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Übung — AFB I (Reproduzieren)

Zehn Grundaufgaben von der Bedingung bis zum Gleichungssystem — wer sie sicher löst, hat die ersten Punkte der Klausur schon.

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Regel kennen, einsetzen, ausrechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur — von der Eigenschaft des Graphen über das LGS bis zur Regressionskurve.

A1
Extremstellen und Grad
AFB I

Gib an, wie viele Extremstellen eine ganzrationale Funktion vom Grad 5 höchstens haben kann.

Extremstellen
Grad n: höchstens n Nullstellen, n − 1 Extremstellen und n − 2 Wendestellen.
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Grad 5: höchstens 5 − 1 = 4 Extremstellen, also = 4
A2
Tiefpunkt am Graphen
AFB I

Die Abbildung zeigt den Graphen von f mit f(x) = x³ − 3x + 1. Lies die y-Koordinate des Tiefpunkts ab.

Tiefpunkt: An der tiefsten Stelle einer „Mulde“ wechselt der Graph von fallend zu steigend.
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Die Mulde liegt bei x = 1; zur Kontrolle: f(1) = 1 − 3 + 1 = −1. Also yT = −1
−2−112−3−2−112345xyf
Graph von f mit f(x) = x³ − 3x + 1
A3
Punktbedingung einsetzen
AFB I

Der Ansatz ist f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Stelle zur Bedingung f(−2) = 5 die lineare Gleichung auf. Welche Zahl steht vor a?

Einsetzen: x-Wert in Klammern einsetzen: a · (−2)³ + b · (−2)² + c · (−2) + d = 5.
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a · (−8) + b · 4 + c · (−2) + d = 5, also −8a + 4b − 2c + d = 5. Der Faktor vor a ist = −8
A4
Ansatz bei Symmetrie
AFB I

Ein Graph vom Grad 4 ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Nenne die Anzahl der Bedingungen, die den Funktionsterm festlegen.

Bedingungen
Achsensymmetrie: Nur gerade Exponenten bleiben im Ansatz stehen.
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Ansatz f(x) = ax⁴ + bx² + c hat drei Koeffizienten, also braucht man drei Bedingungen. Anzahl = 3
A5
Steigung aus einem Winkel
AFB I

Ein Förderband ist um 35° gegen die Waagerechte geneigt. Berechne die Steigung m auf zwei Nachkommastellen.

Neigungswinkel: m = tan α (Rechner im Gradmaß, DEG).
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m = tan 35° ≈ 0,7002, gerundet m = 0,70
A6
Ein 2×2-System
AFB I

Löse das LGS I: a + b = 5 und II: 3a − b = 7. Welchen Wert hat a?

Addieren: I + II lässt b wegfallen.
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I + II: 4a = 12, also a = 3 (und b = 2). Probe: 3 · 3 − 2 = 7 ✓. a = 3
A7
Rückwärts einsetzen
AFB I

Ein LGS hat bereits Stufenform: I: a + 2b − c = 3, II: b + 2c = 7, III: 3c = 9. Bestimme a.

Stufenform: Unten beginnen: erst c aus III, dann b aus II, zuletzt a aus I.
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c = 3; b = 7 − 6 = 1; a = 3 − 2 · 1 + 3 = 4, also a = 4
A8
Unendlich viele Lösungen
AFB I

Gegeben ist das LGS I: 2a + 3b = 4 und II: 4a + 6b = k. Ermittle den Wert von k, für den es unendlich viele Lösungen gibt.

Identische Geraden: Die linke Seite von II ist das Doppelte der linken Seite von I.
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II − 2 · I: 0 = k − 8. Unendlich viele Lösungen gibt es nur bei 0 = 0, also k = 8
A9
Anschluss an eine Gerade
AFB I

Ein Übergangsbogen f soll an der Stelle x = 3 sprungfrei und knickfrei an die Gerade g(x) = 2x − 1 anschließen. Welchen Wert muss f(3) haben?

Sprungfrei: An der Nahtstelle gilt f(x₀) = g(x₀).
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f(3) = g(3) = 2 · 3 − 1 = 5 (knickfrei verlangt zusätzlich f′(3) = g′(3) = 2). f(3) = 5
A10
Regressionskurve nutzen
AFB I

Nach F3 (REG) › F4 (X³) zeigt der GTR a = 0,5, b = −2, c = 1 und d = 3 für y = ax³ + bx² + cx + d. Werte die Regressionskurve an der Stelle x = 4 aus.

Funktionswert: Die Koeffizienten in f(x) = 0,5x³ − 2x² + x + 3 einsetzen, dann x = 4.
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f(4) = 0,5 · 64 − 2 · 16 + 4 + 3 = 32 − 32 + 7, also f(4) = 7