Textaufgaben im Abiturformat
Zwei Aufgaben im Abiturformat — mit Operatoren-Erklärung, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.
Mit einer Sammellinse werden drei Aufbauten untersucht. In jedem fehlt genau eine Größe.
| Aufbau | f in cm | g in cm | b in cm |
|---|---|---|---|
| I | 12,0 | 36,0 | ? |
| II | ? | 60,0 | 20,0 |
| III | 8,0 | ? | 24,0 |
Alle Größen beziehen sich auf dieselbe Dünne-Linsen-Näherung.
Die Linsengleichung lautet 1 : f = 1 : g + 1 : b.
Umstellen: 1 : b = 1 : f − 1 : g = (g − f) : (g · f), also b = g · f : (g − f).
Aufbau I: b = 36,0 · 12,0 : (36,0 − 12,0) cm = 432 : 24 cm = 18,0 cm
Aufbau II: 1 : f = 1 : 60,0 + 1 : 20,0 = 1 : 60,0 + 3 : 60,0 = 4 : 60,0, also f = 60,0 : 4 cm = 15,0 cm
Aufbau III: 1 : g = 1 : 8,0 − 1 : 24,0 = 3 : 24,0 − 1 : 24,0 = 2 : 24,0, also g = 24,0 : 2 cm = 12,0 cm
Mit f = 8,0 cm ist 2f = 16,0 cm. Der Gegenstand steht bei g = 12,0 cm also im Bereich f < g < 2f.
Das Bild ist damit reell, umgekehrt und vergrößert; der Abbildungsmaßstab beträgt β = 24,0 : 12,0 = 2,0. Passend dazu liegt die Bildweite mit 24,0 cm oberhalb von 2f — das ist der Projektorfall.
Auf einer optischen Bank sollen Gegenstand und Schirm so aufgestellt werden, dass ein scharfes Bild entsteht. Eine Gruppe stellt fest, dass es einen kleinsten möglichen Abstand zwischen beiden gibt.
| g in cm | b in cm | Abstand g + b |
|---|---|---|
| 50,0 | 12,5 cm | 62,5 cm |
| 30,0 | 15,0 cm | 45,0 cm |
| 20,0 | 20,0 cm | 40,0 cm |
| 15,0 | 30,0 cm | 45,0 cm |
| 12,5 | 50,0 cm | 62,5 cm |
Der Abstand g + b nimmt von 62,5 cm zunächst auf 40,0 cm ab und steigt danach wieder auf 62,5 cm an. Er hat also ein Minimum.
Am kleinsten ist er bei g = 20,0 cm = 2f; dort ist auch b = 20,0 cm, und der Abstand beträgt 40,0 cm = 4f.
Auffällig ist die Symmetrie: Die Zeilen 1 und 5 sowie 2 und 4 sind vertauschte Paare aus g und b. Das ist kein Zufall, sondern folgt daraus, dass die Linsengleichung in g und b symmetrisch ist — der Lichtweg ist umkehrbar.
Nachweis, dass g = b = 2f die Gleichung erfüllt:
1 : g + 1 : b = 1 : 2f + 1 : 2f = 2 : 2f = 1 : f ✓
Der Abstand beträgt dort g + b = 2f + 2f = 4f, mit f = 10,0 cm also 40,0 cm — genau der gemessene Wert.
Dass es sich um das Minimum handelt, zeigt die Tabelle bereits: Jede Abweichung von 2f nach oben oder nach unten vergrößert den Abstand, wegen der Symmetrie sogar gleich stark.
Allgemein: Mit b = g · f : (g − f) ist der Abstand S = g + b = g + g · f : (g − f) = g2 : (g − f). Setzt man u = g − f, so wird S = (u + f)2 : u = u + 2f + f2 : u.
Die beiden veränderlichen Summanden u und f2 : u haben das feste Produkt f2. Ihre Summe ist deshalb am kleinsten, wenn beide gleich sind, also für u = f — und dann ist S = f + 2f + f = 4f, erreicht bei g = u + f = 2f.
Mit dieser Linse ist bei 30 cm Abstand kein scharfes Bild möglich.
Begründung: Der kleinstmögliche Abstand beträgt 4f = 40,0 cm. Ein geforderter Abstand von 30 cm liegt darunter; für ihn gibt es keine Lösung der Linsengleichung mit positivem g und b. Man kann den Schirm beliebig verschieben — es bleibt unscharf.
Konsequenz für die Praxis: Man braucht eine Linse mit kleinerer Brennweite. Verlangt sind 4f ≤ 30 cm, also f ≤ 7,5 cm. Umgekehrt gilt: Wer den Abstand zwischen Gegenstand und Schirm kennt, kann daraus sofort die größte brauchbare Brennweite ablesen — ein nützlicher Test beim Aufbau von Projektionen.