Der Satz des Pythagoras
Alles beginnt mit dem rechten Winkel: Wer ihn findet, weiß, welche Seite die Hypotenuse ist (2.1.1–2.1.3).
Katheten und Hypotenuse
Die Katheten bilden den rechten Winkel, die Hypotenuse liegt ihm gegenüber und ist die längste Seite.
Satz des Pythagoras
Die Quadrate über den Katheten sind zusammen so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse. Beweis: vier Dreiecke im Quadrat umlegen.
Seiten berechnen
Hypotenuse gesucht → addieren; Kathete gesucht → subtrahieren. Am Ende die Wurzel ziehen.
Umkehrung
Gilt a² + b² = c² mit der längsten Seite c, ist das Dreieck rechtwinklig. Größer: spitzwinklig, kleiner: stumpfwinklig.
Warum Quadrate?
Der Satz vergleicht Flächen, nicht Längen. Deshalb ist bei 3 cm und 4 cm die Hypotenuse 5 cm und nicht 7 cm — die Quadrate 9 cm² und 16 cm² ergeben zusammen 25 cm².
Höhensatz und Kathetensatz
Die Höhe auf die Hypotenuse zerlegt das Dreieck in zwei kleine rechtwinklige Dreiecke — daraus folgen zwei weitere Sätze (2.2.1–2.2.2).
Höhe und Abschnitte
Der Höhenfußpunkt teilt die Hypotenuse in p (unter a) und q (unter b).
Höhensatz
Das Quadrat über der Höhe ist so groß wie das Rechteck aus den beiden Abschnitten. Damit verwandelt man ein Rechteck in ein Quadrat.
Kathetensatz
Das Quadrat über einer Kathete ist so groß wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Abschnitt.
Welcher Abschnitt gehört wohin?
Kathete und Abschnitt liegen nebeneinander: a mit p, b mit q. Im Höhensatz stehen beide Abschnitte, im Kathetensatz die ganze Hypotenuse c.
Pythagoras anwenden
In Figuren, Körpern und Sachsituationen muss das rechtwinklige Dreieck erst gefunden oder eingezeichnet werden (2.3.1–2.3.3).
Quadrat und Rechteck
Die Diagonale ist die Hypotenuse zu zwei Seiten.
Gleichseitiges Dreieck
Die Höhe halbiert eine Seite: Katheten h und a/2, Hypotenuse a.
Quader
Erst die Flächendiagonale e, dann die Raumdiagonale aus e und c.
Wurzeln konstruieren
Katheten √n und 1 ergeben √(n + 1) — die Wurzelschnecke. Einzelne Wurzeln als Summe oder Differenz zweier Quadrate.
Sachaufgaben in vier Schritten
Skizze zeichnen, rechten Winkel markieren, Hypotenuse bestimmen, rechnen — und die Antwort im Sachzusammenhang prüfen. Beim Satteldach ist die Kathete nur die halbe Breite.
Die Regeln, an denen die Punkte hängen
Die meisten Punkte gehen nicht beim Rechnen verloren, sondern beim Aufstellen der Gleichung.
Erst den rechten Winkel suchen
Die Seite gegenüber ist die Hypotenuse — sie steht allein auf einer Seite der Gleichung, egal ob sie a, b, c oder s heißt.
Addieren oder subtrahieren?
Hypotenuse gesucht: Quadrate addieren. Kathete gesucht: vom Hypotenusenquadrat subtrahieren. Die Kathete muss am Ende kürzer als die Hypotenuse sein.
Einheiten und Runden
Alle Längen vorher in dieselbe Einheit umrechnen, Zwischenergebnisse nicht runden, am Ende sinnvoll runden und einen Antwortsatz schreiben.