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Textaufgaben: Kraft berechnen mit F = m · a

Fünf Rechenaufgaben zur Grundgleichung: Auto, Schlitten mit Reibung, Torschuss, Startbahn einer Boeing und ein bremsendes Motorrad.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungDer Dreischritt, das Umstellen der Bewegungsformeln und die Beschleunigungs-Werkbank noch einmal nachlesen.
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Textaufgaben

Fünf Rechenaufgaben aus dem Arbeitsblatt Rechenaufgaben zum Thema Kraft: das anfahrende Auto, der Schlitten mit und ohne Reibung, der Torschuss, die Startbahn einer Boeing 747 und zum Schluss zwei Zusatzaufgaben zu einem bremsenden Motorrad und einem Propellerflugzeug. In fast jeder Aufgabe fehlt die Beschleunigung — du musst sie dir erst über \( v = a \cdot t \) oder \( s = \tfrac{1}{2} a t^2 \) besorgen. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.

M1Die Formeln, die du für alle fünf Aufgaben brauchst
Kraft F = m · a m in kg · a in m/s² · F in N Gleichmäßig beschleunigte Bewegung v = a · t s = ½ · a · t²

Die Formeltabelle vom Kopf des Arbeitsblatts. Rechts stehen die beiden Formeln aus der Kinematik — sie liefern die Beschleunigung, die links gebraucht wird.

1

Das anfahrende Auto

AFB I

Ein Auto mit einer Masse von 1100 kg (1,1 t) erfährt beim Start eine konstante Beschleunigung von \( 5\,\mathrm{m/s^2} \). Wie groß ist die Kraft, die das Auto in Bewegung setzt?

  1. Gib an, welche Größen gegeben und welche gesucht sind.
  2. Berechne die Kraft, die das Auto in Bewegung setzt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Suche im Text nach einer Masse und nach einer Beschleunigung. Beide stehen ausnahmsweise direkt da — du musst nichts umrechnen und nichts vorher ausrechnen.Das ist der einfachste Fall: Nur hier ist \(a\) schon gegeben. In allen folgenden Aufgaben musst du die Beschleunigung erst besorgen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze direkt in \( F = m \cdot a \) ein. Schreibe zum Schluss die Einheit \(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m/s^2}\) in Newton um.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

gegeben: \( m = 1100\,\mathrm{kg} = 1{,}1\,\mathrm{t} \)  ·  \( a = 5\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)

gesucht: Kraft \( F \) in N

Die Masse steht bereits in Kilogramm, die Beschleunigung bereits in \(\mathrm{m/s^2}\) — es ist keine Umrechnung nötig.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\( F = m \cdot a = 1100\,\mathrm{kg} \cdot 5\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 5500\,\dfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 5500\,\mathrm{N} \)

Antwortsatz: Das Auto wird beim Start von einer Kraft von \( 5500\,\mathrm{N} \) (also \( 5{,}5\,\mathrm{kN} \)) in Bewegung gesetzt.

2

Der Schlitten

AFB II

Ein Schlitten, der zusammen mit einer darauf sitzenden Person die Masse 40 kg hat, wird mit einer Kraft von 50 N aus dem Stand beschleunigt.

M2Der Schlitten mit Person
F = 50 N m = 40 kg (Schlitten + Person) FR = 10 N nur in Teilaufgabe d) Bewegungsrichtung

Die Schubkraft wirkt nach rechts, die Reibungskraft aus Teilaufgabe d) nach links — also entgegen der Bewegungsrichtung.

  1. Berechne die Beschleunigung, die der Schlitten erfährt.
  2. Berechne die Beschleunigungsstrecke, die in den ersten 4 Sekunden zurückgelegt wird.
  3. Berechne die erreichte Geschwindigkeit nach 4 Sekunden.
  4. Erläutere, was sich an deiner Rechnung ändern würde, wenn man beim Schieben des Schlittens eine konstante Reibungskraft von \( F_R = 10\,\mathrm{N} \) überwinden müsste.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hier sind Kraft und Masse gegeben und die Beschleunigung gesucht. Stelle \( F = m \cdot a \) nach \(a\) um.
Hinweis zu Aufgabe b)
„Aus dem Stand“ heißt: Der Schlitten startet mit \( v = 0 \). Damit gilt \( s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \) — setze dein \(a\) aus a) und \( t = 4\,\mathrm{s} \) ein.
Hinweis zu Aufgabe c)
Dieselbe Beschleunigung, dieselbe Zeit — nur die andere Bewegungsformel: \( v = a \cdot t \).Beide Formeln beschreiben denselben Vorgang. Aus b) und c) zusammen siehst du: In 4 s legt der Schlitten 10 m zurück und ist am Ende 5 m/s schnell — im Mittel war er also 2,5 m/s schnell, genau die Hälfte der Endgeschwindigkeit.
Hinweis zu Aufgabe d)
Die Reibungskraft wirkt entgegen der Bewegungsrichtung. Welche Kraft bleibt dann noch übrig, um den Schlitten zu beschleunigen?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

gegeben: \( m = 40\,\mathrm{kg} \), \( F = 50\,\mathrm{N} \)  ·  gesucht: \( a \)

\( F = m \cdot a \quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{50\,\mathrm{N}}{40\,\mathrm{kg}} = 1{,}25\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)

Antwortsatz: Der Schlitten erfährt eine Beschleunigung von \( 1{,}25\,\mathrm{m/s^2} \).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

gegeben: \( a = 1{,}25\,\mathrm{m/s^2} \) (aus Teilaufgabe a), \( t = 4\,\mathrm{s} \)  ·  gesucht: \( s \)

\( s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}25\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot (4\,\mathrm{s})^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 16\,\mathrm{m} = 10\,\mathrm{m} \)

Antwortsatz: In den ersten 4 Sekunden legt der Schlitten eine Beschleunigungsstrecke von \( 10\,\mathrm{m} \) zurück.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

gegeben: \( a = 1{,}25\,\mathrm{m/s^2} \), \( t = 4\,\mathrm{s} \)  ·  gesucht: \( v \)

\( v = a \cdot t = 1{,}25\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 4\,\mathrm{s} = 5\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \)

Antwortsatz: Nach 4 Sekunden ist der Schlitten \( 5\,\mathrm{m/s} \) schnell (das sind 18 km/h).

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Da die Reibungskraft der Bewegung entgegenwirkt, müsste man mit der neuen Kraft

\( F = 50\,\mathrm{N} - 10\,\mathrm{N} = 40\,\mathrm{N} \)

rechnen. Nur dieser Rest steht noch zum Beschleunigen zur Verfügung. Alle drei Rechnungen a) bis c) würden also mit \( 40\,\mathrm{N} \) statt mit \( 50\,\mathrm{N} \) beginnen; die Beschleunigung, die Strecke und die Geschwindigkeit fielen dadurch kleiner aus.

3

Der Torschuss

AFB II

Bei einem Torschuss schießt ein Spieler den Ball mit der Masse \( m = 0{,}5\,\mathrm{kg} \) mit einer Schusskraft von \( 0{,}5\,\mathrm{kN} \) (= 500 N) aufs Tor. Welche Geschwindigkeit erreicht der Fußball, wenn das Abschießen — also der Kontakt zwischen Fuß und Ball — etwa \( 0{,}02\,\mathrm{s} \) dauert?

  1. Berechne die Beschleunigung, die der Ball während des Schusses erfährt.
  2. Berechne die Geschwindigkeit, die der Ball nach \( 0{,}02\,\mathrm{s} \) erreicht hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne die Schusskraft zuerst von Kilonewton in Newton um: \( 0{,}5\,\mathrm{kN} = 500\,\mathrm{N} \). Dann brauchst du \( F = m \cdot a \), nach \(a\) umgestellt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Ball liegt vor dem Schuss still. Also gilt \( v = a \cdot t \) mit der sehr kurzen Kontaktzeit \( t = 0{,}02\,\mathrm{s} \).Diese Aufgabe braucht zwei Formeln nacheinander: erst \( F = m\cdot a \), dann \( v = a\cdot t \). Das ist genau der Dreischritt aus der Erklärung — nur dass hier die Kraft gegeben und die Geschwindigkeit gesucht ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

gegeben: \( F = 0{,}5\,\mathrm{kN} = 500\,\mathrm{N} \), \( m = 0{,}5\,\mathrm{kg} \), \( t = 0{,}02\,\mathrm{s} \)  ·  gesucht: \( v \) (über \(a\))

Es werden zwei Formeln gebraucht: \( F = m \cdot a \) und \( v = a \cdot t \).

\( F = m \cdot a \quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{500\,\mathrm{N}}{0{,}5\,\mathrm{kg}} = 1000\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\( v = a \cdot t = 1000\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 0{,}02\,\mathrm{s} = 20\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \)

Antwortsatz: Der Fußball erreicht eine Geschwindigkeit von \( 20\,\mathrm{m/s} \) — das sind 72 km/h.

4

Die Startbahn der Boeing

AFB II

Die Masse einer beladenen Boeing 747 beträgt 320 Tonnen. Beim Start erzeugen ihre 4 Triebwerke zusammen eine Kraft von 1000 kN. Wie lang muss die Startbahn mindestens sein, damit das Flugzeug zum Abheben seine Geschwindigkeit von 300 km/h erreichen kann?

M3Der Startvorgang
F = 1000 kN v = 300 km/h m = 320 t s = ?

Gegeben sind Masse, Antriebskraft und Abhebegeschwindigkeit — gesucht ist die Strecke. Der Weg dorthin führt über die Beschleunigung und die Zeit.

  1. Berechne die Beschleunigung des Flugzeugs beim Start.
  2. Bestimme die Zeit, die das Flugzeug bis zum Erreichen von 300 km/h benötigt.
  3. Berechne die minimale Länge, die die Startbahn aufweisen muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Rechne zuerst um: \( 1000\,\mathrm{kN} = 1\,000\,000\,\mathrm{N} \) und \( 320\,\mathrm{t} = 320\,000\,\mathrm{kg} \). Dann liefert \( a = \frac{F}{m} \) das Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Abhebegeschwindigkeit muss in Meter pro Sekunde umgerechnet werden: durch 3,6 teilen. Danach hilft \( v = a \cdot t \), nach \(t\) umgestellt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Jetzt sind Beschleunigung und Zeit bekannt — das ist der Fall für \( s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \).Die Zeit ist hier nur eine Zwischengröße: Sie kommt in der Aufgabenstellung gar nicht vor, wird aber gebraucht, um von der Geschwindigkeit zur Strecke zu gelangen. Rechne mit dem ungerundeten Zwischenwert weiter, sonst weicht das Ergebnis ab.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

gegeben: \( m = 320\,\mathrm{t} = 320\,000\,\mathrm{kg} \), \( F = 1000\,\mathrm{kN} = 1\,000\,000\,\mathrm{N} \), \( v = 300\,\mathrm{km/h} \)  ·  gesucht: \( s \) (über \(a\) und \(t\))

\( a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{1\,000\,000\,\mathrm{N}}{320\,000\,\mathrm{kg}} = 3{,}125\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\( v = 300\,\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = \dfrac{300}{3{,}6}\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \approx 83{,}33\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \)

\( v = a \cdot t \quad\Rightarrow\quad t = \dfrac{v}{a} \approx \dfrac{83{,}33\,\mathrm{m/s}}{3{,}125\,\mathrm{m/s^2}} \approx 26{,}67\,\mathrm{s} \)

Das Flugzeug rollt also rund 27 Sekunden lang über die Bahn, bevor es abhebt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\( s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 3{,}125\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot (26{,}67\,\mathrm{s})^2 \approx 1111\,\mathrm{m} \)

Antwortsatz: Die Startbahn muss mindestens etwa \( 1111\,\mathrm{m} \) lang sein — also gut einen Kilometer.

5

Zwei Zusatzaufgaben

AFB III

Motorrad. Ein Motorrad mit einer Masse von 600 kg (0,6 t) wird auf einer Strecke von 50 m durch die konstante Kraft von 900 N (0,9 kN) abgebremst. Wie groß war die Anfangsgeschwindigkeit?

Propellerflugzeug. Ein altes Propellerflugzeug mit einer Masse von 6000 kg benötigt eine Geschwindigkeit von 45 m/s, um abheben zu können. Das Flugzeug legt 0,5 km zurück, bis es von der Startbahn abhebt. Gehe von einer konstanten Beschleunigung aus.

  1. Berechne die Anfangsgeschwindigkeit des Motorrads.
  2. Berechne die Zeit, die das Propellerflugzeug zum Abheben braucht.
  3. Berechne die Kraft, die das Propellerflugzeug antreibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gegeben sind Masse, Strecke und Kraft, gesucht ist eine Geschwindigkeit — du brauchst also \( v = a \cdot t \), und dazu fehlen \(a\) und \(t\). Hole dir \(a\) aus \( F = m\cdot a \) und danach \(t\) aus \( s = \tfrac{1}{2}at^2 \), nach \(t\) umgestellt: \( t = \sqrt{\tfrac{2s}{a}} \).
Hinweis zu Aufgabe b)
Hier ist die Kraft nicht gegeben — du kannst \(a\) also nicht über \( F = m\cdot a \) bekommen. Setze stattdessen \( a = \frac{v}{t} \) in \( s = \tfrac{1}{2}at^2 \) ein und kürze.Es entsteht \( s = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{v}{t}\cdot t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot v\cdot t \). Die unbekannte Beschleunigung fällt dabei heraus — ein Trick, der sich lohnt zu merken: Bei gleichmäßiger Beschleunigung aus dem Stand ist die Strecke gleich der halben Endgeschwindigkeit mal der Zeit.
Hinweis zu Aufgabe c)
Jetzt kennst du \(t\) aus b). Setze \( a = \frac{v}{t} \) direkt in \( F = m \cdot a \) ein. Vergiss nicht: 0,5 km sind 500 m.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

gegeben: \( m = 600\,\mathrm{kg} \), \( s = 50\,\mathrm{m} \), \( F = 900\,\mathrm{N} \)  ·  gesucht: \( v \) (Formel \( v = a\cdot t \))

\( a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{900\,\mathrm{N}}{600\,\mathrm{kg}} = 1{,}5\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)

\( s = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2 \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\dfrac{2s}{a}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 50\,\mathrm{m}}{1{,}5\,\mathrm{m/s^2}}} \approx 8{,}165\,\mathrm{s} \)

\( v = a \cdot t = 1{,}5\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 8{,}165\,\mathrm{s} \approx 12{,}25\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \)

Antwortsatz: Die Anfangsgeschwindigkeit des Motorrads betrug etwa \( 12{,}25\,\mathrm{m/s} \) (rund 44 km/h).

Zur Deutung: Der Bremsvorgang wird hier rückwärts gelesen — als eine Beschleunigung aus dem Stand über dieselbe Strecke von 50 m. Die Endgeschwindigkeit dieser gedachten Bewegung ist genau die gesuchte Anfangsgeschwindigkeit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

gegeben: \( m = 6000\,\mathrm{kg} \), \( v = 45\,\mathrm{m/s} \), \( s = 0{,}5\,\mathrm{km} = 500\,\mathrm{m} \)  ·  gesucht: \( t \)

Es gilt \( v = a \cdot t \), also \( a = \dfrac{v}{t} \). Setzt man das in die Wegformel ein, kürzt sich \(t\) einmal weg:

\( s = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{v}{t}\cdot t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot v\cdot t \)

\( t = \dfrac{2s}{v} = \dfrac{2 \cdot 500\,\mathrm{m}}{45\,\mathrm{m/s}} \approx 22{,}2\,\mathrm{s} \)

Antwortsatz: Das Flugzeug braucht etwa \( 22{,}2 \) Sekunden bis zum Abheben.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\( F = m \cdot a = m \cdot \dfrac{v}{t} = 6000\,\mathrm{kg} \cdot \dfrac{45\,\mathrm{m/s}}{22{,}2\,\mathrm{s}} \approx 12\,162{,}2\,\mathrm{N} \approx 12\,\mathrm{kN} \)

Antwortsatz: Das Flugzeug wird von einer Kraft von rund \( 12\,\mathrm{kN} \) angetrieben.

Hinweis zum Runden: Rechnet man mit dem ungerundeten Wert \( t = \tfrac{1000}{45}\,\mathrm{s} = 22{,}2\overline{2}\,\mathrm{s} \) weiter, ergibt sich \( F = 12\,150\,\mathrm{N} \). Auf zwei Stellen gerundet steht in beiden Fällen \( 12\,\mathrm{kN} \).

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