Textaufgaben
Fünf Aufgaben aus dem Arbeitsblatt Darstellung von Kräften (Vektoren): die vier Teile des Kraftpfeils benennen, zehn Beträge über einen vereinbarten Maßstab bestimmen, für drei sehr unterschiedliche Kräfte selbst einen Maßstab wählen, einen Lückentext mit Zuordnung lösen und in vier Alltagsskizzen die wirkenden Kräfte einzeichnen. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.
Die vier Teile des Kraftpfeils
AFB IDie Richtung der wirkenden Kräfte kann man mit Pfeilen (Vektoren) darstellen. In Material M1 ist ein solcher Kraftpfeil gezeichnet; vier Zeiger (1) bis (4) weisen auf seine Bestandteile.
Vier Zeiger, vier Begriffe — jeder Begriff wird genau einmal gebraucht.
- Ordne den Zeigern (1) bis (4) die vier Begriffe Betrag, Richtung, Wirkungslinie und Angriffspunkt zu und beschreibe jeweils in einem Satz, was der Begriff bedeutet.
- Erläutere, warum zur vollständigen Angabe einer Kraft der Betrag allein nicht genügt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
(1) Betrag — die Länge des Vektors. Sie sagt, wie stark die Kraft ist; über den vereinbarten Maßstab wird aus der Länge der Wert in Newton.
(2) Richtung — wohin die Pfeilspitze zeigt, also in welche Richtung die Kraft wirkt.
(3) Wirkungslinie — die gestrichelt gezeichnete Gerade, auf der der Pfeil liegt und die über ihn hinaus verlängert wird.
(4) Angriffspunkt — der dicke Punkt am Pfeilanfang. Dort greift die Kraft am Körper an.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Eine Kraft ist eine gerichtete Größe (ein Vektor). Nicht nur die Stärke der Kraft ist wichtig, sondern auch die Richtung, wohin die Kraft wirkt.
Beispiel: Zwei Personen ziehen mit je 50 N an einem Seil. Ziehen sie entgegengesetzt, heben sich die Kräfte auf und nichts bewegt sich. Ziehen sie in dieselbe Richtung, wirken zusammen 100 N. Die Beträge sind in beiden Fällen gleich — entschieden hat allein die Richtung.
Die Angabe „50 N“ beschreibt eine Kraft also nur halb. Vollständig wird sie erst durch Angriffspunkt, Richtung und Betrag — und genau das leistet der Kraftpfeil.
Zehn Kräfte, ein Maßstab
AFB IIIn Material M2 sind einige Kräfte dargestellt. Als Maßstab wurde vereinbart: 1 cm entspricht 2 N. Am unteren Rand der Zeichnung findest du ein Lineal, an dem du ablesen kannst, wie lang ein Zentimeter in dieser Darstellung ist.
Die Pfeile sind maßstabsgetreu gezeichnet: Die Strecke von 0 bis 5 cm auf dem Lineal entspricht 5 cm Pfeillänge und damit 10 N, denn 1 cm ≙ 2 N.
- Stelle fest, welche Beträge die Kräfte \(F_1\) bis \(F_{10}\) haben.
- \(F_3\) und \(F_4\) haben denselben Betrag, sehen aber verschieden aus. Erkläre, worin sie sich unterscheiden.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Rechenweg jeweils: Betrag = gemessene Länge \(\cdot\;2\,\mathrm{N/cm}\).
| Kraft | gemessene Länge | Rechnung | Betrag |
|---|---|---|---|
| \(F_1\) | 8,7 cm | \(8{,}7 \cdot 2\,\mathrm{N}\) | 17,4 N |
| \(F_2\) | 1,0 cm | \(1{,}0 \cdot 2\,\mathrm{N}\) | 2 N |
| \(F_3\) | 2,4 cm | \(2{,}4 \cdot 2\,\mathrm{N}\) | 4,8 N |
| \(F_4\) | 2,4 cm | \(2{,}4 \cdot 2\,\mathrm{N}\) | 4,8 N |
| \(F_5\) | 3,5 cm | \(3{,}5 \cdot 2\,\mathrm{N}\) | 7 N |
| \(F_6\) | 1,6 cm | \(1{,}6 \cdot 2\,\mathrm{N}\) | 3,2 N |
| \(F_7\) | 4,3 cm | \(4{,}3 \cdot 2\,\mathrm{N}\) | 8,6 N |
| \(F_8\) | 0,7 cm | \(0{,}7 \cdot 2\,\mathrm{N}\) | 1,4 N |
| \(F_9\) | 3,8 cm | \(3{,}8 \cdot 2\,\mathrm{N}\) | 7,6 N |
| \(F_{10}\) | 3,3 cm | \(3{,}3 \cdot 2\,\mathrm{N}\) | 6,6 N |
Der längste Pfeil \(F_1\) gehört zur größten Kraft, der kürzeste \(F_8\) zur kleinsten — das gilt hier, weil alle Pfeile im selben Maßstab gezeichnet sind.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(F_3\) und \(F_4\) sind gleich lang (je 2,4 cm) und haben deshalb denselben Betrag von 4,8 N. Sie unterscheiden sich in der Richtung: \(F_3\) zeigt schräg nach rechts oben, \(F_4\) schräg nach links unten — die beiden Pfeile sind einander entgegengesetzt.
Daraus folgt: Der Betrag allein beschreibt eine Kraft nicht vollständig. Zwei Kräfte mit demselben Betrag können völlig Verschiedenes bewirken, weil die Kraft eine gerichtete Größe ist.
Den passenden Maßstab wählen
AFB IIDie folgenden Kräfte sollen als Pfeile dargestellt werden. Für jedes Beispiel darfst du einen eigenen Maßstab wählen; auch die Richtung der Kräfte kannst du beliebig festlegen.
\(F_1 = 3\,\mathrm{N}\) · \(F_2 = 55\,\mathrm{N}\) · \(F_3 = 420\,\mathrm{N}\)
Auf dem Blatt stehen rund 10 cm zur Verfügung. Ein Maßstab ist dann gut gewählt, wenn die Pfeillänge in den hervorgehobenen Bereich fällt.
- Gib für jede der drei Kräfte einen geeigneten Maßstab an und berechne die zugehörige Pfeillänge.
- Zeichne die drei Kraftpfeile mit Angriffspunkt und gestrichelter Wirkungslinie. Die Richtung darfst du frei wählen; schreibe an jeden Pfeil den verwendeten Maßstab.
- Begründe, warum man für \(F_3\) nicht denselben Maßstab wie für \(F_1\) nehmen kann.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(F_1 = 3\,\mathrm{N}\) — Maßstab 1 cm ≙ 1 N:
\(\ell = \dfrac{3\,\mathrm{N}}{1\,\mathrm{N/cm}} = 3\,\mathrm{cm}\)
\(F_2 = 55\,\mathrm{N}\) — Maßstab 1 cm ≙ 10 N:
\(\ell = \dfrac{55\,\mathrm{N}}{10\,\mathrm{N/cm}} = 5{,}5\,\mathrm{cm}\)
\(F_3 = 420\,\mathrm{N}\) — Maßstab 1 cm ≙ 100 N:
\(\ell = \dfrac{420\,\mathrm{N}}{100\,\mathrm{N/cm}} = 4{,}2\,\mathrm{cm}\)
Alle drei Längen liegen zwischen 3 cm und 8 cm — die Pfeile sind gut messbar und passen aufs Blatt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Drei getrennte Zeichnungen, jede mit ihrem eigenen Maßstab beschriftet:
• ein Pfeil von 3,0 cm mit der Notiz „1 cm ≙ 1 N“,
• ein Pfeil von 5,5 cm mit der Notiz „1 cm ≙ 10 N“,
• ein Pfeil von 4,2 cm mit der Notiz „1 cm ≙ 100 N“.
Jeder Pfeil beginnt an einem dick gezeichneten Angriffspunkt, liegt auf einer gestrichelten Wirkungslinie, die über beide Enden hinaus verlängert ist, und trägt an der Spitze die Bezeichnung \(F_1\), \(F_2\) bzw. \(F_3\). Die Richtungen sind frei wählbar; die Längen müssen mit dem Lineal nachprüfbar stimmen.
Wichtig: Weil jede Zeichnung einen anderen Maßstab hat, darf man die drei Pfeile nicht der Länge nach vergleichen. Der kürzeste Pfeil (3,0 cm) gehört hier zur kleinsten Kraft, der zweitkürzeste (4,2 cm) aber zur größten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mit dem Maßstab von \(F_1\), also 1 cm ≙ 1 N, wäre der Pfeil für \(F_3\)
\(\ell = \dfrac{420\,\mathrm{N}}{1\,\mathrm{N/cm}} = 420\,\mathrm{cm} = 4{,}2\,\mathrm{m}\)
lang. Ein Heft ist etwa 21 cm breit — der Pfeil würde also rund zwanzigmal über das Blatt hinausragen und lässt sich nicht zeichnen.
Deshalb gilt: Bei sehr großen Kräften wählt man einen groben Maßstab (hier 1 cm ≙ 100 N), bei kleinen einen feinen (hier 1 cm ≙ 1 N). Der Maßstab verändert die Kraft nicht — er entscheidet nur, wie viele Zentimeter sie auf dem Papier bekommt.
Lückentext und Zuordnung
AFB IIIn Material M4 sind sechs Situationen skizziert. Zu jeder Skizze gehört genau eine der Aussagen a) bis f). In zwei Aussagen fehlt jeweils ein Wort.
a) Beim Tauziehen ziehen zwei Schüler drei Schüler über die Grenzlinie.
b) Wuffi zieht an der Leine stärker als sein Herrchen.
c) Ein Heißluftballon schwebt, weil die Gewichtskraft und die Auftriebskraft gleich groß sind.
d) Ein Heißluftballon steigt, weil die Auftriebskraft (1) als die Gewichtskraft ist.
e) Beim Tauziehen ziehen drei Schüler zwei Schüler über die Grenzlinie.
f) Ein Heißluftballon sinkt, weil die Auftriebskraft (2) als die Gewichtskraft ist.
Alle Pfeile einer Skizze sind im selben Maßstab gezeichnet — die Längen dürfen also innerhalb einer Skizze verglichen werden. In (3) und (4) ziehen die blauen Pfeile nach links, die orangen nach rechts.
- Ergänze die beiden Lücken (1) und (2) in den Aussagen d) und f).
- Ordne den sechs Skizzen (1) bis (6) die Aussagen a) bis f) zu.
- Begründe deine Zuordnung bei den beiden Tauzieh-Skizzen (3) und (4) über die Pfeillängen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
(1) in Aussage d): größer — „Ein Heißluftballon steigt, weil die Auftriebskraft größer als die Gewichtskraft ist.“
(2) in Aussage f): kleiner — „Ein Heißluftballon sinkt, weil die Auftriebskraft kleiner als die Gewichtskraft ist.“
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
(1) → d) Der nach oben gerichtete Pfeil \(F_1\) (Auftriebskraft) ist deutlich länger als der nach unten gerichtete Pfeil \(F_2\) (Gewichtskraft). Der Auftrieb überwiegt, der Ballon steigt.
(2) → c) Beide Pfeile sind gleich lang. Auftriebskraft und Gewichtskraft haben denselben Betrag und heben sich auf, der Ballon schwebt.
(3) → a) Nach links ziehen zwei Pfeile, nach rechts drei — aber die beiden linken Pfeile sind fast doppelt so lang wie die drei rechten. Die Summe der Längen ist links größer, also gewinnen die zwei Schüler: Sie ziehen die drei über die Grenzlinie.
(4) → e) Hier sind alle fünf Pfeile gleich lang. Nach links ziehen drei, nach rechts nur zwei. Die Summe der Längen ist links größer, also ziehen die drei Schüler die zwei über die Grenzlinie.
(5) → b) Der Pfeil des Hundes \(F_1\) nach rechts unten ist deutlich länger als der Pfeil des Herrchens \(F_2\) nach links. Wuffi zieht also stärker.
(6) → f) Der nach unten gerichtete Pfeil \(F_2\) (Gewichtskraft) ist länger als der nach oben gerichtete \(F_1\) (Auftriebskraft). Die Gewichtskraft überwiegt, der Ballon sinkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
In beiden Skizzen zeigen die blauen Pfeile nach links und die orangen nach rechts. Entscheidend ist nicht die Anzahl der Pfeile, sondern die Summe ihrer Längen — denn die Länge ist der Betrag der Kraft.
Skizze (3): zwei lange Pfeile nach links, drei kurze nach rechts. Die beiden linken Pfeile sind zusammen länger als die drei rechten, die resultierende Kraft zeigt nach links. Die zwei Schüler ziehen die drei über die Grenzlinie — das ist Aussage a).
Skizze (4): fünf gleich lange Pfeile, drei nach links und zwei nach rechts. Links ist die Summe um eine Pfeillänge größer, die resultierende Kraft zeigt nach links. Die drei Schüler ziehen die zwei über die Grenzlinie — das ist Aussage e).
Merksatz: Kräfte werden nicht gezählt, sondern addiert. Weil die Kraft eine gerichtete Größe ist, zählt dabei jede Richtung mit ihrem eigenen Vorzeichen.
Kräfte im Alltag einzeichnen
AFB II/IIIIn Material M5 sind vier Alltagssituationen skizziert. Die wirkenden Kräfte fehlen noch — du sollst sie ergänzen. Achte bei jedem Pfeil auf Angriffspunkt, Richtung und Länge im Verhältnis zu den anderen Pfeilen derselben Skizze.
Die Skizzen sind bewusst ohne Pfeile gezeichnet — übertrage sie in dein Heft und ergänze die Kräfte selbst.
- Zeichne in Skizze (a) die wirkende Kraft am Gewichtsstück ein.
- Zeichne in Skizze (b) die an der startenden Rakete wirkenden Kräfte ein.
- Zeichne in Skizze (c) die am Apfel wirkenden Kräfte ein und begründe über die Pfeillängen, warum der Apfel liegen bleibt.
- Zeichne in Skizze (d) die Kräfte ein, mit denen die beiden Personen den Koffer tragen, sowie die Gewichtskraft des Koffers.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ein Kraftpfeil, senkrecht nach unten.
Angriffspunkt: am Gewichtsstück (in seiner Mitte bzw. am Aufhängepunkt). Richtung: senkrecht nach unten. Es handelt sich um die Gewichtskraft \(\vec{F}_G\) des Gewichtsstücks.
Die Feder wird dadurch gedehnt. Je größer die Gewichtskraft, desto länger der Pfeil und desto weiter die Dehnung — genau darauf beruht der Federkraftmesser.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Zwei Kraftpfeile längs der Rakete, einander entgegengesetzt (im Original ein Doppelpfeil längs der Flugrichtung).
• Schubkraft \(\vec{F}_S\): Angriffspunkt am Raketenkörper, Richtung nach oben, längs der Rakete.
• Gewichtskraft \(\vec{F}_G\): Angriffspunkt am Raketenkörper, Richtung nach unten, entgegengesetzt zur Schubkraft.
Weil die Rakete startet, also nach oben beschleunigt wird, muss der Pfeil der Schubkraft länger sein als der Pfeil der Gewichtskraft. Beide liegen auf derselben Wirkungslinie — der Längsachse der Rakete.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Zwei Kraftpfeile, senkrecht und einander entgegengesetzt.
• Gewichtskraft \(\vec{F}_G\): Angriffspunkt am Apfel, Richtung senkrecht nach unten.
• Kraft der Tischplatte auf den Apfel \(\vec{F}_N\): Angriffspunkt am Apfel (an der Auflagestelle), Richtung senkrecht nach oben.
Begründung: Beide Pfeile sind gleich lang, haben also denselben Betrag, und zeigen in entgegengesetzte Richtungen auf derselben Wirkungslinie. Sie heben sich gegenseitig auf, die resultierende Kraft ist null — deshalb bleibt der Apfel liegen. Wäre einer der Pfeile länger, würde der Apfel in diese Richtung beschleunigt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Drei Kraftpfeile.
• Zugkraft der linken Person \(\vec{F}_1\): Angriffspunkt am linken Griff, Richtung schräg nach oben (zur linken Person hin geneigt).
• Zugkraft der rechten Person \(\vec{F}_2\): Angriffspunkt am rechten Griff, Richtung schräg nach oben (zur rechten Person hin geneigt). Bei gleicher Beteiligung sind beide Pfeile gleich lang und spiegelbildlich geneigt.
• Gewichtskraft des Koffers \(\vec{F}_G\): Angriffspunkt in der Mitte des Koffers, Richtung senkrecht nach unten. Dieser Pfeil ist länger als jeder einzelne Zugpfeil.
Der Koffer wird getragen, bewegt sich also nicht nach unten. Die beiden schrägen Zugkräfte müssen zusammen die Gewichtskraft ausgleichen — wie man zwei schräge Pfeile zu einem einzigen zusammensetzt, ist das Thema des nächsten Kapitels.