Textaufgaben im Abiturformat
Zwei Aufgaben im Abiturformat — mit Operatoren-Erklärung, gestuften Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont.
In einer Zusammenfassung sollen die Geräte des Kapitels geordnet werden.
| Gerät | Endbild | Kenngröße |
|---|---|---|
| Projektor | ? | ? |
| Fotoapparat | ? | ? |
| Lupe | ? | ? |
| Mikroskop | ? | ? |
Projektor: reell (auf der Leinwand)
Fotoapparat: reell (auf dem Sensor)
Lupe: virtuell
Mikroskop: virtuell
Projektor und Fotoapparat werden über den Abbildungsmaßstab β = B : G = b : g beschrieben, Lupe und Mikroskop über die Vergrößerung V = tan α' : tan α.
Begründung: Bei den ersten beiden Geräten existiert ein reelles Bild auf einer Fläche. Es ist unabhängig vom Betrachter vorhanden und hat eine messbare Größe — die Frage „Wie groß ist das Bild?“ ist sinnvoll.
Bei Lupe und Mikroskop gibt es kein auffangbares Endbild; es entsteht erst auf der Netzhaut. Messbar ist dort nur, unter welchem Sehwinkel der Gegenstand erscheint — mit und ohne Gerät.
Das Mikroskop erzeugt zwar im Tubus ein reelles Zwischenbild, aber dieses ist nicht das Endprodukt. Das Okular betrachtet es als Lupe und erzeugt daraus ein virtuelles Bild.
Der Beobachter kann an keiner Stelle einen Schirm hinhalten und ein Endbild auffangen — er muss hindurchschauen. Damit gibt es keine Bildgröße B, die man messen könnte, und β ist für das Gesamtgerät nicht definiert.
Sinnvoll ist allein die Frage, um welchen Faktor der Sehwinkel gewachsen ist — also V. Dass diese Größe sich als Produkt zweier Stufen schreiben lässt (V = VObj · VOk), ändert nichts an ihrem Charakter als Winkelverhältnis.
Auf einer Lupe steht „10ד. Ein Schüler hält sie über ein Lineal und stellt fest, dass ein Zentimeter darunter keineswegs zehn Zentimeter groß erscheint.
Die Vergrößerung einer Lupe wird auf die Bezugssehweite s0 = 25 cm bezogen. Das ist die Entfernung, in der ein normalsichtiges Auge einen Gegenstand ohne Anstrengung noch scharf sieht.
Für eine Lupe gilt dann näherungsweise V = s0 : f.
f = s0 : V = 25 cm : 10 = 2,5 cm
Die Brechkraft beträgt damit D = 1 : 0,025 m = 40 dpt.
Die Vergrößerung ist als Verhältnis zweier Sehwinkel definiert: V = tan α' : tan α. Der Sehwinkel mit Lupe liegt durch die Brennweite fest, der Sehwinkel ohne Lupe aber nicht — er hängt davon ab, wie nah man den Gegenstand ans Auge hält.
Betrachtet man dasselbe Objekt aus 50 cm statt aus 25 cm, ist α nur halb so groß und V damit doppelt so groß; aus 10 cm wäre V dagegen kleiner. Ohne feste Bezugssehweite wäre jede Zahl zwischen etwa 4 und 25 gleichermassen „richtig“.
Die Vereinbarung s0 = 25 cm macht die Angabe erst vergleichbar — sie ist eine Konvention, keine Naturkonstante.
Das Vorhaben kann so nicht gelingen.
Erstens ist das Bild der Lupe virtuell: Es existiert an keinem Ort, an dem man ein Lineal anlegen könnte. Es entsteht erst auf der Netzhaut, und daran lässt sich nicht messen.
Zweitens misst ein Lineal Längen, die Vergrößerung ist aber ein Winkelverhältnis. Selbst wenn das Bild irgendwo „in der Luft“ erschiene, würde eine gemessene Länge ohne Angabe der Entfernung nichts über V aussagen.
Drittens hängt der Eindruck, den der Schüler hat, von seinem Augenabstand zur Lupe und vom Abstand der Lupe zum Lineal ab — beides ist in seinem Versuch nicht festgelegt.
Bessere Alternative: Man betrachtet mit einem Auge das Lineal durch die Lupe und mit dem anderen zugleich ein zweites Lineal in 25 cm Entfernung daneben. Weil das Gehirn beide Bilder überlagert, lässt sich unmittelbar ablesen, wie viele Millimeter des zweiten Lineals einem Millimeter im vergrößerten Bild entsprechen. Das ist tatsächlich ein Sehwinkelvergleich — und liefert einen Wert nahe 10.