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Interaktive ÜbungLogarithmusfunktionen — Definition

Zwanzig Aufgaben zur Grundgleichung \(a^{\,n}=b\), zum Logarithmus als gesuchtem Exponenten und zur Definition \(f(x)=\log_{b}(x)\).

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDer Logarithmus als gesuchter Exponent und die Definition der Logarithmusfunktion.
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Übungsaufgaben

Zwanzig Aufgaben zum Rechnen, Zuordnen und Umschreiben. Der erste Teil klärt, welche der drei Größen aus \(a^{\,n}=b\) gerade gesucht ist, der zweite übt das Berechnen von Logarithmen ohne Taschenrechner — bis hin zu Brüchen, negativen Werten und geschachtelten Ausdrücken. Jede gelöste Aufgabe füllt den Fortschrittsbalken weiter auf.

1Der gesuchte ExponentAFB I

Gegeben ist die Gleichung \(3^{\,n}=243\).

Bestimmen Sie den Exponenten \(n\).

Rechne im Kopf: Wie oft musst du 3 mit sich selbst multiplizieren? Trage nur die Zahl ein — Enter prüft.
Es ist \(3^1=3\), \(3^2=9\), \(3^3=27\), \(3^4=81\), \(3^5=243\). Also \(n=\log_{3}(243)=5\). Der Logarithmus beantwortet genau diese Frage: „Mit welchem Exponenten?“
2Welche Rechnung führt zum Ziel?AFB I

In \(a^{\,n}=b\) steckt immer genau eine unbekannte Größe. Je nachdem, welche das ist, brauchst du eine andere Rechnung.

Ordnen Sie jede Gleichung der passenden Rechenart zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Potenz ausrechnen
2Wurzel ziehen
3Logarithmus bilden
Ist das Ergebnis \(b\) gesucht, rechnest du die Potenz aus. Ist die Basis \(a\) gesucht, ziehst du die Wurzel. Nur wenn der Exponent \(n\) gesucht ist, hilft weder das eine noch das andere — dafür gibt es den Logarithmus.
3Von der Potenz- zur LogarithmusformAFB I

Beide Zeilen sagen dasselbe aus: \(a^{\,n}=b\;\Longleftrightarrow\;n=\log_{a}(b)\).

Berechnen Sie die vier Logarithmuswerte.

Trage in jedes Feld eine Zahl ein — Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt, ein Minus gehört direkt vor die Zahl. Enter prüft.
Potenzform\(4^{3}=64\)\(2^{\,n}=32\)\(10^{\,n}=0{,}01\)\(9^{\,n}=3\)
Logarithmusform\(\log_{4}(64)=\) \(\log_{2}(32)=\) \(\log_{10}(0{,}01)=\) \(\log_{9}(3)=\)
Der Reihe nach: \(4^{3}=64\), \(2^{5}=32\), \(10^{-2}=\tfrac{1}{100}=0{,}01\) und \(9^{0,5}=\sqrt{9}=3\). Der letzte Fall zeigt: Ein Exponent muss keine ganze Zahl sein.
4Wertetabelle der LogarithmusfunktionAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\log_{2}(x)\).

Berechnen Sie die fünf Funktionswerte. Schreiben Sie jedes \(x\) zuerst als Zweierpotenz.

Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Negative Zahlen mit Minuszeichen. Enter in einem Feld prüft ebenfalls.
\(x\)\(\tfrac18\)\(1\)\(4\)\(32\)\(256\)
\(f(x)\)
\(\tfrac18=2^{-3}\), \(1=2^{0}\), \(4=2^{2}\), \(32=2^{5}\), \(256=2^{8}\). Der Funktionswert ist jedes Mal genau der Exponent. Bemerkenswert: Von \(x=4\) bis \(x=256\) wird das Argument 64-mal so groß, der Funktionswert wächst aber nur um 6.
5Ein Logarithmus, der kein ganzes Ergebnis hatAFB II

Bestimmen Sie \(\log_{8}(2)\) als vollständig gekürzten Bruch.

Hinweis: Gesucht ist die Zahl \(n\) mit \(8^{\,n}=2\).

Trage Zähler und Nenner ein — vollständig gekürzt. Eine ganze Zahl bekommt den Nenner 1. Enter prüft.
\(8=2^{3}\), also ist \(2=\sqrt[3]{8}=8^{1/3}\). Damit gilt \(\log_{8}(2)=\tfrac13\). Zur Kontrolle andersherum: \(\log_{2}(8)=3\) — Basis und Argument getauscht ergibt den Kehrwert.
6Welche Ausdrücke haben überhaupt einen Wert?AFB II

Nicht jeder aufgeschriebene Logarithmus ergibt eine Zahl.

Wählen Sie alle Ausdrücke aus, die einen Wert besitzen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Auswahl prüfen“.
\(\log_{2}(8)=3\), \(\log_{5}(1)=0\) und \(\log_{0,5}(4)=-2\) sind Zahlen. Dagegen scheitert \(\log_{1}(5)\), weil \(1^{\,n}=1\) für jedes \(n\) gilt; \(\log_{3}(0)\) und \(\log_{4}(-16)\) scheitern, weil eine positive Basis niemals 0 oder eine negative Zahl ergibt. Deshalb fordert die Definition \(b>0\) und \(b\neq 1\).
7Schritt für Schritt zu \(\log_{5}(625)\)AFB II

Berechnen Sie \(\log_{5}(625)\), indem Sie 625 zuerst als Potenz von 5 schreiben.

Rechne die Kette Schritt für Schritt. Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wie groß ist \(5^{2}\)?
  2. Und \(5^{3}\)?
  3. Wie groß ist \(5^{4}\)?
  4. Also ist \(\log_{5}(625)=\)
  5. Kontrolle: \(\log_{5}(625)-\log_{5}(25)=\)
Wer die Potenzen der Basis der Reihe nach bildet, findet den Logarithmus ohne Taschenrechner. Die Kontrollrechnung \(4-2=2\) passt zu \(625:25=25=5^{2}\).
8Größer, kleiner oder gleich?AFB III

Auf beiden Seiten stehen Logarithmen, die sich ohne Taschenrechner ausrechnen lassen.

Setzen Sie in jeder Zeile das richtige Zeichen.

Rechne zuerst beide Seiten aus und klicke dann das passende Zeichen an. Mit der Tastatur: Tab zum Zeichen, ←/→ zum Wechseln, Enter zum Setzen.
\(\log_{2}(64)\)\(\log_{4}(64)\)
\(\log_{3}(81)\)\(\log_{9}(81)\)
\(\log_{5}(125)\)\(\log_{2}(8)\)
\(\log_{2}(0{,}5)\)\(\log_{2}(2)\)
\(\log_{10}(0{,}001)\)\(\log_{2}\!\left(\tfrac{1}{16}\right)\)
\(\log_{7}(1)\)\(\log_{100}(1)\)
Der Reihe nach: \(6>3\); \(4>2\); \(3=3\); \(-1<1\); \(-3>-4\); \(0=0\). Zwei Beobachtungen lohnen sich: Bei gleichem Argument liefert die größere Basis den kleineren Wert, und \(\log_{a}(1)=0\) gilt für jede zulässige Basis.
9Die Basis ist gesuchtAFB II

Es gilt \(\log_{x}(125)=3\).

Bestimmen Sie die Basis \(x\).

Schreibe die Gleichung zuerst in der Potenzform. Enter prüft.
Die Logarithmusform \(\log_{x}(125)=3\) bedeutet \(x^{3}=125\). Also ist \(x=\sqrt[3]{125}=5\). Weil die Basis positiv sein muss, kommt nur \(x=5\) in Frage.
10Fehler in einer HausaufgabeAFB II

Ein Mitschüler hat sieben Logarithmen berechnet. Drei Zeilen sind falsch.

Markieren Sie genau die fehlerhaften Zeilen.

In dieser Liste stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zwei typische Fallen: das Argument mit dem Ergebnis verwechseln (Zeile 2 und 7) und einen undefinierten Ausdruck einfach mit 0 beantworten (Zeile 4).
11Logarithmus und Wert verbindenAFB I

Verbinden Sie jeden Logarithmus mit seinem Wert.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
\(2^{7}=128\), \(3^{5}=243\), \(4^{4}=256\), \(5^{-2}=\tfrac{1}{25}\) und \(10^{-1}=0{,}1\). Ein negatives Ergebnis entsteht immer dann, wenn das Argument zwischen 0 und 1 liegt.
12Aussagen zur DefinitionAFB II

Fünf Aussagen über den Logarithmus und die Logarithmusfunktion.

Entscheiden Sie jeweils, ob die Aussage stimmt.

5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die drei Bausteine der Definition sind: der Logarithmus ist ein Exponent, die Basis muss positiv und von 1 verschieden sein, und das Argument muss positiv sein.
13Die fehlende Größe berechnenAFB II

In jeder Zeile fehlt genau eine der drei Größen aus \(a^{\,n}=b\).

Berechnen Sie alle sechs Werte.

Trage alle sechs Zahlen ein. Enter prüft alle Felder auf einmal.
Die Zeilen 1, 4 und 6 fragen nach dem Exponenten — das ist der Logarithmus. Die Zeilen 2 und 5 fragen nach der Basis: dort wird die Wurzel gezogen (\(\sqrt[4]{625}=5\), \(\sqrt[3]{216}=6\)). Nur Zeile 3 ist eine gewöhnliche Potenz.
14Eine Basis kleiner als 1AFB II

Berechnen Sie \(\log_{0,5}(8)\).

Hinweis: Gesucht ist die Zahl \(n\) mit \(0{,}5^{\,n}=8\).

Trage das Ergebnis mit Vorzeichen ein. Enter prüft.
\(0{,}5=\tfrac12=2^{-1}\). Aus \(\left(2^{-1}\right)^{n}=2^{3}\) folgt \(-n=3\), also \(n=-3\). Probe: \(0{,}5^{-3}=\tfrac{1}{0{,}125}=8\). Bei einer Basis zwischen 0 und 1 kehren sich die Vorzeichen der Ergebnisse um.
15Den Rechenweg ordnenAFB I

Die fünf Schritte führen zu \(\log_{4}(64)\), stehen aber durcheinander.

Bringen Sie sie in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Die Frage aufschreiben: \(4^{\,n}=64\).
264 als Potenz von 4 schreiben: \(64=4^{3}\).
3Die Exponenten vergleichen: \(4^{\,n}=4^{3}\), also \(n=3\).
4Das Ergebnis notieren: \(\log_{4}(64)=3\).
5Die Probe rechnen: \(4^{3}=64\) ✓
Der Weg ist bei jedem Logarithmus derselbe: Frage als Potenzgleichung aufschreiben, beide Seiten auf dieselbe Basis bringen, Exponenten vergleichen, Probe machen.
16Nach dem Exponenten auflösenAFB III

Gegeben ist \(10^{\,n}=x^{5}\) mit \(x>0\).

Geben Sie einen Term für \(n\) an, der nur noch \(x\) enthält. Der Zehnerlogarithmus wird kurz \(\log\) geschrieben.

Gib den Term ein. Schreibweise: 5*log(x) oder log(x^5), Malzeichen * oder weglassen, Potenzen mit ^. Enter prüft.
Logarithmieren beider Seiten liefert \(n=\log\!\left(x^{5}\right)\). Mit dem Potenzgesetz für Logarithmen ist das dasselbe wie \(5\cdot\log(x)\). Beide Schreibweisen sind richtig. Probe für \(x=10\): \(n=5\), und tatsächlich ist \(10^{5}=10^{5}\).
17Begriffe und ihre BedeutungAFB I

Finden Sie die fünf Paare aus Begriff und Erklärung.

Decke immer zwei Karten auf. Passen sie zusammen, bleiben sie offen liegen — sonst drehen sie sich wieder um.
In \(\log_{a}(b)=n\) heißt \(a\) Basis, \(b\) Argument (oder Numerus) und \(n\) ist der Logarithmus selbst — also der Exponent.
18Dasselbe Argument, vier verschiedene BasenAFB III

Viermal steht dieselbe Zahl 64 im Logarithmus, nur das Ergebnis ist jeweils ein anderes.

Bestimmen Sie die zugehörige Basis \(a\).

Schreibe jede Zeile zuerst als Potenzgleichung \(a^{\,n}=64\). Enter prüft.
Gleichung\(\log_{a}(64)=2\)\(\log_{a}(64)=3\)\(\log_{a}(64)=6\)\(\log_{a}(64)=1\)
Basis \(a\)
\(a^{2}=64\Rightarrow a=8\); \(a^{3}=64\Rightarrow a=4\); \(a^{6}=64\Rightarrow a=2\); \(a^{1}=64\Rightarrow a=64\). Je kleiner die Basis, desto größer der Exponent, der zu derselben Zahl führt — genau das steckt hinter „große Basis, flacher Graph“.
19Punkte des Graphen setzenAFB II

Gegeben ist \(f(x)=\log_{2}(x)\).

Berechnen Sie die vier Funktionswerte und setzen Sie die Punkte in das Koordinatensystem.

Bewege die Maus über das Koordinatensystem und klicke, um den Punkt zu setzen. Mit der Tastatur: Tab ins Koordinatensystem, Pfeiltasten bewegen den Cursor, Enter setzt.

Die vier Punkte lauten \((1\,|\,0)\), \((2\,|\,1)\), \((4\,|\,2)\) und \((8\,|\,3)\). Bei jeder Verdopplung von \(x\) steigt der Funktionswert nur um 1 — deshalb wird die Kurve nach rechts immer flacher. Bei \(x=1\) schneidet sie die \(x\)-Achse.
20Logarithmus im LogarithmusAFB III

Berechnen Sie \(\log_{2}\!\left(\log_{3}(81)\right)\).

Arbeiten Sie von innen nach außen.

Rechne zuerst den inneren Logarithmus aus und setze das Ergebnis dann ein. Enter prüft.
Innen: \(3^{4}=81\), also \(\log_{3}(81)=4\). Außen: \(\log_{2}(4)=2\), denn \(2^{2}=4\). Ergebnis: 2. Wer die beiden Basen vertauscht, rechnet \(\log_{3}(\log_{2}(81))\) — und stößt auf einen Wert, der sich nicht mehr im Kopf bestimmen lässt.
Nächster SchrittZu den TextaufgabenFünf Sachaufgaben zum Logarithmus als gesuchtem Exponenten: aus a,n=b die Logarithmusform gewinnen, Zeiten, Tiefen und Stufenzahlen berechnen und ein Modell an Messwerten prüfen. Nächstes UnterkapitelDie Funktion f(x) = logₖ(x)Welche Eigenschaften alle Logarithmusfunktionen gemeinsam haben — untersucht mit einem Schieberegler für die Basis a.