Von Eigenschaften zu Bedingungen
Jede Eigenschaft des Graphen wird zu einer Gleichung für f, f′ oder f″ an einer festen Stelle — der Grad des Ansatzes legt fest, wie viele davon nötig sind.
Lokal und global
Lokal: Punkt, Nullstelle, Hoch-, Tief-, Wende- und Sattelpunkt, Steigung an einer Stelle. Global: Grad, Symmetrie und Verhalten für x → ±∞. Grad n: höchstens n Nullstellen, n − 1 Extrem- und n − 2 Wendestellen.
Übersetzen
Die Höhe gehört zu f, jede Steigung zu f′, eine Wendestelle zu f″. Extrem- und Wendepunkte mit Koordinaten liefern zwei Gleichungen.
Sachkontext
Koordinatensystem selbst legen: Ursprung an eine markante Stelle, Einheit notieren. Prozent und Winkel über m umrechnen.
Ansatz und Anzahl
Grad n hat n + 1 Koeffizienten. Symmetrie verkleinert den Ansatz (achsensymmetrisch Grad 4, punktsymmetrisch Grad 3), statt eine Gleichung zu liefern.
Grad n ⟷ n + 1 Bedingungen
Vier unabhängige Bedingungen legen eine Funktion dritten Grades fest. Doppelte Informationen zählen nicht: „Hochpunkt H(1 | 3)“ und „Graph durch (1 | 3)“ liefern f(1) = 3 nur einmal.
Lineare Gleichungssysteme lösen
Die Bedingungen ergeben ein LGS in a, b, c, d. Kleine Systeme löst du von Hand mit dem Gauß-Verfahren, größere mit GTR oder CAS.
Gauß-Verfahren
Erlaubt: Gleichungen tauschen, mit einer Zahl ≠ 0 multiplizieren, Vielfache addieren. Ziel ist die Stufenform, dann rückwärts einsetzen.
Lösungsvielfalt
Die unterste Zeile der Stufenform entscheidet. 0 = 0: eine Unbekannte ist frei. 0 = 5: Widerspruch.
Casio fx-CG50
Menü Gleichung, dann Anzahl der Unbekannten; fehlende Unbekannte als 0 eingeben. Ausgaben: No Solution bzw. Infinitely Many Solutions.
TI-Nspire CX CAS
Befehl im Calculator oder menu › 3: Algebra › 7: Gleichungssystem lösen. Parameter c1 steht für eine beliebige Zahl.
Probe in den Ausgangsgleichungen
Eine krumme Zahl oder ein unerwartetes 0 = 5 entsteht oft durch einen Rechenfehler. Setze die Lösung in alle ursprünglichen Gleichungen ein, bevor du deutest.
Funktionsterme ermitteln und anpassen
Der Weg ist immer derselbe: Ansatz, Bedingungen, LGS, lösen, Term angeben — und am Ende die Probe im Sachzusammenhang.
Fünf Schritte
Grad wählen, Bedingungen notieren, einsetzen, lösen, Term angeben. Danach Probe: alle Bedingungen und die Art der Extrempunkte mit f″ prüfen.
Parameter anpassen
Bei einer Schar wie fₐ(x) = a · x · (x − 5) bleibt nur a offen: eine Bedingung einsetzen und nach a auflösen.
Trassierung
An jeder Nahtstelle gleiche Höhe (sprungfrei) und gleiche Steigung (knickfrei). Zwei Enden mit Punkt und Steigung → Grad 3.
Regression
Viele Messpunkte: Die Ausgleichskurve geht meist durch keinen, macht aber die Summe der Abweichungsquadrate minimal. GTR: STAT, F2 (CALC) › F3 (REG).
Nur im passenden Bereich deuten
Ein Übergangsbogen gilt nur zwischen den Nahtstellen, eine Regressionskurve nur im Messbereich. Außerhalb liefern die Terme oft unsinnige Werte.
Die Regeln, an denen die Punkte hängen
Die meisten Punkte gehen nicht beim Rechnen verloren, sondern beim Aufstellen der Bedingungen und beim Deuten des Ergebnisses.
Skizze und Koordinatensystem zuerst
Zeichne die Situation, lege Ursprung und Einheit fest und schreibe an jede markante Stelle Punkt und Steigung. Erst dann Ansatz und Ableitungen notieren.
Jede Bedingung mit Begründung
Schreibe neben jede Gleichung, woher sie kommt: „H(1 | 4) liegt auf dem Graphen“, „waagerechte Tangente im Hochpunkt“. So fallen fehlende oder doppelte Bedingungen auf, und die Korrektur kann jeden Schritt nachvollziehen.
Ungerundet weiterrechnen, am Ende deuten
Koeffizienten aus GTR oder CAS mit COPY bzw. vier gültigen Ziffern übernehmen. Das Ergebnis mit Antwortsatz und Einheit angeben und prüfen, ob es zur Situation passt.