Was auf dieser Seite steht
- Die vier Größen der Kreisbewegung mit Formelzeichen, Einheit und Formel.
- Der Umgang mit dem Bogenmaß und die wichtigen Ankerwerte.
- Zentripetal- und Zentrifugalkraft und die Herleitung der Formel F_Z = m · v² / r.
- Die drei Regeln, an denen in der Klausur die meisten Punkte hängen.
Die vier Größen
Eine gleichförmige Kreisbewegung liegt vor, wenn sich ein Körper auf einer Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit und mit konstantem Radius bewegt — beide Bedingungen müssen gelten. Zwei Angaben legen sie vollständig fest: der Radius r und die Umlaufdauer T. Alles andere folgt daraus.
Umlaufdauer T
Dauer einer Umdrehung. Immer in Sekunden einsetzen — aus 12 h werden 43 200 s.
Frequenz f
Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde. Kehrwert der Umlaufdauer — große Umlaufdauer, winzige Frequenz.
Bahngeschwindigkeit v
Geschwindigkeit auf der Bahn, immer tangential gerichtet. Der Radius muss in Metern eingesetzt werden.
Winkelgeschwindigkeit ω
Überstrichener Winkel pro Zeit, im Bogenmaß gerechnet. Hängt nicht vom Radius ab.
Warum es zwei Geschwindigkeiten braucht
Zwei Kinder auf demselben Karussell brauchen für eine Runde gleich lang — ihre Winkelgeschwindigkeit ist gleich. Das äußere Kind legt in derselben Zeit aber viel mehr Weg zurück — seine Bahngeschwindigkeit ist größer.
Winkel im Bogenmaß
Der Einheitskreis hat den Radius 1 und den Umfang U = 2π. Dieser volle Umfang gehört zum Winkel 360°. So lässt sich jedem Winkel die Länge seines Kreisbogens zuordnen — das ist sein Bogenmaß (Radiant, RAD). Es ist keine neue Einheit, sondern eine Länge im Verhältnis zum Radius; deshalb kürzen sich in [ω] die Längeneinheiten weg und es bleibt 1/s.
Umrechnen — Gradmaß ins Bogenmaß
Anteil am vollen Winkel bestimmen und denselben Anteil von 2π nehmen: 120° / 360° = 1/3, also 1/3 · 2π = 2/3 π ≈ 2,094.
Und zurück
Steht das Bogenmaß da und der Winkel fehlt, rechnet man umgekehrt: 3/2 π ist das 3/4-fache von 2π — also 3/4 von 360°. Werte über 2π bedeuten mehr als eine volle Umdrehung.
Die beiden Kräfte
Bis hierher wurde die Kreisbewegung nur beschrieben. Jetzt kommt die Ursache: Warum bleibt ein Körper überhaupt auf der Kreisbahn, statt geradeaus weiterzufliegen? Die Geschwindigkeit zeigt immer tangential, beide Kräfte liegen auf der Verbindungslinie zum Mittelpunkt.
Zentripetalkraft FZP
Die bei einer Drehbewegung wirkende, nach innen gerichtete Kraft, die dafür sorgt, dass sich der Körper auf einer Kreisbahn bewegt.
Zentrifugalkraft FZF
Die nach außen gerichtete Kraft, auch Fliehkraft. Sie wird durch die Trägheit des Körpers verursacht — sie ist Folge, nicht Ursache der Bewegung.
Was passiert, wenn das Seil reißt?
Der Körper fliegt tangential weiter — in Richtung seiner Geschwindigkeit —, nicht radial nach außen vom Mittelpunkt weg. Genau das ist mit Trägheit gemeint: Ohne Zentripetalkraft gibt es keine Kreisbahn mehr, sondern eine geradlinige Bewegung.
Für die Formel setzt man das 2. Newtonsche Gesetz F = m · a an. Ortsdreieck (aus r⃗1, r⃗2, Δs⃗) und Geschwindigkeitsdreieck (aus v⃗1, v⃗2, Δv⃗) sind ähnlich, weil die Geschwindigkeit stets senkrecht auf dem Radius steht. Daraus folgt Δv / Δs = v / r, also Δv = Δs · v / r. Eingesetzt in aZ = Δv / Δt und mit Δs / Δt = v ergibt sich aZ = v² / r.
v steht im Quadrat
Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache Kraft, nicht doppelte. Deshalb werden Kurven bei hoher Geschwindigkeit so schnell kritisch. Verdoppelt man dagegen nur den Radius bei gleicher Umlaufdauer, verdoppeln sich v und aZ — ω bleibt unverändert.
Alle Formeln auf einen Blick
- f = 1 / T · [f] = 1/s = Hz, [T] = s
- v = 2πr / T = 2πr · f · [v] = m/s
- ω = 2π / T = 2π f · [ω] = 1/s
- v = ω · r · umgestellt: ω = v / r und r = v / ω
- 360° = 2π · 180° = π, 90° = ½π, 120° = ⅔π, 150° = ⅚π
- aZ = v² / r · [aZ] = m/s²
- FZ = m · aZ = m · v² / r · [FZ] = N
Drei Regeln, die fast jeden Fehler verhindern
1. Zeiten in Sekunden. „12 h“, „45 pro Minute“, „7200 U/min“ — immer zuerst auf Sekunden umrechnen, sonst stimmen f, v und ω nicht.
2. Radien in Metern. 4,7 cm sind 0,047 m. Sonst kommt nicht m/s heraus.
3. Einheit als Kontrolle. m/s ist eine Bahngeschwindigkeit, 1/s eine Winkelgeschwindigkeit, N eine Kraft. Passt die Einheit nicht zur gesuchten Größe, stimmt der Ansatz nicht.