Textaufgaben im Abiturformat
Zwei Aufgaben im Abiturformat — mit Operatoren-Erklärung, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.
Eine Gruppe bildet einen 4,0 cm hohen Gegenstand mit derselben Linse in drei Aufbauten ab und misst jeweils Gegenstandsweite, Bildweite und Bildgröße.
| Aufbau | g in cm | b in cm | B in cm |
|---|---|---|---|
| I | 40 | 20 | 2,0 |
| II | 30 | 30 | 4,0 |
| III | 24 | 48 | 8,0 |
Die Gegenstandsgröße betrug in allen Fällen G = 4,0 cm.
Aufbau I: B : G = 2,0 : 4,0 = 0,50 · b : g = 20 : 40 = 0,50
Aufbau II: B : G = 4,0 : 4,0 = 1,0 · b : g = 30 : 30 = 1,0
Aufbau III: B : G = 8,0 : 4,0 = 2,0 · b : g = 48 : 24 = 2,0
Beide Wege stimmen in allen drei Fällen überein.
Der Mittelpunktstrahl läuft von der Gegenstandsspitze ungebrochen durch die Linsenmitte zur Bildspitze.
Er bildet mit der optischen Achse zwei rechtwinklige Dreiecke: eines mit den Katheten G und g vor der Linse, eines mit den Katheten B und b dahinter. Beide haben einen rechten Winkel und im Linsenmittelpunkt gleiche Scheitelwinkel, sind also ähnlich.
Bei ähnlichen Dreiecken stehen entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis: B : G = b : g. Genau das ist die Aussage der Formel — beide Quotienten müssen übereinstimmen.
Der Abbildungsmaßstab wächst von 0,50 über 1,0 auf 2,0, das Bild wird also vom verkleinerten über das gleich große zum vergrößerten Bild.
Ursache ist die abnehmende Gegenstandsweite: Weil g und b gegenläufig sind, wächst b, während g fällt. Im Quotienten b : g wirken beide Effekte in dieselbe Richtung, sodass β besonders schnell zunimmt.
Aufbau II markiert dabei die Grenze: Dort ist g = b = 30 cm, also β = 1. Nach der Fallübersicht muss dort g = 2f gelten, die Linse hat demnach die Brennweite f = 15 cm — was sich mit der Linsengleichung an den anderen beiden Aufbauten bestätigen lässt.
Der Mond wird mit einem Teleobjektiv fotografiert. Aus den Angaben soll die Größe des Mondbildes auf dem Sensor bestimmt werden.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Brennweite des Objektivs | 300 mm |
| Durchmesser des Mondes | 3476 km |
| Abstand Erde – Mond | 384 400 km |
| Sensorhöhe | 24 mm |
Die Gegenstandsweite beträgt 384 400 km = 3,844 · 1011 mm, die Brennweite 300 mm. Die Gegenstandsweite ist also rund 109-mal so groß wie die Brennweite.
In 1 : b = 1 : f − 1 : g ist der Term 1 : g damit völlig vernachlässigbar; b und f unterscheiden sich erst in der neunten Stelle. Die Näherung b ≈ f ist hier praktisch exakt.
β ≈ f : g = 300 mm : 3,844 · 1011 mm = 7,804 · 10−10
B = β · G = 7,804 · 10−10 · 3,476 · 109 mm
B ≈ 2,7 mm
Der Mond nimmt auf dem 24 mm hohen Sensor also nur etwa ein Neuntel der Bildhöhe ein — deutlich kleiner, als die meisten erwarten.
Gefordert ist B = 24 mm, also β = 24 mm : 3,476 · 109 mm = 6,904 · 10−9.
Aus β = f : g folgt f = β · g = 6,904 · 10−9 · 3,844 · 1011 mm ≈ 2650 mm, also rund 2,7 m Brennweite.
Bewertung: Das entspricht ungefähr dem Neunfachen des vorhandenen Objektivs. Ein Linsenobjektiv dieser Brennweite wäre nach b ≈ f auch etwa 2,7 m lang, entsprechend schwer und sehr teuer; man verwendet dafür in der Praxis Spiegelteleskope, die den Lichtweg falten.
Hinzu kommt eine physikalische Grenze: Bei so großen Brennweiten begrenzt nicht mehr die Optik, sondern die Luftunruhe der Atmosphäre die Schärfe. Ein formatfüllendes Mondfoto vom Erdboden aus ist deshalb weniger eine Frage der Brennweite als der Beobachtungsbedingungen.