MINT lernen

Übung — AFB I

Zehn Standardaufgaben aus den Kapiteln 6.1.1 bis 6.2.3: Begriffe wiedergeben, Formeln kennen, Werte einsetzen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Aufgabenblock — AFB I

Diese Übung deckt alle fünf Unterkapitel 6.1.1 bis 6.2.3 des Themas „Quantenobjekte“ ab. Sie lösen 10 Aufgaben der Anforderungsstufe AFB I (Reproduzieren) — also: Fachbegriffe wiedergeben, Versuchsablauf beschreiben, Formeln kennen und Werte einsetzen. Genau diese Punkte sind in der Klausur sicher zu holen. Zu jeder Aufgabe gibt es eine gestufte Hilfe (erst eine Erinnerung, dann ein konkreter Tipp) und eine ausführliche Lösung. Zwischendurch stehen zwei Werkzeuge zum Ausprobieren — sie werden nicht bewertet, helfen aber beim Verstehen.

A1
Elektronenbeugungsröhre — Aufbau und Beobachtung
AFB I

Kapitel 6.1.1. Geben Sie den Versuch der Elektronenbeugung wieder. Setzen Sie in jede Lücke das passende Wort aus der Wortbank ein. Zwei Wörter bleiben übrig.

In der Elektronenbeugungsröhre werden die Elektronen durch eine hohe Spannung und treffen anschließend auf eine sehr dünne . Auf dem Leuchtschirm erscheinen dann . Die regelmäßig angeordneten Kohlenstoffatome wirken dabei wie ein . Die hellen und dunklen Bereiche entstehen durch ; die Ringe sind damit ein reines .

So geht’s: Wähle ein Wort in der Wortbank (Klick oder Enter) und klicke dann auf die Lücke. Mit Tab und den Pfeiltasten springst du zwischen den Lücken, mit den Ziffern 1–8 setzt du ein Wort direkt ein, mit Backspace nimmst du es wieder heraus.

Der Weg der Elektronen: Glühkathode → Beschleunigungsspannung → dünne Folie → Leuchtschirm. Achte darauf, welches Wort eine Beobachtung ist (was man sieht) und welches eine Deutung (wie man es erklärt).
Zwei Fallen: Die Spannung gibt den Elektronen erst ihre Geschwindigkeit — sie werden also nicht abgebremst. Und auf dem Schirm sieht man keine einzelnen Punkte, sondern Ringe um die Strahlachse; deren Erklärung ist Interferenz.
Lösung anzeigen
In der Elektronenbeugungsröhre werden die Elektronen durch eine hohe Spannung beschleunigt und treffen anschließend auf eine sehr dünne Graphitfolie. Auf dem Leuchtschirm erscheinen dann konzentrische Ringe. Die regelmäßig angeordneten Kohlenstoffatome wirken dabei wie ein Gitter. Die hellen und dunklen Bereiche entstehen durch Interferenz; die Ringe sind damit ein reines Wellenphänomen.

Übrig bleiben „abgebremst“ und „Teilchenphänomen“ — beides passt nicht: Abprallende Kugeln ergäben einen gleichmäßig auslaufenden Fleck ohne dunkle Zwischenräume.
A2
Ringradius bei größerer Beschleunigungsspannung
AFB I

Kapitel 6.1.1. Für den inneren Beugungsring gilt r ~ λ ~ 1/√U, also r2 = r1 · √(U1/U2).

a) Bei U1 = 2,0 kV misst man r1 = 2,0 cm. Berechnen Sie den Radius r2 bei U2 = 8,0 kV.
b) In einer zweiten Röhre gilt U1 = 2,5 kV und r1 = 2,4 cm. Berechnen Sie r2 bei U2 = 10 kV.

cm
cm

Tipp zur Eingabe: Dezimalkomma benutzen, die Einheit steht schon daneben.

Formel: r2 = r1 · √(U1/U2). Größere Spannung → schnellere Elektronen → kleinere Wellenlänge → kleinerer Ring.
In drei Schritten: 1. Spannungsverhältnis bilden: U2/U1 = 8,0/2,0 = 4. 2. Wurzel ziehen: √4 = 2. 3. Alten Radius durch diesen Faktor teilen: 2,0 cm : 2. Bei b) ist das Verhältnis 10/2,5 = 4, also wieder Faktor 2.
Lösung anzeigen
a) r2 = 2,0 cm · √(2,0 kV / 8,0 kV) = 2,0 cm · √0,25 = 2,0 cm · 0,50 = 1,0 cm
b) r2 = 2,4 cm · √(2,5 kV / 10 kV) = 2,4 cm · 0,50 = 1,2 cm

Merksatz: Die vierfache Spannung halbiert den Radius. Verdoppelt man die Spannung nur, bleiben 1/√2 ≈ 71 % des Radius übrig.
r₁ r₂ U₁ = 2,0 kV → r₁ = 2,0 cm U₂ = 8,0 kV → r₂ = ?
Innerer Ring bei zwei Spannungen
Werkzeug 1

Ringradius und Beschleunigungsspannung

Ziehe die Spannung durch und beobachte, wie die Ringe kleiner werden. Die Zahlen stammen aus der Messreihe des Kapitels: dort war das Produkt r · √U für alle Spannungen konstant 2,83 cm·√kV. Dieses Werkzeug wird nicht bewertet — es soll dir Aufgabe A2 anschaulich machen.

Leuchtschirm mit zwei Beugungsringen, deren Radius von der eingestellten Beschleunigungsspannung abhängt Leuchtschirm hinter der Graphitfolie
U = 2,0 kV

Bedienung: Schieberegler mit der Maus ziehen oder mit den Pfeiltasten in 0,5-kV-Schritten verändern (Pos1/Ende springen an die Enden).

A3
De-Broglie-Wellenlänge eines Elektrons
AFB I

Kapitel 6.1.2. Ein Elektron (me = 9,11·10−31 kg) bewegt sich mit v = 2,0·106 m/s. Es gilt λ = h/p = h/(m·v) mit h = 6,626·10−34 Js.

a) Berechnen Sie den Impuls p (Angabe in 10−24 kg·m/s).
b) Berechnen Sie die de-Broglie-Wellenlänge λ (Angabe in nm).

·10−24 kg·m/s
nm

Tipp zur Eingabe: Nur die Zahl eintragen — die Zehnerpotenz und die Einheit stehen schon daneben (also z. B. 1,82 und 0,36).

Zwei Schritte: zuerst p = m · v, dann λ = h/p. Das Plancksche Wirkungsquantum h verbindet die Teilchengröße p mit der Wellengröße λ.
Rechnung: p = 9,11·10−31 kg · 2,0·106 m/s = 1,82·10−24 kg·m/s. Damit λ = 6,626·10−34 : 1,82·10−24 = 3,6·10−10 m. Achtung bei der Umrechnung: 1 nm = 10−9 m, also sind 3,6·10−10 m gleich 0,36 nm.
Lösung anzeigen
a) p = me · v = 9,11·10−31 kg · 2,0·106 m/s = 1,82·10−24 kg·m/s
b) λ = h/p = 6,626·10−34 Js : 1,82·10−24 kg·m/s = 3,6·10−10 m = 0,36 nm

Größenordnung zum Merken: Elektronen liegen bei einigen Zehntel Nanometern — genau beim Atomabstand im Kristall (2,1·10−10 m in Graphit). Nur deshalb funktioniert die Elektronenbeugung. Bei halber Geschwindigkeit (1,0·106 m/s) wäre λ doppelt so groß: 0,73 nm.
λ e v = 2,0·10⁶ m/s λ = h / (m · v)
Impuls und Wellenlänge
A4
Objekt und de-Broglie-Wellenlänge verbinden
AFB I

Kapitel 6.1.2. Ordnen Sie jedem Objekt die de-Broglie-Wellenlänge zu, die im Kapitel dazu berechnet wurde.

Objekt

Wellenlänge λ

So geht’s: Links ein Objekt anklicken (oder mit Enter auswählen), dann rechts die passende Wellenlänge anklicken. Mit den Ziffern 1–5 wählst du die Wellenlänge direkt — sie sind von oben nach unten durchnummeriert. Ein zweiter Klick auf ein verbundenes Objekt löst die Verbindung wieder.

λ = h/(m·v): Masse und Geschwindigkeit stehen im Nenner. Großer Impuls → kleine Wellenlänge. Elektronen liegen typisch bei einigen Zehntel Nanometern, alles Makroskopische bei unvorstellbar kleinen Werten.
Zwei Merkpunkte: Beschleunigt man ein Elektron mit 4,0 kV, wird es sehr schnell (3,75·107 m/s) — die Wellenlänge schrumpft auf 19 pm. Das Neutron ist zwar rund 1800-mal schwerer als ein Elektron, aber mit 630 m/s auch extrem langsam; beides zusammen ergibt wieder einige Zehntel Nanometer.
Lösung anzeigen
Elektron mit 1,0·106 m/s → 0,73 nm
Elektron nach 4,0 kV → 19 pm (1,9·10−11 m)
kaltes Neutron mit 630 m/s → 0,63 nm
Fulleren C60 mit 200 m/s → 2,8 pm
Fußball mit 25 m/s → 6,2·10−35 m

Die Gleichung λ = h/(m·v) gilt für jedes Objekt mit Impuls. Beim Fußball ist die Wellenlänge nur so winzig, dass sie sich nicht messen lässt — „nicht messbar“ heißt aber nicht „nicht vorhanden“.
A5
Doppelspalt mit einzelnen Elektronen — wahr oder falsch?
AFB I

Kapitel 6.2.1. Entscheiden Sie für jede Aussage, ob sie wahr oder falsch ist.

Ein einzelnes Elektron erzeugt auf dem Leuchtschirm bereits ein Streifenmuster.
Nach etwa 100 000 Elektronen zeigt die Summe der gespeicherten Punkte ein klares Interferenzmuster.
Das Muster entsteht dadurch, dass sich die Elektronen auf dem Weg gegenseitig stoßen.
Das Muster entsteht auch dann, wenn immer nur ein einziges Elektron unterwegs ist.
Mit wachsender Elektronenzahl verschieben sich die hellen Streifen auf dem Schirm.
Jeder einzelne Treffer auf dem Schirm ist punktförmig.

So geht’s: Mit Tab durch die Schalter wandern, mit Enter oder Leertaste auswählen. Du kannst deine Wahl jederzeit ändern.

Der Ablauf: Ein Elektron verlässt die Glühkathode, wird beschleunigt, passiert den Doppelspalt und hinterlässt genau einen Punkt. Der Punkt wird gespeichert, dann folgt das nächste Elektron. Erst die Summe sehr vieler Punkte zeigt das Muster.
Zwei Klassiker: Bei der Vereinzelung ist gar kein zweites Elektron da, das stoßen könnte — jedes Elektron interferiert mit sich selbst. Und die Lage der Streifen ändert sich nie: Mehr Elektronen füllen dasselbe Muster nur dichter.
Lösung anzeigen
1 falsch — ein einzelnes Elektron ergibt einen einzigen Punkt.
2 wahr — 10 Elektronen: scheinbar zufällige Punkte; 1000: Streifen erahnbar; 100 000: klares Muster.
3 falsch — Selbstinterferenz; das Muster entsteht auch bei Vereinzelung.
4 wahr — genau das ist die Kernaussage des Versuchs (gelungen 1989 durch Tonomura).
5 falsch — die Streifenlage ist festgelegt, die Punkte füllen sie nur dichter.
6 wahr — jeder Nachweis ist punktförmig, auch wenn die Verteilung eine Welleneigenschaft zeigt.
A6
Einzelnes Elektron oder Summe vieler Elektronen?
AFB I

Kapitel 6.2.1. Ordnen Sie jede Aussage dem passenden Korb zu.

1Ein einzelnes Elektron

2Die Summe sehr vieler Elektronen

So geht’s: Jeder Klick (oder Enter) schiebt eine Aussage in den nächsten Korb. Mit den Ziffern 1 und 2 sortierst du direkt ein, mit der 0 legst du sie zurück in die Sammlung.

Grundregel: Der einzelne Nachweis ist immer ein Punkt — das Muster ist eine Eigenschaft der Verteilung vieler Punkte. Alles, was „Streifen“, „Muster“ oder „Verteilung“ enthält, gehört zur Summe.
Vorsicht bei zwei Aussagen: „interferiert mit sich selbst“ betrifft das einzelne Elektron (deshalb entsteht das Muster auch bei Vereinzelung). „ist als Häufigkeitsverteilung sehr genau vorhersagbar“ betrifft dagegen die Summe — der Einzelfall bleibt offen, die Verteilung nicht.
Lösung anzeigen
Ein einzelnes Elektron: hinterlässt genau einen punktförmigen Fleck · der genaue Auftreffort lässt sich nicht vorhersagen · interferiert mit sich selbst.
Die Summe sehr vieler Elektronen: zeigt helle und dunkle Streifen · füllt mit steigender Zahl dasselbe Muster immer dichter · ist als Häufigkeitsverteilung sehr genau vorhersagbar.

Beides gehört zusammen: Das Quantenobjekt wird punktförmig nachgewiesen, verteilt sich aber nach einer Wellenvorschrift.
Werkzeug 2

Punkte sammeln am Doppelspalt

Wähle die Zahl der nachgewiesenen Elektronen und schau zu, wie aus scheinbar zufälligen Punkten ein Muster wird. Mit dem Schalter „Welcher-Weg-Detektor“ machst du die Weginformation verfügbar — dann bleiben zwei breite Streifen übrig. Die Gesamtzahl der Treffer ändert sich dabei nicht. Auch dieses Werkzeug wird nicht bewertet.

Zahl der Elektronen
1 000 Elektronen · Detektor aus

Bedienung: Mit Tab zu den Schaltern, Enter oder Leertaste drücken. Es wird nichts animiert — jedes Bild erscheint sofort.

A7
Erwartete Trefferzahl aus der Wahrscheinlichkeit
AFB I

Kapitel 6.2.2. Für die erwartete Trefferzahl in einem Schirmstreifen gilt: erwartete Treffer = P · N.

a) In einem Streifen ist die Findewahrscheinlichkeit P = 0,15. Berechnen Sie die erwartete Trefferzahl für N = 2000 Elektronen.
b) In einem anderen Streifen werden 480 Treffer bei N = 8000 Elektronen gezählt. Bestimmen Sie P.

Tipp zur Eingabe: P als Anteil eintragen (0,06), nicht als Prozentzahl.

Formel: erwartete Treffer = P · N. Umgestellt: P = Treffer / N. P ist immer ein Anteil zwischen 0 und 1.
Rechnung: a) 0,15 · 2000 = 300. b) 480 : 8000 = 0,06, das entspricht 6 %. Wer 15 statt 0,15 einsetzt, landet um den Faktor 100 daneben (30 000 Treffer bei nur 2000 Elektronen — unmöglich).
Lösung anzeigen
a) erwartete Treffer = P · N = 0,15 · 2000 = 300
b) P = 480 / 8000 = 0,06 = 6 %

Der Erwartungswert ist keine Garantie: Die typische Streuung liegt bei etwa √N. Bei 300 erwarteten Treffern sind rund 17 Treffer Abweichung völlig normal.
0,050,200,500,200,05 S1S2S3S4S5 Findewahrscheinlichkeit P je Streifen
Schirm in fünf Streifen
A8
Amplitude von ψ und Trefferdichte
AFB I

Kapitel 6.2.2. Für die Findewahrscheinlichkeit gilt P ~ |ψ|². Kreuzen Sie in jeder Zeile an, wie sich die Trefferdichte an dieser Stelle ändert.

Änderung der Amplitude und zugehörige Änderung der Trefferdichte
Änderung der Amplitude von ψein Sechzehntelein Viertelvierfachkeine Treffer
Die Amplitude wird halbiert.
Die Amplitude wird verdoppelt.
Die Amplitude sinkt auf ein Viertel.
Die Amplitude ist null (dunkler Streifen).

So geht’s: Mit Tab in eine Zeile springen, mit den Pfeiltasten die Spalte wählen. Jede Antwortmöglichkeit kommt genau einmal vor.

Quadrat, nicht Amplitude: Gemessen wird nicht ψ, sondern |ψ|². Multipliziert man die Amplitude mit einem Faktor, so ändert sich die Trefferdichte mit dem Quadrat dieses Faktors.
Durchrechnen: (½)² = ¼ · 2² = 4 · (¼)² = 1/16 · 0² = 0. Der letzte Fall ist wörtlich zu nehmen: Im dunklen Streifen kommt wirklich kein Elektron an — nicht bloß selten eines.
Lösung anzeigen
Amplitude halbiert → ein Viertel der Trefferdichte.
Amplitude verdoppelt → vierfache Trefferdichte.
Amplitude auf ein Viertel → ein Sechzehntel.
Amplitude null → keine Treffer.

Übrigens darf ψ auch negativ sein: Gemessen wird das Quadrat, deshalb sind Wellenberg und Wellental gleichwertig. Eine Amplitude von drei Vierteln ergibt 9/16, also noch gut die Hälfte der Trefferdichte.
A9
Welcher Aufbau — welches Schirmbild?
AFB I

Kapitel 6.2.3. Ordnen Sie jedem Aufbau das Schirmbild zu, das man beobachtet.

1Interferenzmuster

2Zwei breite Streifen

3Einzelspaltbild

So geht’s: Klick oder Enter schiebt einen Aufbau in den nächsten Korb, die Ziffern 1–3 sortieren direkt ein, die 0 legt zurück.

Leitfrage: Ist die Weginformation grundsätzlich verfügbar? Wenn ja, verschwindet das Interferenzmuster. Entscheidend ist der Aufbau — nicht, ob jemand die Information abliest.
Zwei knifflige Fälle: Ein eingebauter, aber ausgeschalteter Detektor liefert keine Weginformation — das Interferenzmuster bleibt unverändert. Ein zugeklebter Spalt liefert zwar die Weginformation, doch dann fehlt auch die zweite Teilwelle: Es entsteht ein Einzelspaltbild, nicht zwei getrennte Streifen.
Lösung anzeigen
Interferenzmuster: beide Spalte offen ohne Detektor · Detektor eingebaut, aber ausgeschaltet.
Zwei breite Streifen: Detektor eingeschaltet — der Weg ist bekannt, das Bild entspricht der Summe zweier Einzelspalte.
Einzelspaltbild: ein Spalt zugeklebt.

In allen Fällen bleibt die Gesamtzahl der Treffer gleich und jeder Einzeltreffer punktförmig. Interferenz vernichtet keine Elektronen, sie verteilt sie nur um.
Quelle Doppelspalt Schirm
Aufbau des Doppelspaltversuchs
A10
Komplementarität nach Niels Bohr
AFB I

Kapitel 6.2.3. Geben Sie die Kernaussagen der Komplementarität wieder. Setzen Sie in jede Lücke das passende Wort ein. Zwei Wörter bleiben übrig.

Welle und Teilchen sind zwei einander Seiten desselben Quantenobjekts. Welche Seite sichtbar wird, entscheidet ; beide zugleich zeigt kein Experiment. Schaltet man einen Welcher-Weg-Detektor ein, so das Interferenzmuster, die Gesamtzahl der Treffer bleibt aber . Misst der Detektor nur etwa jedes zweite Elektron, ist der Kontrast ungefähr ; der Übergang zwischen Wellen- und Teilchenbild verläuft also .

So geht’s: Wort auswählen, dann Lücke anklicken — oder mit den Ziffern 1–8 direkt einsetzen. Backspace leert eine Lücke wieder.

Bohrs Kernsatz: Welle und Teilchen sind keine Gegensätze, sondern zwei Seiten derselben Sache. Welche Seite man sieht, hängt allein von der Frage ab, die das Experiment stellt.
Zwei Fallen: Nicht der Beobachter entscheidet, sondern der Aufbau — entscheidend ist die grundsätzliche Verfügbarkeit der Weginformation. Und beim Fulleren-Versuch sinkt die Sichtbarkeit mit der Temperatur langsam ab, sie springt nicht: Der Übergang ist stetig.
Lösung anzeigen
Welle und Teilchen sind zwei einander ergänzende Seiten desselben Quantenobjekts. Welche Seite sichtbar wird, entscheidet der Versuchsaufbau; beide zugleich zeigt kein Experiment. Schaltet man einen Welcher-Weg-Detektor ein, so verschwindet das Interferenzmuster, die Gesamtzahl der Treffer bleibt aber gleich. Misst der Detektor nur etwa jedes zweite Elektron, ist der Kontrast ungefähr halbiert; der Übergang zwischen Wellen- und Teilchenbild verläuft also stetig.

Übrig bleiben „der Beobachter“ und „sprunghaft“. Das Quantenobjekt verwandelt sich nicht — nur die Frage des Experiments hat sich geändert.

Wie war es?

Wie sicher fühlen Sie sich nach diesen 10 AFB-I-Aufgaben zu den Quantenobjekten?