilt in beide Richtungen. Nach g aufgelöst: g = b · f : (b − f). Für die Höhe brauchst du danach β = b : g.
Rechenweg: g = 300 · 12 : (300 − 12) = 3600 : 288. Dann β = 300 : g und B = β · 3 cm.
Lösung: g = 12,5 cm, β = 24, B = 72 cm.
Vollständige Lösung
g = 300·12 : 288 = 12,5 cm. Damit β = b : g = 300 : 12,5 = 24, also B = 24 · 3 cm = 72 cm. Kontrolle: 12 cm < 12,5 cm < 24 cm — die Vorlage steht wie erwartet im Bereich f < g < 2f, genau der Fall für ein stark vergrößertes reelles Bild.
FF Vorlage 3 cm f = 12 cm b = 300 cm Schirm
Vorlage knapp außerhalb von F
A2
Fotoapparat — Bildweite und Bildgröße
AFB II

Ein Objektiv mit f = 50 mm fotografiert einen 1,80 m großen Menschen aus 5,00 m Entfernung.

a) Wie groß ist die Bildweite b in Millimetern? b) Wie groß ist das Bild auf dem Sensor (in mm)?

mm
mm
Ansatz: Rechne zuerst alles in Millimeter um: g = 5,00 m = 5000 mm, G = 1800 mm. Dann b = g · f : (g − f).
Rechenweg: b = 5000 · 50 : 4950. Danach β = b : g und B = β · 1800 mm.
Lösung: b ≈ 50,5 mm, β ≈ 0,0101, B ≈ 18,2 mm.
Vollständige Lösung
b = 250 000 : 4950 ≈ 50,5 mm — das ist fast genau die Brennweite. Genau das sagt die Theorie: Für g ≫ f wird 1/g winzig, also b ≈ f, und der Sensor sitzt ungefähr in der Brennebene. β = 50,5 : 5000 ≈ 0,0101, also B ≈ 0,0101 · 1800 mm ≈ 18,2 mm — reell, umgekehrt und stark verkleinert.
g = 5,00 m f = 50 mm Sensor G = 1,80 m
g ≫ f → b ≈ f
A3
Lupe — virtuelles Bild vermessen
AFB II

Eine Sammellinse mit f = 10 cm wird als Lupe benutzt. Der Gegenstand liegt in g = 6 cm Abstand.

a) Wie weit ist das virtuelle Bild von der Linse entfernt? b) Um welchen Faktor erscheint es vergrößert?

cm
-fach
Ansatz: Auch hier gilt b = g · f : (g − f). Achte auf das Vorzeichen des Nenners, wenn g kleiner als f ist.
Rechenweg: b = 6 · 10 : (6 − 10) = 60 : (−4) = −15. Das Minus bedeutet: Bild auf der Gegenstandsseite. Der Betrag ist der Abstand. Für β nimmst du |b| : g.
Lösung: b = −15 cm, also 15 cm vor der Linse; β = 15 : 6 = 2,5.
Vollständige Lösung
b = 60 : (−4) = −15 cm. Das negative Vorzeichen bedeutet: Das Bild liegt vor der Linse, ist also virtuell — genau der Fall g < f. Sein Abstand beträgt 15 cm. β = 15 : 6 = 2,5: aufrecht und 2,5-fach vergrößert. Auf einem Schirm wäre davon nichts zu sehen — dort treffen sich nur die rückwärtigen Verlängerungen.
FF virtuelles Bild g = 6 cm f = 10 cm
g < f → b negativ, Bild virtuell
A4
Wasser → Luft: Brechung und Grenzwinkel
AFB II

Ein Lichtstrahl trifft von unten aus Wasser (n = 1,33) unter α = 30° auf die Wasseroberfläche und tritt in Luft (n = 1,00) über.

a) Berechne den Brechungswinkel β. b) Ab welchem Einfallswinkel tritt Totalreflexion ein? Runde jeweils auf eine Nachkommastelle.

°
°
Ansatz: n1 · sin α = n2 · sin β. Hier ist Medium 1 das Wasser. Ins dünnere Medium wird vom Lot weg gebrochen — β muss also größer als 30° herauskommen.
Rechenweg: sin β = 1,33 · sin 30° : 1,00 = 0,665. Der Grenzwinkel ist der Einfallswinkel, bei dem β = 90° wäre: sin αg = 1,00 : 1,33.
Lösung: β ≈ 41,7°; Grenzwinkel ≈ 48,8°.
Vollständige Lösung
a) sin β = 1,33 · 0,5 = 0,665, also β ≈ 41,7° — wie erwartet größer als α, denn Luft ist das optisch dünnere Medium. b) Totalreflexion beginnt, wenn der gebrochene Strahl gerade in der Grenzfläche läge (β = 90°): sin αg = 1,00 : 1,33 = 0,7519, also αg ≈ 48,8°. Darüber verlässt kein Licht mehr das Wasser.
α = 30° β = ? Luft · n = 1,00 Wasser · n = 1,33
Ins dünnere Medium: vom Lot weg
A5
Kernschatten bei zwei Lampenpositionen
AFB II

Eine punktförmige Lampe hängt 200 cm über dem Boden. 50 cm unter ihr liegt waagerecht eine 4 cm breite Scheibe.

a) Wie breit ist der Kernschatten auf dem Boden? b) Die Scheibe wird auf 100 cm unter die Lampe abgesenkt (Boden unverändert). Wie breit ist der Kernschatten jetzt?

cm
cm
Ansatz: Lampe, Scheibenrand und Schattenrand liegen auf einer Geraden. Scheibe und Schatten sind also zentrisch ähnlich: Breite : 4 = Bodenabstand : Scheibenabstand.
Rechenweg: a) Breite = 4 · 200 : 50. b) Der Bodenabstand bleibt 200 cm, nur der Nenner ändert sich auf 100.
Lösung: a) 16 cm, b) 8 cm.
Vollständige Lösung
a) Breite = 4 · (200 : 50) = 4 · 4 = 16 cm. b) Breite = 4 · (200 : 100) = 8 cm. Je weiter die Scheibe von der Lampe wegrückt, desto kleiner wird der Streckfaktor — der Schatten schrumpft. Wäre die Lampe ausgedehnt statt punktförmig, läge um diesen Kernschatten zusätzlich ein Halbschatten.
Lampe Scheibe 4 cm Kernschatten = ? 50 cm 200 cm
Zentrische Ähnlichkeit Scheibe → Schatten
A6
Optische Bank — Brennweite und Brechkraft
AFB II

Auf der optischen Bank wird eine scharfe Abbildung eingestellt. Gemessen werden g = 60 cm und b = 30 cm.

a) Berechne die Brennweite f. b) Wie groß ist die Brechkraft D dieser Linse?

cm
dpt
Ansatz: 1/f = 1/g + 1/b. Erst die Kehrwerte addieren — und ganz am Ende den Kehrwert bilden. f = g + b wäre falsch.
Rechenweg: 1/f = 1/60 + 1/30 = 1/60 + 2/60 = 3/60 = 1/20. Für D rechnest du mit f in Metern.
Lösung: f = 20 cm, D = 1 : 0,20 m = 5 dpt.
Vollständige Lösung
1/f = 1/60 + 1/30 = 3/60 = 1/20, also f = 20 cm. Mit f = 0,20 m folgt D = 1 : 0,20 = 5 dpt. Plausibilität: g = 60 cm ist größer als 2f = 40 cm — und tatsächlich liegt b = 30 cm zwischen f und 2f, das Bild ist verkleinert (β = 0,5).
g = 60 cm b = 30 cm f = ? D = ? optische Bank
Zwei Weiten messen → f bestimmen
A7
Mikroskop — Zwischenbild und Gesamtvergrößerung
AFB II

Ein Mikroskop-Objektiv hat f = 4 mm. Das Präparat liegt in g = 4,4 mm Abstand. Das Okular vergrößert 15-fach.

a) In welchem Abstand b vom Objektiv entsteht das Zwischenbild? b) Wie groß ist die Gesamtvergrößerung?

mm
-fach
Ansatz: b = g · f : (g − f). Die Vergrößerung des Objektivs ist sein Abbildungsmaßstab β = b : g; die des Okulars ist gegeben.
Rechenweg: b = 4,4 · 4 : 0,4 = 17,6 : 0,4. Dann VObjektiv = b : g und V = VObjektiv · 15.
Lösung: b = 44 mm, VObjektiv = 10, V = 150.
Vollständige Lösung
b = 17,6 : 0,4 = 44 mm — das reelle, umgekehrte Zwischenbild entsteht also 44 mm hinter dem Objektiv im Tubus. VObjektiv = 44 : 4,4 = 10. Mit dem Okular: V = 10 · 15 = 150-fach. Der winzige Abstand g − f = 0,4 mm erklärt, warum am Mikroskop so fein scharfgestellt werden muss.
Objektiv f = 4 mm Okular 15× g = 4,4 mm Zwischenbild
Objektiv: f < g < 2f
A8
Fernrohr planen — Brennweite und Baulänge
AFB II

Ein Kepler-Fernrohr soll 20-fach vergrößern. Zur Verfügung steht ein Okular mit f = 20 mm.

a) Welche Brennweite muss das Objektiv haben (in mm)? b) Wie lang wird das Rohr ungefähr?

mm
mm
Ansatz: V = fObjektiv : fOkular, umgestellt nach fObjektiv. Die Baulänge ist L ≈ fObjektiv + fOkular, weil beide Brennpunkte zusammenfallen.
Rechenweg: fObjektiv = 20 · 20 mm. Danach L = fObjektiv + 20 mm.
Lösung: fObjektiv = 400 mm, L ≈ 420 mm.
Vollständige Lösung
fObjektiv = 20 · 20 mm = 400 mm, damit L ≈ 400 + 20 = 420 mm. Hier sieht man den Zusammenhang, den das Kapitel nennt: Große Vergrößerung verlangt ein langbrennweitiges Objektiv — und macht das Fernrohr dadurch zwangsläufig lang.
f (Objektiv) = ? 20 mm Objektiv Okular Baulänge L ≈ f₀₋₌ + f₋ₖ
V = f₀₋₌ : f₋ₖ, L ≈ Summe
A9
Ebener Spiegel — Abstand zum virtuellen Bild
AFB II

Eine Person steht 1,2 m vor einem ebenen Spiegel.

a) Wie groß ist der Abstand zwischen der Person und ihrem virtuellen Bild? b) Sie geht 0,5 m auf den Spiegel zu. Wie groß ist der Abstand dann?

m
m
Ansatz: Beim ebenen Spiegel liegt das virtuelle Bild ebenso weit hinter dem Spiegel wie der Gegenstand davor. Der gesuchte Abstand ist also das Doppelte des Spiegelabstands.
Rechenweg: a) 2 · 1,2 m. b) Neuer Spiegelabstand: 1,2 − 0,5 = 0,7 m, davon das Doppelte.
Lösung: a) 2,4 m, b) 1,4 m.
Vollständige Lösung
a) 2 · 1,2 m = 2,4 m. b) Der Spiegelabstand beträgt nun 0,7 m, der Bildabstand also 2 · 0,7 m = 1,4 m. Ein Schritt auf den Spiegel zu verkürzt den Abstand zum Bild um zwei Schritte. Das Bild bleibt dabei immer gleich groß und aufrecht — und ist nicht auffangbar.
1,2 m 1,2 m Gegenstand virtuelles Bild
Bild ebenso weit hinter dem Spiegel
A10
Halbe Linse — Rechnung und Beobachtung
AFB II

Mit einer Linse der Brennweite f = 8 cm entsteht ein scharfes Bild in b = 24 cm Abstand.

a) Wie groß ist die Gegenstandsweite g? b) Wie groß ist der Abbildungsmaßstab β? — Überlege dir außerdem, was passiert, wenn die obere Hälfte der Linse abgedeckt wird, und prüfe deine Vermutung an der Lösung.

cm
Ansatz: Die Linsengleichung ist symmetrisch in g und b: g = b · f : (b − f). Danach β = b : g.
Rechenweg: g = 24 · 8 : (24 − 8) = 192 : 16. Dann β = 24 : g.
Lösung: g = 12 cm, β = 2. Für die Abdeckung: das Bild bleibt vollständig, wird aber dunkler.
Vollständige Lösung
g = 192 : 16 = 12 cm, also β = 24 : 12 = 2: reell, umgekehrt, doppelt so groß. Wegen 8 cm < 12 cm < 16 cm liegt der Gegenstand zwischen f und 2f — passt zur Vergrößerung. Zur Abdeckung: Es verschwindet nicht die Hälfte des Bildes. Jeder Bildpunkt wird von einem ganzen Bündel erzeugt, das die gesamte Linsenfläche nutzt. Fällt die Hälfte weg, tragen zu jedem Bildpunkt weniger Strahlen bei: Das Bild bleibt vollständig und gleich groß, wird aber dunkler.
obere Hälfte abgedeckt g = ? b = 24 cm f = 8 cm
Weniger Fläche → dunkler, nicht halb

Wie war es?

Wie sicher fühlst du dich nach diesen 10 AFB-II-Aufgaben?