Das Vorwissen: Brüche und Laplace
Wahrscheinlichkeiten sind Brüche, Dezimalzahlen oder Prozente. Wer zwischen den Schreibweisen wechseln und Brüche multiplizieren kann, hat das halbe Kapitel schon (3.0.1–3.0.3).
Brüche multiplizieren
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner — vorher kürzen spart Arbeit.
Brüche addieren
Erst auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dann die Zähler addieren.
Drei Schreibweisen
Bruch, Dezimalzahl und Prozent beschreiben denselben Anteil.
Laplace-Experiment
Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich: günstige durch mögliche Ergebnisse.
Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 und 1
0 heißt unmöglich, 1 heißt sicher. Kommt beim Rechnen ein Wert über 1 heraus, wurde irgendwo addiert statt multipliziert.
Baumdiagramm und Multiplikationsregel
Mehrstufige Zufallsexperimente werden als Baum dargestellt. Jeder Pfad ist ein Ergebnis, seine Wahrscheinlichkeit ist das Produkt der Äste (3.1.1–3.1.2).
Das Baumdiagramm
Jede Stufe verzweigt sich in ihre Ergebnisse. An jedem Knoten ergeben die Äste zusammen 1.
Mit und ohne Zurücklegen
Mit Zurücklegen sieht jede Stufe gleich aus. Ohne Zurücklegen ändern sich Zähler und Nenner.
Multiplikationsregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
Warum multipliziert wird
Ist der erste Ast 3/5, kommt man nur in 3 von 5 Fällen auf diesen Weg. Von diesen Fällen führt der zweite Ast wiederum nur in 2 von 4 weiter — ein Anteil vom Anteil, also ein Produkt.
Additionsregel und klassische Probleme
Die meisten Ereignisse bestehen aus mehreren Pfaden. Dann werden die Pfadwahrscheinlichkeiten addiert (3.2.1–3.2.2).
Additionsregel
Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.
Gegenereignis
„Mindestens einmal“ lässt sich oft schneller über „keinmal“ berechnen.
Bauchgefühl prüfen
Bei klassischen Problemen täuscht die Intuition oft. Ein sauberer Baum entscheidet.
Entlang multiplizieren, quer addieren
Innerhalb eines Pfades wird nie addiert, zwischen verschiedenen Pfaden nie multipliziert. Wer das verwechselt, erhält oft Werte über 1 — ein sicheres Warnzeichen.
Die Regeln, an denen die Punkte hängen
In der Arbeit kosten vor allem vergessene Pfade und falsche Nenner ohne Zurücklegen Punkte.
Alle Pfade des Ereignisses finden
„Genau einmal rot“ bei zwei Zügen hat zwei Pfade: (r, b) und (b, r). Wer nur einen nimmt, bekommt die Hälfte.
Ohne Zurücklegen den Nenner senken
Nach dem ersten Zug ist eine Kugel weniger in der Urne — und zwar eine von der gezogenen Farbe.
Ergebnis mit Probe und Antwortsatz
Alle Pfade zusammen müssen 1 ergeben. Das Ergebnis im Antwortsatz als Bruch oder Prozent angeben.