Trigonometrie: Zusammenfassung – Mathe Klasse 9

Sinus, Kosinus und Tangens

Im rechtwinkligen Dreieck hängen die Seitenverhältnisse nur vom Winkel ab (6.1.1). Diese Verhältnisse heißen Sinus, Kosinus und Tangens.

Seiten benennen

Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel, Gegenkathete gegenüber α, Ankathete an α. Stolperstein: Aus Sicht von β tauschen die Katheten.

H · GK · AK

Sinus

Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse, immer zwischen 0 und 1.

sin α = GK : H

Kosinus

Verhältnis aus Ankathete und Hypotenuse; je größer α, desto kleiner cos α.

cos α = AK : H

Tangens

Verhältnis der beiden Katheten — kann auch größer als 1 werden (ab 45°).

tan α = GK : AK

Beziehungen zwischen den drei Funktionen (6.1.2)

tan α = sin α : cos α · sin²α + cos²α = 1 · sin α = cos(90° − α)

Die zweite Formel folgt aus dem Satz des Pythagoras nach Division durch c².

Warum nur der Winkel zählt

Zwei rechtwinklige Dreiecke mit gleichem α sind ähnlich (Kapitel 5). Ähnliche Dreiecke haben gleiche Seitenverhältnisse — deshalb liefert der Rechner für sin 35° immer denselben Wert, egal wie groß das Dreieck ist.

Berechnen im rechtwinkligen Dreieck

Mit einem spitzen Winkel und einer Seite oder mit zwei Seiten lässt sich jedes rechtwinklige Dreieck vollständig berechnen (6.2.1–6.2.3).

Seite berechnen

Funktion wählen, in der gegebene und gesuchte Seite stehen, dann umstellen. Stolperstein: gesuchte Seite im Nenner.

a = c · sin α · c = a : sin α

Winkel berechnen

Aus dem Seitenverhältnis liefert die Umkehrfunktion den Winkel. Rechner auf Grad (Deg)!

α = tan⁻¹(a : b)

Steigungswinkel

Die Steigung m einer Geraden ist der Tangens ihres Steigungswinkels. Straßenschilder geben m in Prozent an.

tan α = m · p % = m · 100 %

Höhen- und Tiefenwinkel

Immer gegen die Waagerechte gemessen, in Augenhöhe. Die Augenhöhe kommt am Ende dazu.

h = d · tan α + Augenhöhe

Rechner-Einstellung

Deg statt Rad

GTR fx-CG50: SHIFT MENU (SET UP) → Angle → Deg. CAS TI-Nspire: ⌂ 5 2 → Winkel: Grad. Kontrolle: sin 30° = 0,5.

Vorgehen bei Sachaufgaben

Skizze zeichnen, rechten Winkel markieren, das passende Dreieck farbig hervorheben, gegeben und gesucht notieren, rechnen, Antwortsatz schreiben — und prüfen, ob das Ergebnis realistisch ist.

Berechnen in beliebigen Dreiecken

Ohne rechten Winkel helfen die Höhe, der Sinussatz und der Kosinussatz (6.3.1–6.3.4).

Flächeninhalt

Zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen genügen — die Höhe steckt im Sinus.

A = ½ · b · c · sin α

Sinussatz

Jede Seite steht über dem Sinus ihres Gegenwinkels. Braucht ein bekanntes Paar (WSW, SWW, SsW).

a : sin α = b : sin β = c : sin γ

Kosinussatz

Erweiterter Pythagoras für SWS und SSS. Bei γ = 90° bleibt c² = a² + b².

c² = a² + b² − 2ab · cos γ

Welcher Satz?

Nur die gegebenen Größen entscheiden. Dritter Winkel immer über die Winkelsumme 180°.

WSW · SWW · SsW | SWS · SSS

Winkel mit dem Kosinussatz

cos γ = (a² + b² − c²) : (2ab)

Aus c² = a² + b² − 2ab · cos γ nach cos γ umgestellt — dann γ = cos⁻¹(…).

Vorsicht bei SsW

Liegt der gegebene Winkel der kürzeren Seite gegenüber, kann es zwei Dreiecke geben: β und 180° − β haben denselben Sinus.

Die Regeln, an denen die Punkte hängen

Die meisten Punkte gehen in der Arbeit nicht durch schwere Rechnungen verloren, sondern durch diese vier Kleinigkeiten.

Zuerst den Winkel markieren

Gegenkathete und Ankathete hängen vom Winkel ab. Wer vom falschen Winkel aus benennt, wählt die falsche Funktion.

Rechner auf Grad

Einmal vor der Arbeit prüfen: sin 30 muss 0,5 ergeben. Im Bogenmaß stimmt kein einziges Ergebnis.

Gerundet wird am Ende

Zwischenergebnisse im Rechner speichern; nur das Endergebnis runden — Längen auf zwei, Winkel auf eine Nachkommastelle.

Antwortsatz mit Einheit

Jede Sachaufgabe endet mit einem Satz, der die Frage beantwortet — mit Einheit und sinnvoll gerundet.

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