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Übung — AFB I

Zehn Aufgaben, zehn sichere Punkte: Welche Funktion passt — und stimmt die Einstellung am Rechner?

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Aufgabenblock — AFB I

Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: Formel kennen, Werte einsetzen, ausrechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Arbeit — hier: Seite oder Winkel mit sin, cos, tan, Sinus- und Kosinussatz. Rechner auf Grad (Deg) stellen und Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen runden, Winkel auf eine.

A1
Gegenkathete mit dem Sinus
AFB I

Im rechtwinkligen Dreieck ist c = 12 cm die Hypotenuse und α = 35°. Berechne die Gegenkathete a (auf zwei Nachkommastellen).

cm
Sinus: sin α = Gegenkathete : Hypotenuse, also a = c · sin α. Setze ein: a = 12 cm · sin 35°.
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a = 12 cm · sin 35° ≈ 6,88 cm
a = ?c = 12 cm35°ABC
Hypotenuse und Winkel gegeben
A2
Ankathete mit dem Kosinus
AFB I

Gegeben sind die Hypotenuse c = 9 cm und α = 52°. Berechne die Ankathete b von α.

cm
Kosinus: cos α = Ankathete : Hypotenuse, also b = c · cos α. Setze ein: b = 9 cm · cos 52°.
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b = 9 cm · cos 52° ≈ 5,54 cm
b = ?c = 9 cm52°ABC
Gesucht: die Seite am Winkel
A3
Gegenkathete mit dem Tangens
AFB I

Die Ankathete ist b = 7 cm, der Winkel α = 40°. Berechne die Gegenkathete a.

cm
Tangens: tan α = Gegenkathete : Ankathete, also a = b · tan α. Setze ein: a = 7 cm · tan 40°.
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a = 7 cm · tan 40° ≈ 5,87 cm
a = ?b = 7 cm40°ABC
Beide Katheten im Spiel
A4
Hypotenuse aus der Gegenkathete
AFB I

Die Gegenkathete ist a = 5 cm, der Winkel α = 28°. Berechne die Hypotenuse c.

cm
Sinus umgestellt: sin α = a : c, also c = a : sin α. Setze ein: c = 5 cm : sin 28°.
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c = 5 cm : sin 28° ≈ 10,65 cm
a = 5 cmc = ?28°ABC
Die Gesuchte steht im Nenner
A5
Winkel aus zwei Katheten
AFB I

Die Katheten sind a = 4 cm (Gegenkathete) und b = 6 cm (Ankathete). Berechne α auf eine Nachkommastelle.

°
Tangens umgekehrt: tan α = a : b, also α = tan⁻¹(a : b). Setze ein: α = tan⁻¹(4 : 6).
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α = tan⁻¹(4 : 6) ≈ 33,7 °
a = 4 cmb = 6 cmα = ?ABC
Zwei Seiten, ein Winkel gesucht
A6
Winkel aus Ankathete und Hypotenuse
AFB I

Gegeben sind b = 6,5 cm und c = 10 cm. Berechne α.

°
Kosinus umgekehrt: cos α = b : c, also α = cos⁻¹(b : c). Setze ein: α = cos⁻¹(6,5 : 10).
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α = cos⁻¹(6,5 : 10) ≈ 49,5 °
b = 6,5 cmc = 10 cmα = ?ABC
Zwei Seiten, ein Winkel gesucht
A7
Steigungswinkel einer Geraden
AFB I

Die Gerade y = 0,4 · x + 1 hat die Steigung m = 0,4. Berechne ihren Steigungswinkel α.

°
Steigungswinkel: tan α = m, also α = tan⁻¹(m). Setze ein: α = tan⁻¹(0,4).
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α = tan⁻¹(0,4) ≈ 21,8 °
10,4α = ?
Steigungsdreieck: 1 nach rechts, 0,4 nach oben
A8
Steigung in Prozent
AFB I

Eine Straße ist um α = 5° gegen die Waagerechte geneigt. Wie viel Prozent Steigung stehen auf dem Verkehrsschild?

%
Steigung in Prozent: p % = tan α · 100 %. Setze ein: p = tan 5° · 100.
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p = tan 5° · 100 ≈ 8,75 %
5°100 m waagerecht? mSkizze nicht maßstäblich
Neigungswinkel 5°
A9
Seite mit dem Sinussatz
AFB I

Im Dreieck ABC ist a = 8 cm, α = 50° und β = 70°. Berechne b.

cm
Sinussatz: b : sin β = a : sin α, also b = a · sin β : sin α. Setze ein: b = 8 cm · sin 70° : sin 50°.
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b = 8 cm · sin 70° : sin 50° ≈ 9,81 cm
a = 8 cmb = ?50°70°ABC
Paar a–α bekannt
A10
Seite mit dem Kosinussatz
AFB I

Im Dreieck ABC ist b = 5 cm, c = 7 cm und der eingeschlossene Winkel α = 60°. Berechne a.

cm
Kosinussatz: a² = b² + c² − 2bc · cos α. Setze ein: a = √(25 + 49 − 70 · cos 60°) = √39.
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a = √(25 + 49 − 70 · cos 60°) = √39 ≈ 6,24 cm
a = ?b = 5 cmc = 7 cm60°ABC
Zwei Seiten und der Winkel dazwischen