Textaufgaben: Der Betrag eines Vektors

\( |\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \mathbf{5} \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = \mathbf{15} \)

Beide Pfeile sind also länger als jede einzelne Koordinate, aber kürzer als die Summe der beiden Koordinaten (7 bzw. 21).

\( |\vec{c}| = \sqrt{(-20)^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = \mathbf{29} \)

Auch hier geht die Wurzel glatt auf: \( 29^2 = 841 \).

In der Formel werden beide Koordinaten quadriert. Beim Quadrieren einer negativen Zahl fällt das Minuszeichen weg: \( (-20)^2 = (-20)\cdot(-20) = +400 \) — genau derselbe Wert wie bei \( 20^2 \). Der Vektor \( \begin{pmatrix} -20 \\ 21 \end{pmatrix} \) hat deshalb denselben Betrag wie \( \begin{pmatrix} 20 \\ 21 \end{pmatrix} \); er zeigt nur in eine andere Richtung.

Anschaulich: Das Minuszeichen sagt, dass die x-Strecke nach links statt nach rechts geht. Auf die Länge der Strecke hat das keinen Einfluss. Ein Betrag ist eine Länge und kann daher nie negativ sein.

\( \vec{F}_{\mathrm{Res}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} 9\,\mathrm{kN} \\ 9\,\mathrm{kN} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14\,\mathrm{kN} \\ -3\,\mathrm{kN} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23\,\mathrm{kN} \\ 6\,\mathrm{kN} \end{pmatrix} \)

In x-Richtung addieren sich die Kräfte zu 23 kN, in y-Richtung bleiben von den 9 kN nur \( 9 - 3 = 6 \) kN übrig.

\( |\vec{F}_{\mathrm{Res}}| = \sqrt{(23\,\mathrm{kN})^2 + (6\,\mathrm{kN})^2} = \sqrt{23^2\,\mathrm{kN}^2 + 6^2\,\mathrm{kN}^2} = \sqrt{565\,\mathrm{kN}^2} \approx \mathbf{23{,}8\,\mathrm{kN}} \)

Antwortsatz: Das Schiff wird mit einer Kraft von rund 23,8 kN gezogen.

Die beiden Kräfte ziehen nicht in dieselbe Richtung. \( \vec{F}_1 \) zieht schräg nach oben, \( \vec{F}_2 \) zieht flach nach rechts unten. In der y-Richtung wirken sie sogar gegeneinander: \( +9\,\mathrm{kN} \) und \( -3\,\mathrm{kN} \) ergeben zusammen nur \( 6\,\mathrm{kN} \). Ein Teil der zweiten Kraft hebt also einen Teil der ersten auf.

Deshalb ist \( |\vec{F}_1 + \vec{F}_2| \approx 23{,}8\,\mathrm{kN} \) kleiner als \( |\vec{F}_1| + |\vec{F}_2| \approx 27{,}05\,\mathrm{kN} \). Gleich groß wären beide Werte nur dann, wenn die zwei Kräfte in genau dieselbe Richtung zeigten.

Merke: Erst die Vektoren addieren, dann den Betrag bilden. Die umgekehrte Reihenfolge liefert einen zu großen Wert.

\( |\vec{F}_1| = \sqrt{1100^2 + 1200^2} = \sqrt{1\,210\,000 + 1\,440\,000} = \sqrt{2\,650\,000} = \mathbf{1627{,}88\,\mathrm{N}} \)

\( |\vec{F}_2| = \sqrt{1650^2 + (-625)^2} = \sqrt{2\,722\,500 + 390\,625} = \sqrt{3\,113\,125} = \mathbf{1764{,}40\,\mathrm{N}} \)

Der zweite Schlepper zieht also etwas stärker als der erste.

\( \vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} 1100\,\mathrm{N} \\ 1200\,\mathrm{N} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1650\,\mathrm{N} \\ -625\,\mathrm{N} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{2750\,\mathrm{N}} \\ \mathbf{575\,\mathrm{N}} \end{pmatrix} \)

In x-Richtung: \( 1100 + 1650 = 2750 \). In y-Richtung: \( 1200 - 625 = 575 \).

\( |\vec{F}_R| = \sqrt{2750^2 + 575^2} = \sqrt{7\,562\,500 + 330\,625} = \sqrt{7\,893\,125} = \mathbf{2809{,}47\,\mathrm{N}} \)

Die Summe der Einzelbeträge wäre \( 1627{,}88\,\mathrm{N} + 1764{,}40\,\mathrm{N} = 3392{,}28\,\mathrm{N} \) — deutlich mehr. Die beiden Schlepper ziehen eben nicht in dieselbe Richtung.

\( m = 750\,\mathrm{t} = 750\,000\,\mathrm{kg} \)

\( a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{2809{,}47\,\mathrm{N}}{750\,000\,\mathrm{kg}} = \mathbf{0{,}0037\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} \)

Antwortsatz: Das Frachtschiff wird mit einer Beschleunigung von etwa \( 0{,}0037\,\mathrm{m/s^2} \) gezogen — ein winziger Wert, weil eine sehr große Masse einer vergleichsweise kleinen Kraft gegenübersteht.

\( |\vec{F}_1| = \sqrt{1500^2 + 1700^2} = \sqrt{2\,250\,000 + 2\,890\,000} = \sqrt{5\,140\,000} = \mathbf{2267{,}16\,\mathrm{N}} \)

\( |\vec{F}_2| = \sqrt{1100^2 + (-900)^2} = \sqrt{1\,210\,000 + 810\,000} = \sqrt{2\,020\,000} = \mathbf{1421{,}27\,\mathrm{N}} \)

\( \vec{F}_R = \begin{pmatrix} 1500\,\mathrm{N} \\ 1700\,\mathrm{N} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1100\,\mathrm{N} \\ -900\,\mathrm{N} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{2600\,\mathrm{N}} \\ \mathbf{800\,\mathrm{N}} \end{pmatrix} \)

\( |\vec{F}_R| = \sqrt{2600^2 + 800^2} = \sqrt{6\,760\,000 + 640\,000} = \sqrt{7\,400\,000} = \mathbf{2720{,}29\,\mathrm{N}} \)

\( a = \dfrac{2720{,}29\,\mathrm{N}}{600\,000\,\mathrm{kg}} = \mathbf{0{,}0045\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} \)

\( |\vec{F}_1| = \sqrt{1100^2 + 700^2} = \sqrt{1\,210\,000 + 490\,000} = \sqrt{1\,700\,000} \approx \mathbf{1303{,}84\,\mathrm{N}} \)

\( |\vec{F}_2| = \sqrt{1500^2 + (-500)^2} = \sqrt{2\,250\,000 + 250\,000} = \sqrt{2\,500\,000} \approx \mathbf{1581{,}14\,\mathrm{N}} \)

\( \vec{F}_R = \begin{pmatrix} 1100\,\mathrm{N} \\ 700\,\mathrm{N} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1500\,\mathrm{N} \\ -500\,\mathrm{N} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{2600\,\mathrm{N}} \\ \mathbf{200\,\mathrm{N}} \end{pmatrix} \)

\( |\vec{F}_R| = \sqrt{2600^2 + 200^2} = \sqrt{6\,760\,000 + 40\,000} = \sqrt{6\,800\,000} \approx \mathbf{2607{,}68\,\mathrm{N}} \)

\( a = \dfrac{2607{,}68\,\mathrm{N}}{500\,000\,\mathrm{kg}} \approx \mathbf{0{,}0052\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} \)

Vergleich der drei Schiffe:

750 t · \( |\vec{F}_R| = 2809{,}47\,\mathrm{N} \) · \( a = 0{,}0037\,\mathrm{m/s^2} \)
600 t · \( |\vec{F}_R| = 2720{,}29\,\mathrm{N} \) · \( a = 0{,}0045\,\mathrm{m/s^2} \)
500 t · \( |\vec{F}_R| = 2607{,}68\,\mathrm{N} \) · \( a = 0{,}0052\,\mathrm{m/s^2} \)

Die drei Kraftbeträge liegen dicht beieinander (rund 2600 bis 2800 N). Die Massen unterscheiden sich dagegen deutlich. Man erkennt: Je kleiner die Masse, desto größer die Beschleunigung — das leichteste Schiff (500 t) wird am stärksten beschleunigt.

Warum sind alle Werte so winzig? In \( a = \frac{F}{m} \) steht im Zähler eine Kraft von rund \( 2{,}8 \cdot 10^{3}\,\mathrm{N} \), im Nenner aber eine Masse von rund \( 7{,}5 \cdot 10^{5}\,\mathrm{kg} \). Der Nenner ist also etwa 250-mal so groß wie der Zähler. Eine Kraft von wenigen Kilonewton ist für einige hundert Tonnen Masse einfach sehr wenig — deshalb kommt eine Beschleunigung im Bereich von Tausendstel \( \mathrm{m/s^2} \) heraus.

Anschaulich: Bei \( a = 0{,}0037\,\mathrm{m/s^2} \) braucht das 750-Tonnen-Schiff aus dem Stand rund 270 Sekunden — also über vier Minuten — um auf 1 m/s zu kommen. Genau deshalb legen große Schiffe so langsam ab.

Fall „gleich“: \( \vec{F}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \), \( \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \).

\( \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} 9 \\ 12 \end{pmatrix} \), also \( |\vec{F}_1 + \vec{F}_2| = \sqrt{81 + 144} = 15 \).

Andererseits \( |\vec{F}_1| = \sqrt{9+16} = 5 \) und \( |\vec{F}_2| = \sqrt{36+64} = 10 \), zusammen \( 5 + 10 = 15 \). Beide Werte stimmen überein, denn beide Vektoren zeigen in dieselbe Richtung — \( \vec{F}_2 \) ist genau doppelt so lang wie \( \vec{F}_1 \).

Fall „null“: \( \vec{F}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \), \( \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix} \).

\( \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), also \( |\vec{F}_1 + \vec{F}_2| = 0 \) — obwohl \( |\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = 5 \) ist. Die Kräfte sind entgegengesetzt gleich groß: genau der Fall 2 aus Kapitel 2.2.2.

Gleich ist es nur dann, wenn beide Kräfte in dieselbe Richtung zeigen, der Winkel zwischen ihnen also \( 0^\circ \) beträgt. Dann liegen die beiden Pfeile auf einer Geraden und ihre Längen addieren sich vollständig.

In jedem anderen Fall ist der Betrag der Summe kleiner als die Summe der Beträge, weil sich Anteile der beiden Kräfte teilweise aufheben. Je größer der Winkel, desto mehr geht verloren.

Bei \( 180^\circ \) ist der Betrag am kleinsten: Dann bleibt nur noch der Betrag der Differenz übrig — und sind beide Kräfte gleich groß, sogar null.

Beurteilung: Die Aussage ist richtig.

Anschauliche Begründung: Legt man die beiden Pfeile Spitze an Fuß, so führen zwei Wege vom Start zum Ziel: der direkte Weg — das ist die resultierende Kraft — und der Umweg über die Zwischenspitze, dessen Länge genau \( |\vec{F}_1| + |\vec{F}_2| \) beträgt. Die direkte Verbindung ist höchstens so lang wie der Umweg. Und der Umweg ist genau dann kein Umweg, wenn beide Pfeile in dieselbe Richtung zeigen — dann sind beide Wege gleich lang.

Fachbegriff: Das ist die Dreiecksungleichung: \( |\vec{F}_1 + \vec{F}_2| \le |\vec{F}_1| + |\vec{F}_2| \).

Kontrolle an den Aufgaben: In Aufgabe 2 galt \( 23{,}8 \le 27{,}05 \), in Aufgabe 3 galt \( 2809{,}47 \le 3392{,}28 \) — und in Teilaufgabe a) stand mit \( 15 = 15 \) der Grenzfall, in dem das Gleichheitszeichen gilt.