Textaufgaben: Das Aktionsprinzip

Es kommt auf die Masse und auf die Motorkraft an, denn nach dem Aktionsprinzip gilt \( a = \frac{F}{m} \). Ein Fahrzeug beschleunigt umso stärker, je größer seine Antriebskraft und je kleiner seine Masse ist. Keine der beiden Größen entscheidet für sich allein — nur ihr Quotient.

Bezeichnungen: Das Motorrad samt Fahrer hat die Masse \(m\) und die Motorkraft \(F_{\mathrm{M}}\); der Sportwagen samt Fahrer hat dann die Masse \(4m\) und die Motorkraft \(F_{\mathrm{W}}\).

Bedingung: Der Wagen ist nur dann schneller, wenn er stärker beschleunigt:

\( a_{\mathrm{W}} > a_{\mathrm{M}} \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{F_{\mathrm{W}}}{4m} > \dfrac{F_{\mathrm{M}}}{m} \)

Multiplikation beider Seiten mit \(4m\) liefert:

\( F_{\mathrm{W}} > 4 \cdot F_{\mathrm{M}} \)

Antwort: Der Wagen muss mehr als das Vierfache der Motorkraft des Motorrads aufweisen. Genau das Vierfache reicht nicht — dann wären beide Beschleunigungen gleich groß und die Fahrzeuge blieben nebeneinander.

Das Aktionsprinzip beschreibt die idealisierte Situation mit einer konstanten resultierenden Kraft. In der Realität ist das nicht erfüllt:

• Die Motorkraft ist nicht konstant. Sie hängt von der Drehzahl und vom eingelegten Gang ab und ändert sich während der 400 m ständig.
• Es kommen weitere Kräfte hinzu, vor allem der Luftwiderstand und die Reibung. Sie wirken entgegen der Fahrtrichtung und wachsen mit der Geschwindigkeit — für die Beschleunigung zählt aber nur die resultierende Kraft.
• Die Räder müssen die Kraft erst auf die Straße bringen. Drehen sie durch, kommt von der großen Motorkraft nur ein Teil als Antriebskraft an.

Die Rechnung aus b) sagt also nur etwas über den ersten Moment nach dem Start unter idealen Bedingungen aus, nicht über das Rennen über 400 m.

Eine Waage misst nicht die Masse, sondern die Gewichtskraft, mit der ein Körper auf sie drückt. In der Schwerelosigkeit der ISS wirkt keine merkliche Gewichtskraft — die Waage zeigt für beide Dosen null an, und zwar unabhängig vom Inhalt.

Die Masse ist dagegen weiterhin vorhanden: Sie ist eine Eigenschaft des Körpers und ändert sich nicht mit dem Ort (siehe 2.1.2). Man braucht also ein Verfahren, das die Masse über etwas anderes als die Gewichtskraft sichtbar macht.

Die Astronauten lassen beide Dosen frei schweben und schnipsen sie nacheinander mit dem Finger an — jedes Mal möglichst gleich stark. Anschließend beobachten sie, wie schnell die Dosen davonfliegen.

Die Dose, die nach dem Schnipsen deutlich schneller wegfliegt, ist die leere. Die Dose, die sich nur träge in Bewegung setzt, ist die volle.

Auf beide Dosen wirkt beim Schnipsen die gleiche Kraft \(F\). Nach dem Aktionsprinzip gilt

\( a = \dfrac{F}{m} \)

Bei gleicher Kraft ist die Beschleunigung also umgekehrt proportional zur Masse. Die volle Dose hat die größere Masse und erfährt damit die kleinere Beschleunigung; die leere Dose hat die kleinere Masse und erfährt die größere Beschleunigung. Da beide Dosen gleich lange angeschnipst werden, ist die leere Dose danach schneller und legt in derselben Zeit die größere Strecke zurück.

Das Aktionsprinzip, also das zweite newtonsche Gesetz: \( F = m \cdot a \).

Aus \( F = m \cdot a \) folgt durch Division durch \(m\):

\( a = \dfrac{F}{m} \)

Bei gleicher Kraft ist die Beschleunigung umgekehrt proportional zur Masse. Die Masse eines Zuges ist um ein Vielfaches größer als die eines Sportwagens — also ist seine Beschleunigung um genau denselben Faktor kleiner. Der Sportwagen ist im Vorteil, weil er bei vergleichbarer Antriebskraft sehr viel weniger Masse zu beschleunigen hat.

Es gibt genau zwei Möglichkeiten, weil in \( a = \frac{F}{m} \) nur zwei Größen stehen:

• Der Zug müsste seine Masse auf die des Sportwagens verringern. Das ist praktisch unmöglich — ein Zug besteht im Wesentlichen aus seiner Masse.
• Oder er müsste seine Antriebskraft um genau denselben Faktor vergrößern, um den seine Masse größer ist. Ist der Zug etwa hundertmal so schwer, bräuchte er die hundertfache Antriebskraft.

In beiden Fällen bleibt der Quotient \( \frac{F}{m} \) gleich — und damit auch die Beschleunigung.

Mit \( m = 5\,\mathrm{kg} \) und \( a = \frac{F}{m} \):

\( a_1 = \dfrac{10\,\mathrm{N}}{5\,\mathrm{kg}} = 2\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)  ·  \( a_2 = \dfrac{20\,\mathrm{N}}{5\,\mathrm{kg}} = 4\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)  ·  \( a_3 = \dfrac{40\,\mathrm{N}}{5\,\mathrm{kg}} = 8\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)

Zusammenhang: Verdoppelt man die Kraft, so verdoppelt sich auch die Beschleunigung. \(a\) und \(F\) sind also proportional, geschrieben \( a \sim F \). Der Quotient \( \frac{a}{F} \) ist in allen drei Zeilen derselbe; dieser Proportionalitätsfaktor ist \( \frac{1}{m} = \frac{1}{5\,\mathrm{kg}} = 0{,}2\,\frac{1}{\mathrm{kg}} \).

Im Diagramm M2 liegen die drei Punkte \((10\,|\,2)\), \((20\,|\,4)\) und \((40\,|\,8)\) auf einer Geraden durch den Ursprung — das ist das grafische Kennzeichen der Proportionalität. Der Ursprung gehört dazu: Ohne Kraft keine Beschleunigung.

Kraft und Beschleunigung sind beide Vektoren. Der Satz sagt, dass ihre Pfeile immer in dieselbe Richtung zeigen.

Beispiel Bremsen: Ein Auto fährt nach rechts und bremst. Die Bremskraft wirkt entgegen der Fahrtrichtung, also nach links. Damit zeigt auch die Beschleunigung nach links. Rechnet man in Fahrtrichtung positiv, so ist \(a\) jetzt negativ — der Wagen wird langsamer, fährt aber weiterhin vorwärts.

Ergänzung: Wirkt die Kraft quer zur Bewegung, so ändert sich die Bewegungsrichtung, ohne dass der Körper schneller oder langsamer werden muss. Das ist die zweite der drei Kraftwirkungen aus 2.1.1.

Beurteilung: Die Aussage ist falsch.

Aus \( F = 0 \) folgt in \( F = m \cdot a \) sofort \( a = 0 \), denn die Masse ist nicht null. \( a = 0 \) bedeutet aber keine Änderung der Bewegung — nicht „keine Bewegung“. Der Körper behält seinen Bewegungszustand bei:

• Steht er still, so bleibt er stehen. Nur in diesem Sonderfall ist die Aussage zufällig richtig.
• Bewegt er sich, so fährt er mit unveränderter Geschwindigkeit geradeaus weiter.

Genau das ist das Trägheitsprinzip aus 2.3.1. Es lässt sich damit als Sonderfall des Aktionsprinzips lesen: Setzt man im Aktionsprinzip die Kraft null, so erhält man das Trägheitsprinzip.

\(a=\dfrac{180\,\mathrm N}{90\,\mathrm{kg}}=2{,}0\,\mathrm{\tfrac m{s^2}}\); \(20\,\mathrm{\tfrac{km}h}\approx5{,}56\,\mathrm{\tfrac ms}\), also \(t=\dfrac{5{,}56}{2{,}0}\,\mathrm s\approx2{,}8\,\mathrm s\).

\(m=120\,\mathrm{kg}\): \(a=\dfrac{180\,\mathrm N}{120\,\mathrm{kg}}=1{,}5\,\mathrm{\tfrac m{s^2}}\); \(t=\dfrac{5{,}56}{1{,}5}\,\mathrm s\approx3{,}7\,\mathrm s\).

Aus \(F=m\cdot a\) folgt bei gleicher Beschleunigung \(2{,}0\,\mathrm{m/s^2}\): \(F=120\,\mathrm{kg}\cdot2{,}0\,\mathrm{\tfrac m{s^2}}=240\,\mathrm N\). Die Kraft muss im selben Verhältnis wachsen wie die Masse.