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Zusammenfassung

Alles Wichtige zu Parabeln, ihren drei Formen und quadratischen Gleichungen auf einer Seite.

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Parabeln und Scheitelpunktform

Jede Parabel entsteht aus der Normalparabel durch Strecken, Spiegeln und Verschieben.

Normalparabel

Graph von \( f(x)=x^2 \): Scheitel im Ursprung, symmetrisch zur \( y \)-Achse, nur Werte \( y\ge0 \).

\( f(x)=x^2,\; S(0\,|\,0) \)

Ortslinie

Alle Punkte mit gleichem Abstand zu Brennpunkt \( F \) und Leitgerade \( l \). Der Scheitel liegt in der Mitte.

\( \overline{PF}=\overline{PL} \)

Streckfaktor \( a \)

\( |a|>1 \) enger, \( |a|<1 \) weiter, \( a<0 \) nach unten geöffnet.

\( a\ne0 \)

Verschiebung \( d,\,e \)

\( d \) nach rechts, \( e \) nach oben. Plus in der Klammer heißt links.

\( S(d\,|\,e) \)
Scheitelpunktform
\( f(x)=a\,(x-d)^2+e \)

Schrittmuster zum Skizzieren: von \( S \) aus \( 1 \) nach rechts → \( a \) nach oben, \( 2 \) nach rechts → \( 4a \) nach oben. Umgekehrt liest man so \( a \) am Graphen ab.

Symmetrie spart Arbeit

Punkte links und rechts der Achse \( x=d \) liegen gleich hoch. Eine Seite berechnen, die andere spiegeln.

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Formen und Gleichungen

Drei Schreibweisen derselben Parabel — jede zeigt etwas anderes. Die Gleichung \( f(x)=0 \) liefert die Nullstellen.

Allgemeine Form

\( c \) ist der \( y \)-Achsenabschnitt. Zurück zur Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung.

\( f(x)=ax^2+bx+c \)

Faktorisierte Form

Nullstellen direkt ablesbar, Scheitel in der Mitte: \( x_S=\tfrac{x_1+x_2}{2} \).

\( f(x)=a\,(x-x_1)(x-x_2) \)

Sonderfälle

Ohne \( x \)-Glied: Wurzel ziehen (\( \pm \)). Ohne Zahlglied: \( x \) ausklammern, Satz vom Nullprodukt.

\( A\cdot B=0 \Leftrightarrow A=0 \vee B=0 \)

Satz von Vieta

Summe und Produkt der Lösungen stehen in der Normalform.

\( x_1+x_2=-p,\; x_1x_2=q \)
pq-Formel für \( x^2+px+q=0 \)
\( x_{1,2}=-\dfrac p2\pm\sqrt{\left(\dfrac p2\right)^2-q} \)

Diskriminante \( D=\left(\tfrac p2\right)^2-q \): \( D>0 \) zwei, \( D=0 \) eine, \( D<0 \) keine Lösung. Vorher durch \( a \) teilen.

Quadratische Ergänzung

\( x^2+bx=\left(x+\tfrac b2\right)^2-\left(\tfrac b2\right)^2 \) — die Ecke wird addiert und wieder abgezogen.

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Hilfsmittel und Anwendungen

Mit GTR und CAS lösen, Sachsituationen übersetzen, Messwerte modellieren.

GTR (fx-CG50)

Menü Graph: Term als Y1, F6 zeichnen, SHIFT F5 (G-Solv), F1 ROOT; F3 MIN / F2 MAX für den Scheitel.

ROOT · MIN · MAX · ISCT

CAS (TI-Nspire)

Löst exakt; ctrl + enter liefert Näherungswerte.

solve(x^2-2*x-3=0,x)

Optimieren

Zielfunktion aufstellen, Scheitelpunktform bilden: Bei \( a<0 \) ist \( e \) der größte Wert bei \( x=d \).

\( A(x)=a\,(x-d)^2+e \)

Ausgleichsparabel

Kleinste Summe der Abweichungsquadrate; GTR: STAT → CALC → REG → X². \( r^2 \) nahe 1 heißt: passt gut.

\( y\approx ax^2+bx+c \)

Regel 1 — Antwortsatz

In Sachaufgaben gehört zum Scheitelpunkt ein Satz mit Einheit: „Bei 5 m Breite ist die Fläche mit 50 m² am größten.“

Regel 2 — Gerundet heißt ≈

GTR-Werte wie \( -1.236067977 \) werden gerundet notiert: \( x\approx-1{,}24 \).

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