Definition: Logarithmus: Textaufgaben – Mathe Klasse 11

Adressleitungen eines Speicherchips

AFB I

Ein Speicherchip wird über sogenannte Adressleitungen angesprochen. Jede Leitung kann nur die beiden Zustände $0$ und $1$ annehmen. Mit $n$ Adressleitungen lassen sich deshalb genau $$b=2^{\,n}$$ verschiedene Speicherzellen unterscheiden. Ein Entwickler kennt umgekehrt die geforderte Zellenzahl $b$ und sucht die passende Anzahl $n$ der Leitungen.

Berechne die nötige Anzahl der Adressleitungen für $1024$, $4096$ und $65\,536$ Speicherzellen.
Gib an die Gleichung $2^{\,n}=b$ in Logarithmusform und benenne darin Basis und Argument.
Beschreibe wie sich die Anzahl der Adressleitungen ändert, wenn die geforderte Zellenzahl verdoppelt wird, und belege das am Übergang von $4096$ auf $8192$ Zellen.

Hinweis zu Aufgabe a)

Schreibe jede der drei Zellenzahlen als Zweierpotenz. Verdopple dazu einfach der Reihe nach: $2$, $4$, $8$, $16$, $\ldots$Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit zusammen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Für $b=1024$ gilt $2^{10}=1024$, also $n=\log_{2}(1024)=10$ Adressleitungen.

Für $b=4096$ gilt $2^{12}=4096$, also $n=\log_{2}(4096)=12$ Adressleitungen.

Für $b=65\,536$ gilt $2^{16}=65\,536$, also $n=\log_{2}(65\,536)=16$ Adressleitungen.

Gesucht war jedes Mal der Exponent — genau das leistet der Logarithmus.

Hinweis zu Aufgabe b)

Beide Schreibweisen sagen dasselbe aus. Die eine ist nach $b$ aufgelöst, die andere nach $n$.„Gib an“ verlangt die Angabe ohne Herleitung — dafür aber vollständig, also mit beiden Fachwörtern.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus $2^{\,n}=b$ wird $n=\log_{2}(b)$. Die Basis ist die feste Zahl $2$, das Argument ist die Zellenzahl $b$. Der Funktionswert $n$ ist der gesuchte Exponent. Als Funktion geschrieben lautet der Zusammenhang $f(b)=\log_{2}(b)$ und ist damit eine Logarithmusfunktion mit der Basis $2$.

Hinweis zu Aufgabe c)

Rechne $\log_{2}(8192)$ aus und vergleiche das Ergebnis mit dem Wert aus Teilaufgabe a).„Beschreibe“ verlangt eine geordnete Darstellung in Fachsprache — hier zusätzlich mit einem Zahlenbeleg.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Eine Verdopplung der Zellenzahl kostet genau eine zusätzliche Adressleitung. Beleg: $8192=2^{13}$, also $\log_{2}(8192)=13$, während $\log_{2}(4096)=12$ war — die Differenz beträgt $13-12=1$.

Der Grund: Eine Verdopplung des Arguments bedeutet einen Faktor $2$ mehr, und die Basis ist ebenfalls $2$. Deshalb wächst der Exponent nur um $1$. Der Logarithmus wächst also sehr viel langsamer als sein Argument.

Bakterien in der Nährlösung

AFB II

In einem Schullabor wird eine Bakterienkultur beobachtet. Unter idealen Bedingungen verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien in jeder Stunde. Zu Beginn der Messung sind $500$ Bakterien in der Nährlösung. Nach $t$ Stunden gilt daher $$N(t)=500\cdot 2^{\,t}.$$ Für die Auswertung ist meist die umgekehrte Frage wichtig: Nach wie vielen Stunden ist eine bestimmte Anzahl $N$ erreicht?

Berechne nach wie vielen Stunden $32\,000$ Bakterien in der Nährlösung sind.
Ermittle einen Term, mit dem sich die Zeit $t$ aus einer beliebigen Bakterienzahl $N$ berechnen lässt.
Begründe dass die Zeit bis zu $5000$ Bakterien keine ganze Stundenzahl ist, und gib die beiden ganzen Stunden an, zwischen denen sie liegt.

Hinweis zu Aufgabe a)

Teile zuerst durch die Startzahl $500$. Übrig bleibt eine reine Zweierpotenz — ihr Exponent ist die gesuchte Zeit.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis mit Einheit zusammen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: $500\cdot 2^{\,t}=32\,000$. Division durch $500$ liefert $2^{\,t}=64$.

Wegen $2^{6}=64$ ist $t=\log_{2}(64)=6$.

Nach $6$ Stunden sind $32\,000$ Bakterien vorhanden. Probe: $500\cdot 64=32\,000\ \checkmark$

Hinweis zu Aufgabe b)

Löse $500\cdot 2^{\,t}=N$ nach $t$ auf. Der erste Schritt ist derselbe wie in Teilaufgabe a), der zweite ist der Übergang zur Logarithmusform.„Ermittle“ verlangt den Zusammenhang selbst, nicht nur einen einzelnen Zahlenwert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus $500\cdot 2^{\,t}=N$ folgt zunächst $2^{\,t}=\dfrac{N}{500}$.

Die Umkehrung $a^{\,n}=b\;\Longleftrightarrow\;n=\log_{a}(b)$ liefert $$t=\log_{2}\!\left(\frac{N}{500}\right).$$

Das ist eine Logarithmusfunktion mit der Basis $2$. Kontrolle mit Teilaufgabe a): $t=\log_{2}\!\left(\frac{32\,000}{500}\right)=\log_{2}(64)=6\ \checkmark$

Hinweis zu Aufgabe c)

Berechne zuerst $\dfrac{5000}{500}$ und vergleiche das Ergebnis mit den Zweierpotenzen $8$ und $16$.„Begründe“ heißt: die Aussage nennen und sie auf eine Gesetzmäßigkeit zurückführen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Es ist $\dfrac{5000}{500}=10$, gesucht ist also $t=\log_{2}(10)$.

Wäre $t$ eine ganze Zahl, müsste $10$ eine Zweierpotenz sein. Die benachbarten Zweierpotenzen sind aber $2^{3}=8$ und $2^{4}=16$, und $10$ ist keine von beiden. Also ist $t$ keine ganze Zahl.

Aus $8<10<16$ folgt $3<t<4$: Die Zahl $5000$ wird zwischen der dritten und der vierten Stunde erreicht. Ein Logarithmus muss also nicht ganzzahlig sein.

pH-Wert einer Lösung

AFB II

In der Chemie wird der Säuregrad einer wässrigen Lösung durch den pH-Wert angegeben. Er ist über die Konzentration $c$ der Oxonium-Ionen in Mol pro Liter definiert: $$\mathrm{pH}=-\log_{10}(c).$$ Gleichwertig dazu gilt $c=10^{-\mathrm{pH}}$. Der pH-Wert ist also nichts anderes als der negative Exponent, mit dem man $10$ potenzieren muss, um die Konzentration zu erhalten.

Berechne die pH-Werte für die Konzentrationen $c=0{,}001$, $c=0{,}00001$ und $c=0{,}0000001$ Mol pro Liter.
Bestimme die Konzentration einer Lösung mit dem pH-Wert $4$.
Erkläre warum eine Verzehnfachung der Konzentration den pH-Wert um genau $1$ senkt.

Hinweis zu Aufgabe a)

Schreibe jede Konzentration zuerst als Zehnerpotenz mit negativem Exponenten, zum Beispiel $0{,}01=10^{-2}$.Beim Operator „Berechne“ gehören Ansatz, Rechnung und Ergebnis zusammen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$0{,}001=10^{-3}$, also $\mathrm{pH}=-\log_{10}\!\left(10^{-3}\right)=-(-3)=3$.

$0{,}00001=10^{-5}$, also $\mathrm{pH}=5$.

$0{,}0000001=10^{-7}$, also $\mathrm{pH}=7$.

Die drei Lösungen sind demnach sauer (pH $3$), schwach sauer (pH $5$) und neutral (pH $7$).

Hinweis zu Aufgabe b)

Hier ist nicht der Exponent, sondern das Ergebnis der Potenz gesucht. Nutze $c=10^{-\mathrm{pH}}$.„Bestimme“ verlangt einen dargestellten Lösungsweg und ein formuliertes Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus $-\log_{10}(c)=4$ folgt $\log_{10}(c)=-4$ und damit $c=10^{-4}$.

Also ist $c=0{,}0001$ Mol pro Liter. Hier musste kein Logarithmus berechnet werden — gesucht war das Ergebnis der Potenz, nicht ihr Exponent.

Hinweis zu Aufgabe c)

Vergleiche zwei Konzentrationen wie $10^{-5}$ und $10^{-4}$. Wie unterscheiden sich ihre Exponenten, wie ihre Zahlenwerte?„Erkläre“ verlangt die Rückführung auf eine Gesetzmäßigkeit, nicht nur ein Beispiel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Eine Verzehnfachung bedeutet einen Faktor $10$, also einen Schritt in der Basis $10$. Aus $c=10^{-5}$ wird dadurch $10\cdot 10^{-5}=10^{-4}$: Der Exponent steigt von $-5$ auf $-4$.

Weil der pH-Wert der negative Exponent ist, sinkt er dabei von $5$ auf $4$, also um genau $1$.

Allgemein gilt: Die Konzentration wächst um einen ganzen Faktor $10$, der pH-Wert ändert sich aber nur um $1$. Genau deshalb verwendet man in der Chemie eine logarithmische Skala — sie fasst einen riesigen Zahlenbereich in wenige Stufen.

Oktaven über dem Kammerton

AFB II

Der Kammerton $a'$ hat die Frequenz $440\ \mathrm{Hz}$. Eine Oktave nach oben verdoppelt die Frequenz, eine Oktave nach unten halbiert sie. Für den Ton, der $n$ Oktaven vom Kammerton entfernt liegt, gilt daher $$f(n)=440\cdot 2^{\,n}\qquad\text{mit}\quad [f]=\mathrm{Hz}.$$ Dabei zählt $n$ nach oben positiv und nach unten negativ. Ein Klavierstimmer kennt umgekehrt eine gemessene Frequenz und sucht die zugehörige Oktavzahl $n$.

Berechne die Frequenzen für $n=1$, $n=2$, $n=-1$ und $n=-2$.
Ermittle einen Term, mit dem sich die Oktavzahl $n$ aus einer gemessenen Frequenz $f$ berechnen lässt.
Bestimme die Oktavzahlen für die gemessenen Frequenzen $3520\ \mathrm{Hz}$ und $55\ \mathrm{Hz}$.
Erkläre warum die Oktavzahl $n$ für jede Frequenz unter $440\ \mathrm{Hz}$ negativ ausfällt.

Hinweis zu Aufgabe a)

Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert: $2^{-1}=\tfrac12$ und $2^{-2}=\tfrac14$.Beim Operator „Berechne“ gehört die Einheit zwingend zum Ergebnis — hier Hertz.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$f(1)=440\cdot 2^{1}=880$, also $880\ \mathrm{Hz}$.

$f(2)=440\cdot 2^{2}=440\cdot 4=1760$, also $1760\ \mathrm{Hz}$.

$f(-1)=440\cdot 2^{-1}=440\cdot \tfrac12=220$, also $220\ \mathrm{Hz}$.

$f(-2)=440\cdot 2^{-2}=440\cdot \tfrac14=110$, also $110\ \mathrm{Hz}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Teile die Gleichung zuerst durch $440$ und wechsle dann in die Logarithmusform.„Ermittle“ verlangt den gesuchten Zusammenhang und seine Formulierung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus $440\cdot 2^{\,n}=f$ folgt $2^{\,n}=\dfrac{f}{440}$ und damit $$n=\log_{2}\!\left(\frac{f}{440}\right).$$

Das ist eine Logarithmusfunktion mit der Basis $2$. Kontrolle: Für $f=880\ \mathrm{Hz}$ ergibt sich $n=\log_{2}(2)=1\ \checkmark$

Hinweis zu Aufgabe c)

Teile jede Frequenz durch $440$. Beim zweiten Wert entsteht ein Bruch — schreibe ihn als Zweierpotenz mit negativem Exponenten.„Bestimme“ verlangt einen nachvollziehbaren Lösungsweg und das formulierte Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für $f=3520\ \mathrm{Hz}$: $\dfrac{3520}{440}=8=2^{3}$, also $n=\log_{2}(8)=3$. Der Ton liegt drei Oktaven über dem Kammerton.

Für $f=55\ \mathrm{Hz}$: $\dfrac{55}{440}=\dfrac18=2^{-3}$, also $n=\log_{2}\!\left(\tfrac18\right)=-3$. Der Ton liegt drei Oktaven unter dem Kammerton.

Probe: $440\cdot 2^{-3}=440:8=55\ \checkmark$

Hinweis zu Aufgabe d)

Überlege, in welchem Bereich der Quotient $\dfrac{f}{440}$ dann liegt, und welchen Exponenten $2^{\,n}$ für solche Werte braucht.„Erkläre“ verlangt die Rückführung auf die Definition, nicht nur ein Beispiel.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Ist $f$ kleiner als $440\ \mathrm{Hz}$, so liegt das Argument des Logarithmus zwischen $0$ und $1$, es gilt also $0<\dfrac{f}{440}<1$.

Für den Exponenten heißt das: $2^{\,n}$ muss kleiner als $1$ sein. Wegen $2^{0}=1$ und weil die Potenz mit wachsendem Exponenten größer wird, ist das nur für $n<0$ möglich.

Allgemein gilt damit: Der Logarithmus eines Arguments zwischen $0$ und $1$ ist bei einer Basis größer als $1$ stets negativ. Für $f=440\ \mathrm{Hz}$ selbst ist $n=\log_{2}(1)=0$.

Lichtabnahme in einem Baggersee

AFB III

Eine Umweltgruppe misst in einem Baggersee, welcher Anteil $p$ des Oberflächenlichts noch in der Tiefe $x$ (in Metern) ankommt. Der Wert $p=1$ bedeutet dabei volles Oberflächenlicht.

Messreihe: $x=0\ \mathrm{m}$ mit $p=1$; $x=4\ \mathrm{m}$ mit $p=0{,}5$; $x=8\ \mathrm{m}$ mit $p=0{,}25$; $x=12\ \mathrm{m}$ mit $p=0{,}125$; $x=16\ \mathrm{m}$ mit $p=0{,}0625$.

Die Gruppe vermutet den Zusammenhang $p(x)=0{,}5^{\,x/4}$.

Zeige dass alle fünf Messwerte zu der vermuteten Gleichung $p(x)=0{,}5^{\,x/4}$ passen.
Ermittle eine Gleichung, mit der sich die Tiefe $x$ aus einem gemessenen Lichtanteil $p$ berechnen lässt, und wende sie auf $p=\tfrac{1}{64}$ an.
Beurteile die Aussage eines Tauchers: „In $40\ \mathrm{m}$ Tiefe ist es in diesem See völlig dunkel.“
Vergleiche den Baggersee mit einem trüberen Weiher, in dem sich der Lichtanteil bereits alle $2\ \mathrm{m}$ halbiert, für den Lichtanteil $p=\tfrac{1}{64}$.

Hinweis zu Aufgabe a)

Setze jede Tiefe einzeln ein und rechne zuerst den Exponenten $\tfrac{x}{4}$ aus.„Zeige“ verlangt die Bestätigung durch Rechnung — hier für jeden einzelnen Messwert.

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

$p(0)=0{,}5^{0}=1\ \checkmark$

$p(4)=0{,}5^{1}=0{,}5\ \checkmark$

$p(8)=0{,}5^{2}=0{,}25\ \checkmark$

$p(12)=0{,}5^{3}=0{,}125\ \checkmark$

$p(16)=0{,}5^{4}=0{,}0625\ \checkmark$

Alle fünf Messwerte werden getroffen. Der Sinn des Nenners $4$ im Exponenten wird damit sichtbar: Je $4$ Meter Tiefe halbiert sich der Lichtanteil, die Halbwertstiefe beträgt also $4\ \mathrm{m}$.

Hinweis zu Aufgabe b)

Wechsle in die Logarithmusform. Für die Anwendung hilft es, $\tfrac{1}{64}$ als Potenz von $0{,}5$ zu schreiben.„Ermittle“ verlangt den Zusammenhang selbst und danach seine Auswertung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus $0{,}5^{\,x/4}=p$ folgt mit $a^{\,n}=b\;\Longleftrightarrow\;n=\log_{a}(b)$ zunächst $\dfrac{x}{4}=\log_{0{,}5}(p)$ und daraus $$x=4\cdot\log_{0{,}5}(p).$$

Für $p=\tfrac{1}{64}$: Wegen $0{,}5^{6}=\tfrac{1}{64}$ ist $\log_{0{,}5}\!\left(\tfrac{1}{64}\right)=6$, also $x=4\cdot 6=24$.

In $24\ \mathrm{m}$ Tiefe kommt noch der $64$-te Teil des Oberflächenlichts an. Probe: $0{,}5^{24/4}=0{,}5^{6}=\tfrac{1}{64}\ \checkmark$

Hinweis zu Aufgabe c)

Rechne zuerst $p(40)$ aus. Frage dich danach, ob das Modell den Wert $p=0$ überhaupt annehmen kann — und was das für $\log_{0{,}5}(0)$ bedeutet.„Beurteile“ verlangt ein eigenständiges, fachlich begründetes Urteil — nicht nur eine Rechnung.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Rechnung: $p(40)=0{,}5^{40/4}=0{,}5^{10}=\dfrac{1}{1024}\approx 0{,}00098$, also noch etwa $0{,}098\ \%$ des Oberflächenlichts.

Nach dem Modell ist es dort also nicht völlig dunkel. Mehr noch: Die Potenz $0{,}5^{\,x/4}$ ist für jede Tiefe positiv und wird nie gleich $0$. Das Modell sagt für keine noch so große Tiefe vollständige Dunkelheit voraus.

Das passt zur Definition des Logarithmus: In $x=4\cdot\log_{0{,}5}(p)$ muss das Argument $p$ positiv sein. Für $p=0$ ist $\log_{0{,}5}(0)$ nicht definiert — es gäbe also gar keine Tiefe „völliger Dunkelheit“ zu berechnen.

Urteil: Die Aussage ist im Sinne des Modells nicht zutreffend. Für das menschliche Auge kann es in $40\ \mathrm{m}$ dennoch dunkel wirken, weil weniger als ein Tausendstel des Lichts unter der Wahrnehmungsschwelle liegt. Die Aussage beschreibt also eine Sinneswahrnehmung, keine physikalische Lichtmenge von $0$.

Hinweis zu Aufgabe d)

Stelle für den Weiher zuerst die passende Gleichung auf und löse sie wie in Teilaufgabe b) nach $x$ auf.„Vergleiche“ verlangt Gemeinsamkeiten und Unterschiede nach einem klaren Kriterium — hier die Tiefe bei gleichem Lichtanteil.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Für den Weiher gilt $p(x)=0{,}5^{\,x/2}$ und damit $x=2\cdot\log_{0{,}5}(p)$.

Für $p=\tfrac{1}{64}$: $x=2\cdot 6=12$, also $12\ \mathrm{m}$. Im Baggersee waren es $24\ \mathrm{m}$.

Gemeinsamkeit: Beide Gewässer werden durch dieselbe Logarithmusfunktion mit der Basis $0{,}5$ beschrieben; nur der Faktor davor unterscheidet sich. In beiden Fällen kostet jede weitere Halbierung des Lichts denselben zusätzlichen Tiefenschritt — die Halbwertstiefe.

Unterschied: Die halbierte Halbwertstiefe halbiert die Tiefe bei jedem festen Lichtanteil, denn der Faktor vor dem Logarithmus sinkt von $4$ auf $2$. Der Weiher ist also bei gleicher Tiefe deutlich dunkler: In $24\ \mathrm{m}$ käme dort nur noch $0{,}5^{12}=\tfrac{1}{4096}$ des Oberflächenlichts an.

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Adressleitungen eines Speicherchips

Bakterien in der Nährlösung

pH-Wert einer Lösung

Oktaven über dem Kammerton

Lichtabnahme in einem Baggersee