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Übung — AFB II

Zehn Aufgaben, bei denen ein einzelner Messwert nicht reicht: Nulleffekt abziehen, Formeln umstellen, Größen vergleichen — und aus dem Ergebnis eine Aussage machen.
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Aufgabenblock — AFB II

10 Aufgaben aus dem gesamten Kapitel — von der Messung über Aktivität, Dosis und Zerfallsgleichungen bis zur Halbwertszeit. Jede Aufgabe braucht mehrere Schritte: erst die Größe bestimmen, die gefragt ist, dann rechnen, dann die Aussage formulieren. Bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps — nutze sie der Reihe nach.

A1
Bodenprobe im Zählrohr — vom Impuls zur Aktivität
AFB II

Ein Geiger-Müller-Zählrohr misst eine Bodenprobe: 1500 Impulse in 60 s. Danach wird die Probe entfernt und der Untergrund allein gemessen: 180 Impulse in 180 s.

Nimm an, dass das Zählrohr jeden Zerfall der Probe erfasst.

a) Wie groß ist die gemessene Impulsrate? b) Wie groß ist der Nulleffekt? c) Welche Aktivität hat die Probe?

Impulse/s
Impulse/s
Bq
Achtung: Eine Impulsrate ist noch keine Aktivität. Das Zählrohr zählt auch Impulse, wenn gar keine Probe da ist — das ist der Nulleffekt (Höhenstrahlung, Radon, Baustoffe). Der muss abgezogen werden.
Ansatz: Beide Raten getrennt ausrechnen, jeweils Impulse geteilt durch Zeit — die Messzeiten sind verschieden! Dann: echte Zählrate = Messrate − Nulleffekt. Weil jeder Zerfall gezählt wird, ist A = echte Zählrate, Einheit Bq.
Rechenweg: 1500 : 60 = 25 Impulse/s. 180 : 180 = 1 Impuls/s. 25 − 1 = 24 Impulse/s → A = 24 Bq.
Lösung: a) 25 Impulse/s, b) 1 Impuls/s, c) A = 24 Bq.
Vollständige Lösung
a) Messrate: 1500 Impulse : 60 s = 25 Impulse/s. b) Nulleffekt: 180 Impulse : 180 s = 1 Impuls/s — die längere Messzeit macht diesen Wert genauer, nicht größer. c) Echte Zählrate: 25 − 1 = 24 Impulse/s. Da das Zählrohr jeden Zerfall erfasst, entspricht das der Aktivität: A = 24 Bq (24 Zerfälle pro Sekunde). Merke: Ohne Abzug des Nulleffekts wärst du bei 25 Bq gelandet — ein Fehler von gut 4 %. Bei schwachen Proben kann der Nulleffekt sogar größer sein als das Signal.
25 /s 1 /s 24 Bq Messung Nulleffekt echt Messung − Nulleffekt = Aktivität
Impulsrate ist nicht Aktivität
A2
Rückwärts gerechnet — wie schwer ist die Probe?
AFB II

Für getrocknete Waldpilze aus einem bestimmten Gebiet gibt ein Labor die spezifische Aktivität a = 250 Bq/kg an. Eine Tüte dieser Pilze zeigt im Messgerät eine Aktivität von A = 400 Bq.

a) Welche Masse hat der Inhalt der Tüte? b) Welche Aktivität hätte ein Beutel mit 5 kg derselben Pilze?

kg
Bq
Ansatz: Es gilt a = A / m. Gesucht ist einmal m, einmal A — du musst die Formel also in beide Richtungen umstellen.
Umstellen: Aus a = A / m folgt m = A / a und A = a · m. Kontrolle über die Einheiten: Bq ÷ (Bq/kg) = kg. Passt.
Rechenweg: m = 400 Bq ÷ 250 Bq/kg = 1,6 kg. A = 250 Bq/kg · 5 kg = 1250 Bq.
Lösung: a) m = 1,6 kg. b) A = 1250 Bq.
Vollständige Lösung
a) m = A / a = 400 Bq ÷ 250 Bq/kg = 1,6 kg. b) A = a · m = 250 Bq/kg · 5 kg = 1250 Bq. Beachte: Die spezifische Aktivität a ist eine Eigenschaft des Materials und bleibt gleich, egal wie viel du davon hast. Die Aktivität A dagegen wächst mit der Menge — deshalb sagt ein einzelner Bq-Wert ohne Massenangabe fast nichts aus.
gemessen A = 400 Bq Labor-Angabe a = 250 Bq/kg m = A / a Bq ÷ (Bq/kg) = kg Einheiten sind die beste Kontrolle
Formel in beide Richtungen
A3
Grenzwert-Entscheidung — welche Probe darf verkauft werden?
AFB II

Für Cäsium-137 in Lebensmitteln gilt ein Grenzwert von 300 Bq/kg. Zwei Proben werden gemessen:

Probe 1 — Wildpilze, m = 4 kg, A = 1080 Bq
Probe 2 — Wildschweinfleisch, m = 0,5 kg, A = 160 Bq

a) und b) Berechne für beide Proben die spezifische Aktivität. c) Entscheide, welche Probe verkauft werden darf.

Bq/kg
Bq/kg
Vorsicht: Der Grenzwert ist in Bq pro kg angegeben. Probe 1 hat zwar die viel größere Aktivität — aber auch viel mehr Masse. Vergleiche also nie die reinen Bq-Werte miteinander.
Ansatz: a = A / m für jede Probe einzeln ausrechnen und dann jeden Wert mit 300 Bq/kg vergleichen.
Rechenweg: Probe 1: 1080 Bq ÷ 4 kg = 270 Bq/kg → unter 300. Probe 2: 160 Bq ÷ 0,5 kg = 320 Bq/kg → über 300.
Lösung: a) 270 Bq/kg, b) 320 Bq/kg, c) nur Probe 1 darf verkauft werden.
Vollständige Lösung
Probe 1: a = 1080 Bq ÷ 4 kg = 270 Bq/kg — unter dem Grenzwert, also verkehrsfähig. Probe 2: a = 160 Bq ÷ 0,5 kg = 320 Bq/kg — über dem Grenzwert, darf nicht verkauft werden. Das Erstaunliche: Probe 1 hat mit 1080 Bq fast die siebenfache Aktivität von Probe 2 (160 Bq) — und ist trotzdem die zulässige. Entscheidend ist immer die Aktivität pro Kilogramm, denn nur die sagt etwas darüber aus, wie stark eine Portion belastet ist, die jemand tatsächlich isst. Achte auf 0,5 kg: durch eine Zahl kleiner als 1 zu teilen macht das Ergebnis größer.
Grenzwert 300 Bq/kg 270 320 Probe 1 · 4 kg Probe 2 · 0,5 kg 1080 Bq 160 Bq spezifische Aktivität in Bq/kg
Erst teilen, dann vergleichen
A4
Gleiche Energie, ganz andere Wirkung
AFB II

Ein Gewebestück nimmt die Energiedosis D = 2 mGy auf. Wichtungsfaktoren: γ-Strahlung q = 1, α-Strahlung q = 20.

a) Welche Äquivalentdosis H ergibt sich bei γ-Strahlung? b) Welche bei α-Strahlung?

Nun wird dieselbe Energie E = 1,4 J zweimal verschieden verteilt:

c) auf den ganzen Körper eines Menschen mit 70 kg — welche Energiedosis D? d) auf nur 0,02 kg Lungengewebe rund um ein eingeatmetes Staubkorn — welche Energiedosis D?

mSv
mSv
mGy
Gy
Die zwei Formeln: H = q · D (Äquivalentdosis, Einheit Sievert) und D = E / m (Energiedosis, Einheit Gray = J/kg). Gray sagt, wie viel Energie ankommt; Sievert sagt, wie schädlich das für Gewebe ist.
Teil a und b: Die Energiedosis ist beide Male gleich (2 mGy). Nur q ändert sich: 1 · 2 = 2 und 20 · 2 = 40. Aus mGy wird dabei mSv.
Teil c und d: D = E / m. c) 1,4 J ÷ 70 kg = 0,02 Gy = 20 mGy. d) 1,4 J ÷ 0,02 kg = 70 Gy. Dieselbe Energie, 3500-fache Dosis.
Lösung: a) 2 mSv, b) 40 mSv, c) 20 mGy (= 0,02 Gy), d) 70 Gy.
Vollständige Lösung
a) H = q · D = 1 · 2 mGy = 2 mSv. b) H = 20 · 2 mGy = 40 mSv — dieselbe Energiedosis, aber zwanzigmal so schädlich, weil α-Teilchen ihre Energie auf sehr kurzer Strecke abgeben und dabei dicht an dicht ionisieren. c) D = E / m = 1,4 J ÷ 70 kg = 0,02 Gy = 20 mGy. d) D = 1,4 J ÷ 0,02 kg = 70 Gy — das ist weit über der tödlichen Ganzkörperdosis von etwa 4 Sv, hier aber lokal begrenzt. Das ist der Grund, warum α-Strahler außerhalb des Körpers harmlos sind (ein Blatt Papier reicht), eingeatmet oder verschluckt aber gefährlich: Die ganze Energie geht in wenige Gramm Gewebe.
D = 2 mGy — zweimal dasselbe 2 mSv 40 mSv γ · q = 1 α · q = 20 Gray misst Energie, Sievert misst Wirkung
H = q · D
A5
Rutherfords Streuversuch — Größenordnungen deuten
AFB II

Rutherford schoss α-Teilchen auf eine dünne Goldfolie. Fast alle gingen ungestört hindurch, nur sehr wenige wurden stark abgelenkt. Aus den Messungen folgte: Ein Atomkern hat einen Durchmesser von etwa 10−14 m, das ganze Atom etwa 10−10 m.

a) Um welchen Faktor ist das Atom größer als sein Kern? b) Stell dir den Kern als Stecknadelkopf mit 1 mm Durchmesser vor — wie groß wäre dann das Atom (in m)? c) Welche Deutung folgt daraus?

m
Ansatz: Der Faktor ist der Quotient der beiden Durchmesser. Bei Zehnerpotenzen heißt Teilen: Exponenten subtrahieren.
Rechenweg a: 10−10 m ÷ 10−14 m = 10−10−(−14) = 104 = 10 000.
Rechenweg b: Das Modell muss denselben Faktor haben: 1 mm · 10 000 = 10 000 mm = 10 m. Also ein Stecknadelkopf in der Mitte eines Raums von 10 m Länge.
Lösung: a) Faktor 10 000. b) 10 m. c) Das Atom ist fast leer; nur ein winziger, massereicher Kern lenkt ab.
Vollständige Lösung
a) 10−10 ÷ 10−14 = 104 = 10 000. b) 1 mm · 10 000 = 10 000 mm = 10 m. Ein Stecknadelkopf in der Mitte eines Klassenzimmers — und dazwischen nichts als leerer Raum. c) Genau das erklärt die Messung: Weil der Kern gemessen am Atom so winzig ist, treffen fast alle α-Teilchen auf leeren Raum und fliegen geradeaus weiter. Nur die wenigen, die einem Kern sehr nahe kommen, werden von seiner positiven Ladung stark abgelenkt — manche sogar zurück. Falsch wäre: die Ablenkung den Elektronen zuzuschreiben. Sie sind rund 7200-mal leichter als ein α-Teilchen und können es nicht nennenswert aus der Bahn werfen.
Goldfolie Kern (+) α-Teilchen von links fast alle geradeaus
Kern : Atom = 1 : 10 000
A6
Zerfallsreihe — wo endet Uran-238?
AFB II

Die Uran-Radium-Reihe startet bei 23892U. Auf dem Weg zum stabilen Endkern finden insgesamt 8 α-Zerfälle und 6 β−-Zerfälle statt — in wechselnder Reihenfolge.

Bestimme den Endkern, ohne die Reihe Schritt für Schritt zu verfolgen.

Die zwei Regeln: α-Zerfall: A wird um 4 kleiner, Z um 2 kleiner. β−-Zerfall: A bleibt gleich, Z wird um 1 größer (ein Neutron wird zum Proton).
Trick: Die Reihenfolge ist egal — zähle einfach alle Änderungen zusammen. A: nur die α-Zerfälle zählen (8 · 4). Z: erst 8 · 2 abziehen, dann 6 · 1 addieren.
Rechenweg: A = 238 − 8·4 = 238 − 32 = 206. Z = 92 − 8·2 + 6·1 = 92 − 16 + 6 = 82. N = A − Z = 206 − 82 = 124.
Lösung: A = 206, Z = 82, N = 124 — der Endkern ist 20682Pb, also Blei-206.
Vollständige Lösung
A = 238 − 8·4 = 206 (β−-Zerfälle ändern A nicht). Z = 92 − 8·2 + 6·1 = 92 − 16 + 6 = 82. N = A − Z = 206 − 82 = 124. Z = 82 gehört zu Blei, der Endkern ist also 20682Pb. Passt zur Theorie: Alle drei natürlichen Zerfallsreihen enden bei einem Blei-Isotop (Pb-206, Pb-207 oder Pb-208), weil erst dort ein stabiles Verhältnis von Protonen und Neutronen erreicht ist. Typischer Fehler: bei β− das Z zu verkleinern — dann käme Z = 70 heraus, ein Element, das in keiner Zerfallsreihe vorkommt.
U-238 Z = 92 8 × α A −32 · Z −16 6 × β⁻ A ±0 · Z +6 Endkern: A = 206 · Z = 82 Reihenfolge egal — nur die Bilanz zählt
Bilanz statt Schritt für Schritt
A7
Zerfallsgleichungen vervollständigen
AFB II

In beiden Gleichungen fehlt ein Teil. Ergänze ihn so, dass die Probe stimmt: Die Summen oben (Nukleonenzahlen) und unten (Kernladungszahlen) müssen links und rechts gleich sein.

(1) 22688Ra → ? + 42He
(2) 21482Pb → 21483Bi + ?

a) und b) Bestimme A und Z des gesuchten Kerns in Gleichung (1). c) Welches Teilchen fehlt in Gleichung (2)?

Ansatz: Behandle die Gleichung wie eine Bilanz. Gleichung (1): oben 226 = A + 4, unten 88 = Z + 2. Löse beide kleinen Gleichungen nach A bzw. Z auf.
Gleichung (2): Vergleiche die beiden Kerne. A bleibt bei 214, Z steigt von 82 auf 83. Welcher Zerfall lässt A gleich und erhöht Z um 1?
Rechenweg: (1) A = 226 − 4 = 222, Z = 88 − 2 = 86 → 22286Rn, also Radon-222. (2) A gleich, Z + 1 → ein β−-Teilchen, also ein Elektron (dazu ein Antineutrino).
Lösung: a) A = 222, b) Z = 86 (Radon-222), c) ein β−-Teilchen (Elektron).
Vollständige Lösung
(1) Oben: 226 = A + 4 → A = 222. Unten: 88 = Z + 2 → Z = 86. Also 22688Ra → 22286Rn + 42He. Probe: oben 226 = 222 + 4 ✓, unten 88 = 86 + 2 ✓. (2) A bleibt 214, Z steigt um 1 — das ist der β−-Zerfall: Im Kern wird ein Neutron zu einem Proton, das entstehende Elektron verlässt den Kern (zusammen mit einem Antineutrino). Probe: oben 214 = 214 + 0 ✓, unten 82 = 83 + (−1) ✓ — das Elektron trägt die Ladungszahl −1, deshalb geht die Bilanz auf. Typischer Fehler: γ-Strahlung anzukreuzen — dabei ändern sich weder A noch Z, der Kern gibt nur Energie ab.
Die Probe: zwei Summen oben — Nukleonenzahlen 226 = 222 + 4 unten — Kernladungszahlen 88 = 86 + 2 Stimmt eine Summe nicht, ist die Gleichung falsch.
Probe oben und unten
A8
Wie lange lag das Präparat im Schrank?
AFB II

Ein Jod-131-Präparat hatte bei der Lieferung die Aktivität A(0) = 800 MBq. Heute misst man nur noch A(t) = 50 MBq. Die Halbwertszeit von Jod-131 beträgt T½ = 8 Tage.

a) Auf welchen Bruchteil ist die Aktivität gesunken — gib den Faktor an, durch den sie kleiner geworden ist. b) Wie vielen Halbwertszeiten entspricht das? c) Wie viele Tage sind seit der Lieferung vergangen?

Tage
Ansatz: Nach jeder Halbwertszeit ist nur noch die Hälfte übrig. Halbieren, halbieren, halbieren … bis du bei 50 MBq bist, und dabei mitzählen.
Kette: 800 → 400 → 200 → 100 → 50 MBq. Zähle die Pfeile, nicht die Zahlen.
Rechenweg: 800 ÷ 50 = 16. Wegen 24 = 16 sind das 4 Halbwertszeiten. t = 4 · 8 d = 32 Tage.
Lösung: a) Faktor 16, b) 4 Halbwertszeiten, c) t = 32 Tage.
Vollständige Lösung
a) 800 MBq ÷ 50 MBq = 16, es ist also nur noch ein Sechzehntel übrig. b) Gesucht ist n mit (½)n = 1/16, also 2n = 16 → n = 4. Die Halbierungskette bestätigt das: 800 → 400 → 200 → 100 → 50, das sind vier Schritte. c) t = n · T½ = 4 · 8 d = 32 Tage. Typischer Fehler: zu denken, nach zwei Halbwertszeiten sei alles weg. Der Zerfall ist nicht linear — nach 4 T½ sind noch 6,25 % da, nach 10 T½ immer noch etwa 0,1 %.
800 400 200 100 50 0 d 8 d 16 d 24 d 32 d Aktivität in MBq · T½ = 8 d
Vier Halbierungen
A9
Zerfallsgesetz — mit der Formel statt mit der Kette
AFB II

Ein Präparat mit der Halbwertszeit T½ = 20 s hat zu Beginn die Masse N(0) = 10 g radioaktiven Materials. Rechne mit dem Zerfallsgesetz in zwei Schritten: erst den Faktor a = 2−1/T½, dann N(t) = N(0) · at.

a) Berechne a (auf vier Nachkommastellen). b) Wie viel ist nach t = 60 s noch übrig? c) Wie viel Prozent der Anfangsmenge sind das?

g
%
Schritt 1: a = 2−1/20. Am Taschenrechner: 2, dann die Potenztaste (xy oder ^), dann −1 ÷ 20 = −0,05. Ergebnis: 0,9659…
Wichtig: t und T½ müssen dieselbe Einheit haben — hier beides Sekunden. In N(t) = N(0) · at setzt du t = 60 ein, nicht 1 min.
Rechenweg: a = 2−0,05 ≈ 0,965936. N(60) = 10 g · 0,96593660 = 10 g · 0,125 = 1,25 g. Anteil: 1,25 g ÷ 10 g = 0,125 = 12,5 %.
Kontrolle: 60 s sind genau 3 Halbwertszeiten: 10 → 5 → 2,5 → 1,25 g. Passt. Lösung: a ≈ 0,9659, N(60 s) = 1,25 g, das sind 12,5 %.
Vollständige Lösung
a) a = 2−1/20 = 2−0,05 ≈ 0,965936. Dieser Faktor sagt: Pro Sekunde bleiben rund 96,6 % übrig. b) N(60 s) = 10 g · 0,96593660 ≈ 10 g · 0,125 = 1,25 g. c) 1,25 g von 10 g sind 12,5 %. Kontrolle über die Halbwertszeiten: 60 s ÷ 20 s = 3 Halbwertszeiten, also (½)3 = 1/8 = 12,5 % — dieselbe Antwort. Wozu dann die Formel? Weil sie auch für krumme Zeiten funktioniert: Für t = 45 s hilft die Halbierungskette nicht mehr weiter, die Formel schon.
10 g 5 g 2,5 g 1,25 g 0 s 20 s 40 s 60 s N(t) = N(0) · a hoch t
Immer dasselbe Verhältnis
A10
Mix-Aufgabe — Prüfstrahler über die Jahre
AFB II

Ein Prüfstrahler für den Physikunterricht wiegt m = 8 g und hat heute die Aktivität A = 1600 kBq. Die Halbwertszeit des enthaltenen Nuklids beträgt T½ = 5 Jahre.

a) Wie groß ist die spezifische Aktivität heute? b) Welche Aktivität hat der Strahler in 20 Jahren? c) Wie viele Zerfälle finden dann in einer Minute statt? Gib die Antwort in Millionen an.

kBq/g
kBq
Millionen
Überblick: Diese Aufgabe braucht drei Bausteine aus verschiedenen Kapiteln: a = A/m (spezifische Aktivität), die Halbwertszeit (halbieren) und A = N/t (Aktivität als Zerfälle pro Sekunde).
Teil b: 20 Jahre ÷ 5 Jahre = 4 Halbwertszeiten. Also viermal halbieren: 1600 → 800 → 400 → 200 → 100.
Teil c: Stelle A = N/t nach N um: N = A · t. Aber Vorsicht mit den Einheiten — 100 kBq sind 100 000 Zerfälle pro Sekunde, und eine Minute hat 60 s.
Lösung: a) 200 kBq/g. b) 100 kBq. c) 100 000 · 60 = 6 000 000, also 6 Millionen Zerfälle pro Minute.
Vollständige Lösung
a) a = A / m = 1600 kBq ÷ 8 g = 200 kBq/g. b) 20 a ÷ 5 a = 4 Halbwertszeiten → A = 1600 kBq · (½)4 = 1600 ÷ 16 = 100 kBq. c) 100 kBq = 100 000 Bq = 100 000 Zerfälle pro Sekunde. Aus A = N/t folgt N = A · t = 100 000 · 60 s = 6 000 000 = 6 Millionen Zerfälle pro Minute. Zum Nachdenken: Sechs Millionen Zerfälle klingen bedrohlich viel — aber ein erwachsener Mensch hat allein durch das Kalium-40 in seinem Körper eine Aktivität von etwa 4000 Bq, also rund 240 000 Zerfälle pro Minute. Große Zahlen sind bei Aktivitäten normal; entscheidend ist immer, welche Dosis daraus im Gewebe ankommt.
heute 1600 kBq bei m = 8 g in 20 Jahren 100 kBq 4 × halbiert drei Kapitel in einer Aufgabe a = A/m · T½ · N = A · t Erst überlegen, welches Werkzeug zu welcher Teilfrage passt.
Interleaving: gemischte Werkzeuge
2

Prüfstand — Absorber und Abstand

Zwei der drei Schutzmaßnahmen lassen sich hier untersuchen: Abschirmung und Abstand. Die Anzeige rechnet mit demselben Modell, das auch hinter den Aufgaben steckt — inklusive Nulleffekt von 2 Impulsen pro Sekunde.

Strahlungs-Prüfstand

Quelle, Absorber und Abstand bestimmen gemeinsam die gemessene Zählrate.

Quelle kein Absorber Zählrohr Abstand
Quelle
Absorber
Abstand Quelle – Zählrohr
– Impulse/s bei 4 cm
Beobachtungsauftrag — drei Fragen zum Prüfstand

1. Unbekannte Quelle, nacheinander Papier, Alu und Blei als Absorber (Abstand 4 cm): Nach dem Papier verschwindet der α-Anteil vollständig, nach dem Alu zusätzlich der β-Anteil, und hinter 2 cm Blei bleibt trotzdem noch ein Rest: γ-Strahlung wird nur geschwächt, nie ganz absorbiert. Genau so bestimmt man im Labor, welche Strahlungsarten eine Quelle aussendet.

2. Bei „nur α“ von 4 cm auf 8 cm Abstand: Die Zählrate fällt auf den Nulleffekt — schon Luft absorbiert α-Strahlung nach wenigen Zentimetern. Deshalb ist ein α-Strahler von außen harmlos, im Körper aber gefährlich.

3. Bei „nur γ“ ohne Absorber im Vergleich 4 cm, 8 cm und 12 cm: Bei doppeltem Abstand bleibt etwa ein Viertel übrig, bei dreifachem etwa ein Neuntel: das Abstandsgesetz 1/r². Abstand ist die einfachste und billigste Schutzmaßnahme — deshalb steht sie in der Regel „Abstand, Abschirmung, Aufenthaltsdauer“ an erster Stelle.

Reflexion — bevor du weitergehst

Drei Fragen zum Nachdenken — antworte für dich selbst.

  • 1. Größe erkennen:In A1, A3 und A4 stand die gesuchte Größe nicht im Text. Woran hast du erkannt, ob eine Aufgabe nach Bq, Bq/kg, Gy oder Sv fragt — und woran erkennst du es beim nächsten Mal schneller?
  • 2. Umstellen:A2, A6 und A10 verlangten, eine bekannte Formel rückwärts zu benutzen. Fällt dir das Umstellen leichter, wenn du zuerst die Einheiten hinschreibst? Probiere es bei der nächsten Aufgabe bewusst aus.
  • 3. Aussage statt Zahl:Bei A3 und A5 war die Zahl nur ein Zwischenschritt — gefragt war eine Entscheidung bzw. eine Deutung. Bei welcher der beiden ist dir der Schritt von der Zahl zur Aussage schwerer gefallen, und warum?
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