Übung — AFB III

Musterlösung: α-Teilchen sind schwere, zweifach positiv geladene Heliumkerne. Sie stoßen auf ihrem Weg sehr häufig mit Hüllenelektronen zusammen und geben deshalb ihre Energie schon nach 1–10 cm Luft beziehungsweise nach Bruchteilen eines Millimeters Gewebe vollständig ab. Von außen ist das harmlos, weil die Strahlung die abgestorbene Hornschicht der Haut gar nicht durchdringt — sie erreicht keine lebende Zelle.

Genau dieselbe Eigenschaft macht α innen so gefährlich: Wird ein α-Strahler eingeatmet oder verschluckt (Inkorporation), liegt er direkt an lebendem Gewebe. Die gesamte Energie wird dann auf einer sehr kurzen Strecke abgegeben — die Ionisationsdichte ist extrem hoch, ein einziges Teilchen kann in einer Zelle sehr viele Bindungen aufbrechen, oft in derselben DNA-Region. Solche Mehrfachschäden lassen sich schlecht reparieren.

Das drückt auch der Wichtungsfaktor aus: Bei gleicher Energiedosis D gilt für α q = 20, für β und γ nur q = 1. Aus H = q · D folgt: dieselbe absorbierte Energie wirkt bei α 20-mal so stark. Merksatz: Kleine Reichweite ist außen ein Schutz und innen eine Waffe.

a) Rest = (½)³ = 1/8 = 12,5 % (das entspricht 3 · 1,2 cm = 3,6 cm Blei).

b) (½)⁶ = 1,56 %, (½)⁷ = 0,78 %. Es braucht also 7 Halbwertsdicken = 7 · 1,2 cm = 8,4 cm Blei.

c) Begründung: α-Teilchen sind Materie. Sie geben ihre Energie in vielen einzelnen Stößen ab und werden dabei abgebremst — nach einer endlichen Reichweite stehen sie still. Ist der Absorber dicker als diese Reichweite, kommt kein einziges Teilchen mehr durch: vollständige Abschirmung.

γ-Strahlung ist dagegen eine elektromagnetische Welle aus einzelnen Photonen. Ein Photon wird nicht langsam abgebremst, sondern entweder bei einer Wechselwirkung geschluckt oder es fliegt ungestört weiter. Ob es wechselwirkt, ist Zufall — deshalb sinkt die Zahl der Photonen exponentiell: N(d) = N₀ · (½)^d/d½. Eine Exponentialfunktion kommt der Null beliebig nahe, wird aber nie null. Man spricht deshalb korrekt von Schwächung, nie von vollständiger Absorption.

Prüfungsformulierung: „γ-Strahlung wird nur geschwächt, weil die Schwächung exponentiell verläuft: Jede Halbwertsdicke halbiert die Intensität, statt einen festen Betrag abzuziehen.“

Musterlösung: Die Aktivität A = N / t in Becquerel zählt ausschließlich, wie viele Kerne pro Sekunde zerfallen. Sie beschreibt also die Quelle, nicht die Wirkung. Für eine Gefährdung ist aber die Äquivalentdosis H = q · D in Sievert entscheidend — und die hängt von Größen ab, die in der Bq-Angabe gar nicht vorkommen.

Was zusätzlich nötig wäre:

• Bezugsmasse — 20 000 Bq in 1 g sind etwas völlig anderes als 20 000 Bq in 10 t. Vergleichbar wird es erst als spezifische Aktivität a = A / m in Bq/kg.
• Strahlungsart und Wichtungsfaktor q — bei α ist q = 20, bei β und γ nur q = 1. Gleiche Bq-Zahl, 20-fach unterschiedliche Wirkung.
• Energie je Zerfall — ein energiearmer Zerfall überträgt viel weniger Energie als ein energiereicher; D = E / m.
• Abstand und Aufenthaltsdauer — die Intensität fällt mit 1/r², und die Dosis wächst mit der Zeit.
• Inkorporation — bleibt der Stoff im Boden oder gelangt er über Staub, Wasser oder Nahrung in den Körper?
• Vergleichsmaßstab — der Nulleffekt und die natürliche Belastung von etwa 2,1 mSv pro Jahr. Auch ein Mensch selbst ist mit rund 4 000 Bq (vor allem K-40) „radioaktiv“.

Bewertung: Die Schlagzeile ist nicht falsch gemessen, aber unbrauchbar interpretiert. Erst eine Angabe in mSv pro Jahr im Vergleich zur natürlichen Belastung erlaubt ein Urteil. Merksatz: Becquerel beschreibt die Quelle, Sievert beschreibt den Menschen.

a) Massenzahl-Bilanz: Nur α ändert A (um −4), β⁻ lässt A unverändert. ΔA = 238 − 206 = 32, also 32 : 4 = 8 α-Zerfälle.

b) Kernladungszahl-Bilanz: 8 α senken Z um 16: 92 − 16 = 76. Tatsächlich endet die Reihe bei Z = 82. Die Differenz 82 − 76 = 6 muss durch β⁻ kommen (je +1), also 6 β⁻-Zerfälle. Probe: 8 · (−4) = −32 in A; Z: −16 + 6 = −10, und 92 − 10 = 82. Beide Bilanzen stimmen.

c) Warum Blei? Ein Kern zerfällt, solange er instabil ist. Schwere Kerne sind instabil, weil die elektrische Abstoßung aller Protonen über den ganzen Kern wirkt, die starke Kernkraft aber nur zwischen direkten Nachbarn — ab etwa Z = 83 gewinnt die Abstoßung. Die Zerfallsreihe läuft in der Nuklidkarte immer weiter nach unten links, bis sie das Stabilitätsband erreicht. Der schwerste Punkt, an dem dieses Band noch existiert, sind die Blei-Isotope mit Z = 82 (Pb-206, Pb-207, Pb-208). Dort greift kein Zerfall mehr an: Es gibt keinen energetisch günstigeren Nachbarn. Deshalb müssen alle drei natürlichen Reihen dort enden — das ist kein Zufall, sondern der einzige verfügbare Endpunkt.

d) Warum γ kein eigener Schritt ist: Beim γ-Zerfall wird kein Baustein ausgesendet, sondern nur ein Photon. Photonen haben weder Protonen- noch Neutronenzahl, also bleiben Z und A unverändert; der Kern geht lediglich von einem angeregten in einen energieärmeren Zustand über — er bleibt dasselbe Nuklid. In der Nuklidkarte bewegt man sich also gar nicht, man bleibt auf demselben Feld. Da eine Zerfallsreihe nur die Abfolge der Nuklide beschreibt, taucht γ dort nicht als Pfeil auf. γ-Strahlung begleitet aber sehr oft einen α- oder β-Zerfall, weil der Tochterkern zunächst angeregt zurückbleibt.

a) N(t) = N₀ · (½)ⁿ mit n = 2 → (½)² = ¼ = 25 %.

b) A = 0,25 · 800 Bq = 200 Bq.

c) n = 21,2 a : 5,3 a = 4 → (½)⁴ = 1/16 = 6,25 % → A = 0,0625 · 800 Bq = 50 Bq.

d) Widerlegung mit Rechnung: Nach zwei Halbwertszeiten sind nicht 100 %, sondern 25 % übrig — die Probe hat noch 200 Bq, also 200 Zerfälle pro Sekunde. Der Mitschüler hat zweimal 50 % vom Anfangswert abgezogen (linear), richtig ist zweimal Halbieren vom jeweiligen Rest (exponentiell).

Widerlegung ohne Zahlen: Die Halbwertszeit ist der Zeitraum, in dem sich der Bestand halbiert — und zwar in jedem solchen Zeitraum erneut. Die Hälfte von etwas Positivem ist immer wieder etwas Positives. Der Vorgang kommt der Null beliebig nahe, erreicht sie aber theoretisch nie. Praktisch bricht der Zerfall erst ab, wenn der letzte Kern zerfallen ist — und wann das ist, kann niemand vorhersagen, weil der einzelne Zerfall zufällig ist.

Merke: 1 T_½ → 50 %, 2 → 25 %, 3 → 12,5 %, 4 → 6,25 %, 10 → rund 0,1 %. Deshalb spricht man in der Praxis oft erst nach etwa zehn Halbwertszeiten von „abgeklungen“.

1 → B. Wären die Atome massive Kugeln, müsste fast jedes α-Teilchen abgelenkt werden. Dass die allermeisten geradeaus weiterfliegen, lässt sich nur erklären, wenn das Atom fast leer ist. Aus dem Zahlenverhältnis folgt sogar die Größenordnung: Kern etwa 10⁻¹⁴ m gegen Atom etwa 10⁻¹⁰ m — ein Faktor 10 000.

2 → C. Starke Ablenkung braucht eine kräftige abstoßende Kraft. Da α-Teilchen zweifach positiv geladen sind, muss die ablenkende Stelle ebenfalls positiv geladen und räumlich sehr klein sein — sonst wären große Winkel nicht selten, sondern häufig.

3 → A. Fast vollständige Rückstreuung ist nur an einem Stoßpartner möglich, der viel schwerer ist als das α-Teilchen. Ein leichteres Ziel würde beiseitegeschoben. Also sitzt im Zentrum praktisch die gesamte Masse des Atoms.

d) Bewertung: Nein, das folgt nicht zwingend. Der Streuversuch macht nur Aussagen über den Kern — Größe, Ladung, Masse. Über die Hülle sagt er lediglich, dass sie den α-Teilchen kaum Widerstand entgegensetzt; wie sich die Elektronen dort bewegen, bleibt völlig offen. Kreisbahnen sind eine Zusatzannahme, die Rutherford aus der Analogie zum Planetensystem übernahm. Sie wurde später von Bohr präzisiert und vom Orbitalmodell wieder verworfen: Heute beschreibt man Elektronen durch Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, nicht durch Bahnen. Merke: Ein Experiment stützt genau die Aussagen, ohne die seine Beobachtungen unerklärlich wären — nicht alles, was zum Modell passt.

a) Warum Linienspektren gelingen: Bohr nimmt an, dass Elektronen nur auf bestimmten Schalen mit diskreten Energiewerten existieren dürfen. Springt ein Elektron von einem höheren auf ein niedrigeres Niveau, wird genau die Energiedifferenz als Photon abgegeben. Da es nur endlich viele Niveaus gibt, gibt es auch nur ganz bestimmte Energiedifferenzen — und damit nur ganz bestimmte Farben. Das erklärt, warum das Spektrum aus scharfen Linien besteht und nicht aus einem durchgehenden Farbband. Für ein einzelnes Atom mit einem Elektron liefert das Modell sogar die richtigen Zahlenwerte.

b) Warum die Bindung misslingt: Bei einer chemischen Bindung gehören die Elektronen nicht mehr zu einem Kern. Sie halten sich bevorzugt im Raum zwischen beiden Kernen auf und ziehen diese dadurch zusammen. Im Bohr-Modell gibt es aber nur Kreisbahnen um genau ein Zentrum — ein Bereich zwischen zwei Kernen kommt darin gar nicht vor. Außerdem behandelt Bohr das Elektron als kleinen Punkt auf einer festen Bahn; erklären lässt sich die Bindung nur, wenn man das Elektron als Aufenthaltswahrscheinlichkeit beschreibt, die sich über beide Kerne verteilt. Genau das leistet erst das Orbitalmodell.

c) Bewertung: „Falsch“ ist die verkehrte Kategorie. Ein Modell ist eine vereinfachte Darstellung für einen bestimmten Zweck — es ist nicht wahr oder unwahr, sondern brauchbar oder unbrauchbar für eine bestimmte Frage. Für Linienspektren, Quantensprünge und den Aufbau der Schalen ist Bohr bis heute das anschaulichste Werkzeug; für Bindungen, Molekülformen und Mehrelektronenatome muss man zum Orbitalmodell wechseln. Dieselbe Logik gilt für die ganze Reihe: Dalton für Massenverhältnisse, Thomson für die Existenz des Elektrons, Rutherford für den Kern. Jedes Modell wurde nicht widerlegt, sondern in seinem Geltungsbereich begrenzt.

a) 6,4 g : 0,8 g = 8. Die Menge ist auf ein Achtel gesunken.

b) 8 = 2³, und (½)³ = 1/8 — es liegen also genau n = 3 Halbwertszeiten zwischen beiden Messungen.

c) Zeitspanne Δt = 40 d − 10 d = 30 d. Da darin 3 Halbwertszeiten stecken: T_½ = 30 d : 3 = 10 Tage.

d) Von t = 0 bis t = 10 d vergeht genau eine Halbwertszeit. Rückwärts heißt das verdoppeln: N₀ = 2 · 6,4 g = 12,8 g. Kontrolle vorwärts: 12,8 → 6,4 (10 d) → 3,2 (20 d) → 1,6 (30 d) → 0,8 (40 d). Passt.

e) Begründung: Aus N(t) = N₀ · (½)^t/T½ folgt für zwei Messzeitpunkte

N(t₁) / N(t₂) = (½)^{(t₁ − t₂)/T½}

Der unbekannte Startwert N₀ steht in Zähler und Nenner und kürzt sich weg. Im Verhältnis steckt also nur noch die Zeitdifferenz — deshalb reicht es, zwei beliebige Messwerte und ihren zeitlichen Abstand zu kennen. Das ist genau das Prinzip hinter der Altersbestimmung: Man vergleicht die heutige Menge mit einem bekannten Verhältnis, nicht mit einem gemessenen Startwert.

Achtung: t und T_½ müssen in derselben Einheit stehen. Wäre die zweite Messung nach 40 Stunden erfolgt, käme T_½ = 10 h heraus — dieselbe Rechnung, ein völlig anderer Stoff.

a) Rechnung: Mia: t / r² = 2 / 5² = 2 / 25 = 0,08. Jonas: t / r² = 10 / 100² = 10 / 10 000 = 0,001. Verhältnis: 0,08 : 0,001 = 80. Mias Vorschlag führt trotz fünfmal kürzerer Zeit zur rund 80-fachen Dosis.

b) Bewertung nach den 3 A:

• Abstand: Klarer Vorteil für Jonas. Der Abstand geht quadratisch ein: 20-facher Abstand bedeutet 400-fach geringere Intensität. Kein anderes Mittel wirkt so stark und ist so einfach umzusetzen.
• Abschirmung: Vorteil ebenfalls Jonas. Bei ihm bleibt das Präparat in der Halterung, die Bleiabschirmung wirkt weiter. Mia nimmt es heraus und hebt damit die Abschirmung genau in dem Moment auf, in dem gearbeitet wird.
• Aufenthaltsdauer: Einziger Vorteil für Mia — 2 statt 10 Minuten. Da die Zeit aber nur linear eingeht, gleicht Faktor 5 den Abstandsfaktor 400 bei Weitem nicht aus.

Entscheidung: Jonas' Vorschlag ist deutlich besser. Er gewinnt bei zwei der drei A, und zwar bei denen, die stärker wirken. Sein Nachteil bei der Zeit ist um den Faktor 80 kleiner als sein Gewinn beim Abstand.

c) Was beide übersehen: die Inkorporation und den Umgang danach. Ein Präparat gehört niemals in die bloße Hand — auch nicht kurz: Bei einer beschädigten Umhüllung könnten Partikel an der Haut haften, verschluckt oder eingeatmet werden, und dann helfen weder Abstand noch Abschirmung. Ebenfalls ungenannt bleiben: Hände waschen, nichts essen oder trinken im Raum, das Präparat sofort zurück in die Kapsel, den Nulleffekt vorher messen und in Deutschland ohnehin die Vorschrift, dass nur die Lehrkraft das Präparat handhabt.

Merksatz: Abstand ist der billigste Strahlenschutz — und wegen 1/r² auch der wirksamste.

a) a_A = A / m = 4 800 Bq : 0,040 kg = 120 000 Bq/kg

b) a_B = 28 800 Bq : 0,960 kg = 30 000 Bq/kg

c) Gesamtaktivität 4 800 Bq + 28 800 Bq = 33 600 Bq; Gesamtmasse 0,040 kg + 0,960 kg = 1,000 kg. Also a = 33 600 Bq : 1,000 kg = 33 600 Bq/kg.

d) Bewertung von Leas Aussage: Leas Rechnung ist rechnerisch richtig, ihre Schlussfolgerung aber falsch. Sie vergleicht zwei Aktivitäten, ohne die Massen zu beachten — und die unterscheiden sich um den Faktor 24. Bezogen auf dieselbe Masse ist Probe A viermal stärker belastet als B (120 000 gegen 30 000 Bq/kg). Genau umgekehrt zu Leas Urteil. Vergleichen darf man nur die spezifische Aktivität a = A / m; die reine Bq-Zahl sagt nur, wie viel Material man in den Zähler gelegt hat.

e) Warum auch das Mitteln falsch ist: Ein einfacher Mittelwert unterstellt, dass beide Proben gleich viel Masse beitragen. Hier stellt B aber 96 % der Gesamtmasse — das Ergebnis muss also viel näher bei 30 000 als bei 120 000 liegen. Richtig ist der massegewichtete Weg: erst die Aktivitäten addieren (das darf man, sie zählen Zerfälle), dann durch die Gesamtmasse teilen. So kommt man auf 33 600 Bq/kg — und nicht auf 75 000 Bq/kg, was um mehr als das Doppelte danebenliegt.

Was du daraus mitnimmst: Vor jedem Vergleich prüfen, ob die Größen wirklich vergleichbar sind. Bq ist eine absolute Angabe, Bq/kg eine bezogene. Denselben Fehler macht man, wenn man Impulsraten zweier Messungen ohne Abzug des Nulleffekts vergleicht oder Gray und Sievert gleichsetzt.