Übung — AFB III

Musterlösung: Elektrische Feldlinien sind Quellenlinien: Sie beginnen an einer positiven und enden an einer negativen Ladung, und eine positive Ladung kann für sich allein existieren. Magnetische Feldlinien dagegen sind immer geschlossen — außerhalb des Magneten laufen sie vom Nord- zum Südpol, innerhalb des Magneten laufen sie weiter zum Nordpol zurück. Eine geschlossene Linie hat weder Anfang noch Ende, also gibt es auch keinen Punkt, an dem „magnetische Ladung“ säße. Daraus folgt: es gibt keine magnetischen Monopole — zerbricht man einen Stabmagneten, erhält man zwei vollständige Magnete mit je einem Nord- und einem Südpol.

Musterlösung: Die Lorentzkraft steht nach der Drei-Finger-Regel immer senkrecht auf der Geschwindigkeit. Arbeit wird aber nur von der Kraftkomponente längs des Weges verrichtet; steht die Kraft senkrecht zum Weg, ist die verrichtete Arbeit null. Damit bleibt die kinetische Energie ½mv² und folglich der Betrag der Geschwindigkeit unverändert. Was sich ändert, ist ausschließlich die Richtung von v — und weil die Kraft dabei immer senkrecht mitdreht, ergibt sich eine gleichförmige Kreisbewegung.

Musterlösung: Für eine Kreisbewegung gilt T = 2π·r / v. Aus dem Kräftegleichgewicht q·v·B = m·v²/r folgt r = m·v / (q·B). Einsetzen liefert T = 2π·m·v / (q·B·v) = 2π·m / (q·B) — die Geschwindigkeit kürzt sich vollständig heraus. Anschaulich heißt das: Verdoppelt man v, so verdoppelt sich auch der Radius und damit der Umfang der Bahn; das Teilchen legt die doppelte Strecke mit doppeltem Tempo zurück und braucht dafür genau gleich lange. T hängt also nur von der spezifischen Ladung q/m und von B ab — deshalb laufen alle Elektronen in einem gegebenen Feld synchron um.

Musterlösung: Setzt man die elektrische Kraft q·E und die Lorentzkraft q·v·B gleich, steht q auf beiden Seiten und kürzt sich heraus; die Masse kommt in keiner der beiden Kräfte vor. Übrig bleibt die reine Bedingung v = E/B. Für den Einsatz bedeutet das: Der Filter lässt jedes geladene Teilchen unabgelenkt durch, das genau diese Geschwindigkeit hat — gleichgültig ob Elektron, Proton oder mehrfach geladenes Ion. Er liefert also einen Strahl mit scharf definierter Geschwindigkeit. Was er dagegen nicht kann: nach Masse oder Ladung sortieren. Genau deshalb ist er im Massenspektrometer nur die Vorstufe; die eigentliche Trennung übernimmt danach die Kreisbahn im Magnetfeld, denn dort gilt r = m·v/(q·B) — und dort steht m sehr wohl in der Formel.

Musterlösung: Der Fehler ist ein reiner Einheitenfehler: In B = µ₀·I/(2π·r) muss der Abstand in Metern eingesetzt werden, weil µ₀ die Einheit T·m/A trägt. Statt r = 4,0 cm gehört r = 0,040 m in die Formel. Korrekt gilt B = 2·10⁻⁷ · 6,0 / 0,040 = 3,0·10⁻⁵ T = 30 µT. Der falsche Wert ist genau um den Faktor 100 zu klein — dieselbe Zehnerpotenz, um die Meter und Zentimeter auseinanderliegen. Eine schnelle Plausibilitätsprüfung hilft: 30 µT liegen in der Größenordnung des Erdfeldes (50 µT), 3·10⁻⁷ T wären dagegen unrealistisch winzig.

Musterlösung: Die Kurzform F = B·I·l ist ein Sonderfall der vollständigen Beziehung F = B·I·l·sin α und gilt nur, wenn der Leiter senkrecht zu den Feldlinien liegt. Hier ist α = 30°, dieser Wert taucht in der Rechnung aber gar nicht auf — ein klares Warnsignal. Richtig ist F = 0,40 · 2,5 · 0,20 · sin 30° = 0,20 N · 0,5 = 0,10 N. Der Schüler hat die Kraft also um den Faktor 2 überschätzt. Merksatz für die Klausur: Steht in der Aufgabe ein Winkel, muss er auch in der Rechnung stehen — und im Grenzfall α = 0° (Leiter parallel zum Feld) muss die Formel null liefern, was die Kurzform nicht tut.

Musterlösung: In der Spulenformel B = µ₀·µ_r·(N/l)·I treten Windungszahl und Stromstärke ausschließlich als Produkt N·I auf. Ersetzt man N durch N/2 und I durch 2·I, ergibt sich (N/2)·(2·I) = N·I — das Produkt ist unverändert, also bleibt auch B gleich; der gesuchte Faktor ist 1. Für die Praxis heißt das: Man kann dasselbe Feld mit wenigen Windungen und viel Strom oder mit vielen Windungen und wenig Strom erzeugen. Unterschiedlich ist dabei nur, was die Formel nicht beschreibt — vor allem die Wärmeentwicklung im Draht, die mit I² wächst. Deshalb baut man Elektromagnete lieber mit vielen Windungen als mit hohem Strom.

Musterlösung: Für die Hallspannung gilt U_H = B·I / (n·q·d). Sowohl die Ladungsträgerdichte n als auch die Dicke d stehen im Nenner: Je kleiner beide sind, desto größer wird bei gleichem B und I die gemessene Spannung. Halbleiter haben eine erheblich geringere Ladungsträgerdichte als Metalle — bei gleichem Strom müssen sich dort also viel weniger Ladungsträger viel schneller bewegen, wodurch die seitliche Ladungstrennung deutlich stärker ausfällt. Ein dünnes Plättchen verstärkt den Effekt zusätzlich. Beurteilung: Beides zusammen macht aus einem an sich winzigen Effekt ein bequem messbares Signal. Da U_H außerdem proportional zu B ist, lässt sich die Sonde einmal eichen und danach als direkt ablesbares B-Messgerät verwenden.

Musterlösung: Im reinen elektrischen Querfeld wirkt nur die Kraft F = q·E. Sie ist unabhängig von der Geschwindigkeit; die Ablenkung y = ½·a·(l/v₀)² fällt für schnelle Teilchen nur deshalb kleiner aus, weil sie kürzer im Feld sind. Abgelenkt wird aber jedes Teilchen — die Anordnung sortiert nicht, sie fächert nur auf. Im Wien-Filter kommt die Lorentzkraft q·v·B hinzu, die der elektrischen Kraft entgegengerichtet ist und mit v wächst. Damit gibt es genau eine Geschwindigkeit, bei der sich beide Kräfte exakt aufheben: v = E/B. Ist das Teilchen langsamer, überwiegt q·E, ist es schneller, überwiegt q·v·B — in beiden Fällen wird es abgelenkt und trifft nicht auf den Spalt. Entscheidend für die Selektivität ist also, dass sich eine geschwindigkeitsunabhängige und eine geschwindigkeitsabhängige Kraft gegenüberstehen.