Textaufgaben
Fünf Aufgaben zur Gewichtskraft: eine Rechentabelle für Erde und Mond, ein Federkraftmesser, der verrät, auf welchem Himmelskörper ein Foto entstanden ist, zwei Körper mit sehr verschiedenen Dichten, die Olympischen Spiele auf dem Mars und sechs gemessene Ortsfaktoren auf der Erde. Zu jeder Teilaufgabe gibt es einen Hinweis und einen Erwartungshorizont — öffne den Erwartungshorizont erst, wenn du deine eigene Lösung aufgeschrieben hast.
Auf der Erde und auf dem Mond
AFB IVier Körper werden einmal auf der Erde und einmal auf dem Mond gewogen. Auf der Erde gilt \( g_E = 9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \), auf dem Mond \( g_M = 1{,}62\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \).
| Masse m | FG auf der Erde | FG auf dem Mond |
|---|---|---|
| 1 kg | ? | ? |
| 80 kg | ? | ? |
| 100 g | ? | ? |
| 2,5 t | ? | ? |
- Berechne die Gewichtskraft der vier Körper auf der Erde.
- Berechne die Gewichtskraft derselben vier Körper auf dem Mond.
- Erläutere, warum in der ersten Spalte für beide Orte dieselbe Masse steht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz für alle vier Zeilen: \( F_G = m \cdot g_E \) mit \( g_E = 9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \).
\( 1\,\mathrm{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 9{,}81\,\mathrm{N} \)
\( 80\,\mathrm{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 784{,}8\,\mathrm{N} \)
\( 100\,\mathrm{g} = 0{,}1\,\mathrm{kg} \;\Rightarrow\; 0{,}1\,\mathrm{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 0{,}981\,\mathrm{N} \)
\( 2{,}5\,\mathrm{t} = 2500\,\mathrm{kg} \;\Rightarrow\; 2500\,\mathrm{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 24\,525\,\mathrm{N} = 24{,}525\,\mathrm{kN} \)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \( F_G = m \cdot g_M \) mit \( g_M = 1{,}62\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \).
\( 1\,\mathrm{kg} \cdot 1{,}62\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 1{,}62\,\mathrm{N} \)
\( 80\,\mathrm{kg} \cdot 1{,}62\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 129{,}6\,\mathrm{N} \)
\( 0{,}1\,\mathrm{kg} \cdot 1{,}62\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 0{,}162\,\mathrm{N} \)
\( 2500\,\mathrm{kg} \cdot 1{,}62\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 4050\,\mathrm{N} = 4{,}05\,\mathrm{kN} \)
| Masse m | FG auf der Erde | FG auf dem Mond |
|---|---|---|
| 1 kg | 9,81 N | 1,62 N |
| 80 kg | 784,8 N | 129,6 N |
| 100 g | 0,981 N | 0,162 N |
| 2,5 t | 24,525 kN | 4,05 kN |
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Masse eines Körpers ist nicht ortsabhängig und überall im Universum gleich — sie beschreibt den Körper selbst und nicht seine Umgebung. Deshalb steht in der ersten Spalte für Erde und Mond derselbe Wert. Die Gewichtskraft hängt dagegen vom Ortsfaktor ab: In \( F_G = m \cdot g \) ändert sich beim Wechsel zum Mond allein \( g \), und zwar von 9,81 m/s² auf 1,62 m/s². Damit werden alle Werte der dritten Spalte um denselben Faktor kleiner als die der zweiten.
Wo ist das Foto entstanden?
AFB IIEin Foto zeigt einen Federkraftmesser, an dem ein Gewicht von 25 Tonnen hängt. Der Kraftmesser zeigt eine Kraft von 40,5 Kilonewton an. Wo ist dieses Foto entstanden?
Der Kraftmesser misst eine Kraft, die aufgehängte Masse ist bekannt — damit lässt sich der Ortsfaktor bestimmen.
- Berechne aus den Angaben des Fotos den Ortsfaktor \( g \).
- Bestimme mit Hilfe der Vergleichswerte den Ort der Aufnahme und begründe deine Antwort durch die Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Umstellen der Formel:
\( F = m \cdot g \;\Leftrightarrow\; g = \dfrac{F}{m} \)
Umrechnen: \( 40{,}5\,\mathrm{kN} = 40\,500\,\mathrm{N} \) und \( 25\,\mathrm{t} = 25\,000\,\mathrm{kg} \).
\( g = \dfrac{40\,500\,\mathrm{N}}{25\,000\,\mathrm{kg}} = 1{,}62\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Der berechnete Ortsfaktor beträgt \( 1{,}62\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \). Das ist genau der Ortsfaktor des Mondes (Erde: 9,81 m/s², Mars: 3,69 m/s²). Damit gilt: Das Foto ist auf dem Mond entstanden.
Antwortsatz: Da sich aus der angezeigten Kraft und der aufgehängten Masse ein Ortsfaktor von 1,62 m/s² ergibt und dieser Wert nur auf dem Mond auftritt, muss die Aufnahme auf dem Mond gemacht worden sein.
Zwei Körper, zwei Dichten
AFB IIBei beiden Körpern ist die Masse nicht angegeben — sie muss erst über die Dichte aus dem Volumen berechnet werden. Beide Körper befinden sich auf der Erde, es gilt \( g_E = 9{,}81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \).
Die Dichte verknüpft Masse und Volumen: \( \rho = \frac{m}{V} \). Beim Würfel ist das Volumen gegeben, bei der Kugel muss es erst berechnet werden.
- Berechne die Gewichtskraft, die der Aluminiumwürfel mit \( V = 50\,\mathrm{cm^3} \) auf der Erde ausüben würde. Die Dichte von Aluminium beträgt \( \rho = 2{,}7\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \).
- Berechne die Gewichtskraft, die eine Quecksilberkugel mit dem Radius \( r = 2\,\mathrm{cm} \) auf der Erde ausüben würde. Die Dichte von Quecksilber beträgt \( \rho = 13{,}6\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \). Verwende für das Kugelvolumen \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \).
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Masse aus der Dichte:
\( \rho = \dfrac{m}{V} \;\Leftrightarrow\; m = \rho \cdot V = 2{,}7\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \cdot 50\,\mathrm{cm^3} = 135\,\mathrm{g} = 0{,}135\,\mathrm{kg} \)
Gewichtskraft:
\( F_G = m \cdot g = 0{,}135\,\mathrm{kg} \cdot 9{,}81\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \approx 1{,}32\,\mathrm{N} \)
Der Würfel übt auf der Erde eine Gewichtskraft von rund 1,32 N aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Volumen der Kugel:
\( V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot (2\,\mathrm{cm})^3 \approx 33{,}51\,\mathrm{cm^3} \)
Masse aus der Dichte:
\( m = \rho \cdot V = 13{,}6\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \cdot 33{,}51\,\mathrm{cm^3} \approx 455{,}7\,\mathrm{g} \approx 0{,}456\,\mathrm{kg} \)
Gewichtskraft:
\( F_G = m \cdot g = 0{,}456\,\mathrm{kg} \cdot 9{,}81\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \approx 4{,}47\,\mathrm{N} \)
Die Quecksilberkugel übt auf der Erde eine Gewichtskraft von rund 4,47 N aus — deutlich mehr als der Würfel, obwohl sie kaum größer ist. Der Grund ist die viel höhere Dichte.
Olympische Spiele auf dem Mars
AFB II/IIIIm Jahr 2050 haben es sich vier Astronauten auf dem Mars etwas zu gut gehen lassen und dadurch zugenommen. Nun haben sie beschlossen, mit Hilfe ihrer jeweiligen Lieblingssportart wieder in Form zu kommen. Die Fallbeschleunigung (Ortsfaktor) auf dem Mars beträgt \( 3{,}69\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \) und ist somit in etwa 2,5-mal kleiner als auf der Erde.
Alle vier Astronauten trainieren mit derselben Technik wie auf der Erde — nur der Ortsfaktor ist ein anderer.
- Erkläre, warum Astronauten auf dem Mars mehr auf tägliches Training achten sollten als auf der Erde.
- Astronaut Nr. 1 hat seine 20 kg schwere Hantel von der Erde mitgenommen. Berechne die Masse und die Gewichtskraft der Hantel auf dem Mars.
- Astronaut Nr. 2 versucht es auf dem Mars mit Fußballspielen. Entscheide, welche der drei Aussagen über die Geschwindigkeit eines Balls beim Elfmeterschießen auf Mars und Erde zutrifft, wenn die Schusstechnik identisch ist, und begründe deine Wahl. Zur Auswahl stehen: (1) Der Ball erreicht auf dem Mars eine höhere Geschwindigkeit. (2) Der Ball erreicht auf dem Mars eine geringere Geschwindigkeit. (3) Der Ball erreicht auf dem Mars etwa die gleiche Geschwindigkeit.
- Astronaut Nr. 3 möchte in seiner Lieblingssportart Kugelstoßen besser werden. Beurteile, ob er bei gleicher Wurftechnik und Kraft wie auf der Erde einen neuen persönlichen Rekord aufstellt, und begründe deine Antwort.
- Zusatzaufgabe. Astronaut Nr. 4 trainiert auf dem Mars seinen Aufschlag. Dabei schlägt er seinen 56 g schweren Federball mit einer Geschwindigkeit von 180 km/h. Die Strecke, die der Schläger den Ball mitführt, beträgt etwa 30 cm. Berechne, wie lange Ball und Schläger in Kontakt sind und wie groß die Kraft des Schlägers auf den Ball ist.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Hinweis zu Aufgabe e)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aufgrund der geringeren Fallbeschleunigung (Ortsfaktor) ist man auf dem Mars nicht so gefordert wie auf der Erde und baut daher Muskel- und Knochenmasse ab. Um dem entgegenzuwirken, trainieren Astronauten fast jeden Tag mehr als zwei Stunden lang auf speziellen Laufbändern, Ergometern und Kraftgeräten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\( F = m \cdot g = 20\,\mathrm{kg} \cdot 3{,}69\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 73{,}8\,\mathrm{N} \)
Die Masse eines Körpers ist nicht ortsabhängig und überall im Universum gleich, das heißt die Masse der Hantel beträgt immer noch 20 kg. Die Gewichtskraft der Hantel auf dem Mars beträgt 73,8 N.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Richtig ist Aussage (3): Der Ball erreicht auf dem Mars etwa die gleiche Geschwindigkeit.
Begründung: Da der Ball die gleiche Masse hat, erreicht er durch die gleiche Kraft auch die gleiche Beschleunigung und somit die gleiche Geschwindigkeit wie auf der Erde.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Ja, er stellt einen neuen persönlichen Rekord auf. Da auf dem Mars die Kugel mit geringerer Gewichtskraft Richtung Boden gezogen wird, dauert die Flugphase länger und damit wird die Wurfweite größer — trotz gleicher Anfangsgeschwindigkeit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe e)
Umrechnung: \( 180\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 50\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \), \( 30\,\mathrm{cm} = 0{,}3\,\mathrm{m} \), \( 56\,\mathrm{g} = 0{,}056\,\mathrm{kg} \).
Kontaktzeit: Aus \( a = \frac{v}{t} \) folgt
\( s = \dfrac{1}{2}\,a\,t^2 = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{v}{t}\cdot t^2 = \dfrac{1}{2}\,v\,t \)
\( t = \dfrac{2s}{v} = \dfrac{2 \cdot 0{,}3\,\mathrm{m}}{50\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} = 0{,}012\,\mathrm{s} \)
Beschleunigung:
\( a = \dfrac{v}{t} = \dfrac{50\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{0{,}012\,\mathrm{s}} = 4166{,}7\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)
Kraft:
\( F = m \cdot a = 0{,}056\,\mathrm{kg} \cdot 4166{,}7\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 233{,}3\,\mathrm{N} \)
Ball und Schläger sind rund 0,012 s in Kontakt, die Kraft des Schlägers auf den Ball beträgt etwa 233,3 N.
Ein Ortsfaktor, sechs Messwerte
AFB IIIAuf der Erde wurden an sechs Orten die folgenden Fallbeschleunigungen (Ortsfaktoren) gemessen.
Von links nach rechts wächst der Abstand vom Äquator — und mit ihm die gemessene Fallbeschleunigung.
- Formuliere eine Aussage über die Abhängigkeit der Fallbeschleunigung vom Ort, an dem die Messung durchgeführt wurde, und begründe sie.
- Berechne, welche Masse ein Körper haben muss, damit der Unterschied seiner Gewichtskräfte am Nordpol und am Äquator der Erde genau \( 1{,}00\,\mathrm{N} \) beträgt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Aussage: Am Äquator ist die Fallbeschleunigung am kleinsten, am Nordpol am größten. Je nördlicher die Entfernung vom Äquator, desto größer ist die Fallbeschleunigung.
Begründung: Das liegt zum einen daran, dass die Erde keine ideale Kugel, sondern abgeplattet ist. Durch die Rotation sind Orte am Äquator weiter vom Erdmittelpunkt entfernt. Je größer der Abstand vom Erdmittelpunkt ist, desto kleiner ist die Anziehungskraft und somit die Fallbeschleunigung. Zum anderen liegt es an der höheren Fliehkraft am Äquator.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz über die Differenz der beiden Gewichtskräfte:
\( 1\,\mathrm{N} = F_N - F_{\ddot{A}} = m \cdot g_N - m \cdot g_{\ddot{A}} = m \cdot (g_N - g_{\ddot{A}}) \)
Umstellen nach der Masse:
\( m = \dfrac{1\,\mathrm{N}}{(9{,}83 - 9{,}78)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} = \dfrac{1\,\mathrm{N}}{0{,}05\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} = 20\,\mathrm{kg} \)
Ein Körper der Masse 20 kg hat am Nordpol eine um genau 1,00 N größere Gewichtskraft als am Äquator. Zur Kontrolle: \( 20\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}83\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 196{,}6\,\mathrm{N} \) gegenüber \( 20\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}78\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 195{,}6\,\mathrm{N} \).