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Die Linsengleichung

Aus zwei Paaren ähnlicher Dreiecke folgt die Gleichung, die g, b und f zugleich verbindet.

1 Erklärung

Herleitung über ähnliche Dreiecke

Zwei Strahlen liefern je ein Paar ähnlicher Dreiecke — daraus folgt eine Gleichung, die g, b und f zugleich verbindet.

  • Mittelpunktstrahl:Er läuft ungebrochen durch die Linsenmitte. Die Dreiecke davor und dahinter sind ähnlich: B / G = b / g (5.2.1).
  • Parallelstrahl:Hinter der Linse läuft er durch F. Die Dreiecke zwischen Linsenebene und F sowie zwischen F und Bild sind ähnlich: B / G = (b − f) / f.
  • Gleichsetzen:Beide Ausdrücke stehen für B / G, also gilt b / g = (b − f) / f.
  • Umformen:Mal g·f: b·f = g·b − g·f, also g·f + b·f = g·b.
  • Dividieren:Division durch g·b·f liefert die Linsengleichung.
Die Linsengleichung
1 / f = 1 / g + 1 / b
g

Gegenstandsweite: Abstand Linsenmitte – Gegenstand (cm oder m).

b

Bildweite: Abstand Linsenmitte – Bild, in derselben Einheit wie g.

f

Brennweite der Linse — fest vorgegeben, unabhängig vom Aufbau.

Sind zwei der drei Größen bekannt, ist die dritte bestimmt.

2 Erklärung

Umstellen und Vorzeichen

Nach der Bildweite aufgelöst liest man die drei Fälle aus 5.1.3 direkt am Nenner ab.

  • g > f:Nenner positiv → b positiv: reelles Bild hinter der Linse.
  • g = f:Nenner null → kein Bild; das Licht verlässt die Linse als Parallelbündel.
  • g < f:Nenner negativ → b negativ: Bild liegt vor der Linse und ist virtuell.
  • Vorzeichen:Ein negatives b ist kein Rechenfehler, sondern die Aussage „Bild auf der Gegenstandsseite“.
  • Nach g:Genauso umstellbar: g = b·f / (b − f).
Nach der Bildweite umgestellt
b = g · f / (g − f)
g − f

Der Nenner entscheidet über den Bildtyp: positiv, null oder negativ.

b > 0

Reelles Bild hinter der Linse; je kleiner der Nenner, desto größer b.

b < 0

Virtuelles Bild, auf derselben Seite wie der Gegenstand.

Eine Kerze steht vor einer Sammellinse — Brennweite und Gegenstandsweite sind gegeben. Die Bildweite ergibt sich aus der Linsengleichung; erst „Prüfen“ zeigt, ob der Schirm an der berechneten Stelle ein scharfes Bild auffängt. Liegt hinter der Linse kein reelles Bild vor, lautet die Antwort „Kein reelles Bild“.

Wo wird das Bild scharf?

Halte fest: Der Schirm zeigt nur dann ein scharfes Bild, wenn er genau bei b = g·f/(g − f) steht — davor oder dahinter treffen die Strahlen (Parallelstrahl blau, Mittelpunktstrahl orange, Brennpunktstrahl grün) noch nicht oder nicht mehr in einem Punkt zusammen. Für g ≤ f gibt es hinter der Linse kein Bild, das ein Schirm auffangen könnte.

3 Hinweise

Hinweise

Drei Stellen, an denen es beim Rechnen mit der Linsengleichung regelmäßig schiefgeht:

Hinweis

1/f = 1/g + 1/b darf nicht zu f = g + b vereinfacht werden. Erst die Kehrwerte addieren, dann am Ende den Kehrwert bilden.

Hinweis

Gleiche Einheit für g, b und f — entweder alles in cm oder alles in m. Nur für die Brechkraft D = 1/f muss f in Metern stehen.

Hinweis

Ein negatives b ist ein Ergebnis, kein Fehler: Es meldet ein virtuelles Bild vor der Linse. Der Betrag ist der Abstand zur Linsenmitte.

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