Textaufgaben im Abiturformat
Zwei Aufgaben im Abiturformat — mit Operatoren-Erklärung, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.
Ein Projektor wirft das Bild einer Vorlage auf eine Leinwand. Die Vorlage ist 3,0 cm breit, das Bild auf der Leinwand 1,50 m. Die Leinwand steht 4,00 m vom Objektiv entfernt.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Breite der Vorlage G | 3,0 cm |
| Breite des Bildes B | 1,50 m |
| Bildweite b | 4,00 m |
β = B : G = 150 cm : 3,0 cm = 50
Das Bild ist also 50-mal so groß wie die Vorlage.
g = b : β = 400 cm : 50 = 8,0 cm
1 : f = 1 : 8,0 cm + 1 : 400 cm = 50 : 400 cm + 1 : 400 cm = 51 : 400 cm
f = 400 : 51 cm ≈ 7,8 cm
Die Vorlage steht damit nur 0,2 cm außerhalb der Brennweite — ein sehr enger Bereich, und genau daher rührt die starke Vergrößerung.
Mit f ≈ 7,8 cm und g = 8,0 cm liegt der Aufbau im Bereich f < g < 2f. Dort entsteht ein reelles, vergrößertes und umgekehrtes Bild.
Umgekehrt heißt: Oben und unten sowie links und rechts sind vertauscht, weil sich die Strahlen hinter der Linse kreuzen. Damit das Bild auf der Leinwand richtig herum erscheint, muss die Vorlage bereits verkehrt eingelegt werden — das Gerät dreht sie dann zurück.
Anders gesagt: Nicht der Projektor stellt das Bild auf den Kopf, sondern jede Abbildung durch eine Sammellinse tut das. Die Einlegevorschrift gleicht diesen unvermeidlichen Effekt aus.
Der Projektor aus Aufgabe 1 (f ≈ 7,8 cm) soll ein doppelt so breites Bild liefern.
| Vorschlag | Maßnahme |
|---|---|
| V1 | Die Leinwand wird auf 8,00 m Entfernung gerückt und neu scharfgestellt. |
| V2 | Ein Objektiv mit doppelter Brennweite wird eingesetzt, die Leinwand bleibt bei 4,00 m. |
1 : g = 1 : f − 1 : b = 1 : 7,8 cm − 1 : 800 cm
1 : g = 0,12821 : cm − 0,00125 : cm = 0,12696 : cm, also g ≈ 7,88 cm
β = b : g = 800 : 7,88 ≈ 102
Das Bild wird also gut doppelt so breit: rund 3,0 m statt 1,50 m. Die Vorlage muss dazu nur um etwa 1 mm näher an den Brennpunkt rücken.
Mit f = 15,6 cm und b = 400 cm ergibt sich
1 : g = 1 : 15,6 cm − 1 : 400 cm = 0,06410 : cm − 0,00250 : cm = 0,06160 : cm, also g ≈ 16,2 cm.
β = 400 : 16,2 ≈ 24,7 — das Bild wäre nur noch etwa 0,74 m breit, also nur halb so groß wie vorher.
Vorschlag V2 führt damit nicht zum Ziel, sondern bewirkt das Gegenteil. Der Grund: Bei fester Bildweite ist β ungefähr b : f − 1; eine größere Brennweite verkleinert den Maßstab. Ein größeres Bild bei gleichem Abstand verlangt umgekehrt eine kleinere Brennweite.
Gemeinsam ist beiden Vorschlägen, dass sie die Bildgröße über den Abbildungsmaßstab β = b : g steuern wollen und dass die Vorlage in beiden Fällen dicht an der Brennweite bleibt.
Unterschied: V1 erreicht das Ziel, V2 verfehlt es und müsste in „Objektiv mit halber Brennweite“ geändert werden. Mit f ≈ 3,9 cm und b = 400 cm käme man auf β ≈ 101 — dasselbe Ergebnis wie V1, ohne die Leinwand zu verschieben.
Helligkeit: Beide Wege haben denselben Preis. Durch das Objektiv fällt unverändert viel Licht, es verteilt sich aber auf die vierfache Fläche, denn bei doppelter Breite ist auch die Höhe doppelt so groß. Das Bild wird also auf ein Viertel der ursprünglichen Beleuchtungsstärke abfallen und wirkt deutlich blasser.
Fazit: V1 ist ohne zusätzliche Ausrüstung umsetzbar und deshalb vorzuziehen; V2 in der vorgeschlagenen Form ist falsch. In beiden Fällen muss man für ein doppelt so breites Bild einen dunkleren Raum oder einen lichtstärkeren Projektor in Kauf nehmen.