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Selbsttest — Wo stehe ich?

Wie sicher bist du wirklich? 70 Aufgaben aus dem ganzen Kapitel — und am Ende eine ehrliche Auswertung, Thema für Thema.

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Dieser Selbsttest deckt das gesamte Kapitel Zufallsexperimente ab: von den Grundbegriffen und der Laplace-Formel über Baumdiagramme und die beiden Pfadregeln bis zum Gegenereignis, zur relativen Häufigkeit und zu einem klassischen Problem der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die 70 Aufgaben sind in sieben Themenblöcke zu je zehn Aufgaben geordnet und innerhalb jedes Blocks nach Schwierigkeit gestuft — die Badges AFB I bis AFB III zeigen dir, wie anspruchsvoll eine Aufgabe ist.

Arbeite die Blöcke der Reihe nach durch und benutze keine Notizen. Jede gelöste Aufgabe wandert oben in den Fortschrittsbalken. Wenn du fertig bist — oder abbrechen möchtest — klickst du auf „Auswerten“. Danach siehst du für jedes der sieben Themen, wie viel du geschafft hast, und springst über den Button direkt in das Kapitel, das du nacharbeiten solltest.

1

Grundbegriffe und Laplace

Ergebnis, Ereignis, Ergebnismenge und die Laplace-Formel — die Sprache, ohne die alles Weitere nicht funktioniert.

A1
Was steht in der Ergebnismenge?
AFB I

Aus einem Uno-Stapel wird eine Karte gezogen und nur die Farbe notiert: rot, blau, grün oder gelb. Welche Aussagen über die Ergebnismenge Ω dieses Zufallsexperiments stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
In Ω stehen die Ergebnisse, nicht ihre Wahrscheinlichkeiten. Ein Ereignis ist dagegen eine Teilmenge von Ω, zum Beispiel E = {rot; gelb}.
A2
Laplace beim Skatblatt
AFB I

Aus einem gut gemischten Skatblatt mit 32 Karten wird eine Karte gezogen. Genau 8 Karten sind Herzkarten. Wie groß ist P(Herz)? Gib eine Dezimalzahl an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
P = Anzahl der günstigen Ergebnisse : Anzahl aller Ergebnisse = 8 : 32 = 0,25. Weil jede Karte gleich wahrscheinlich gezogen wird, darfst du hier die Laplace-Formel benutzen.
A3
Die Grundbegriffe im Satz
AFB I

Setze die Fachwörter an die richtige Stelle. Ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein einzelner Ausgang eines Zufallsexperiments heißt . Alle Ausgänge zusammen bilden die . Fasst man mehrere Ausgänge zu einer Bedingung zusammen, entsteht ein . Sind alle Ausgänge gleich wahrscheinlich, spricht man von einem und berechnet die Wahrscheinlichkeit als Anzahl der Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller Ergebnisse.

Die „Häufigkeit“ bleibt übrig — sie wird gezählt, während eine Wahrscheinlichkeit berechnet oder geschätzt wird.
A4
Glücksrad beim Weihnachtsbasar
AFB I

Ein Glücksrad hat 20 gleich große Felder. Auf 8 Feldern steht ein Gewinn. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn?

Trage deine Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
8 : 20 = 0,4. Gleich große Felder bedeuten: gleich wahrscheinlich. Deshalb ist das Glücksrad ein Laplace-Experiment.
A5
Stimmt das über Wahrscheinlichkeiten?
AFB II
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke dir die beiden Eckpunkte: 0 ≤ P(E) ≤ 1 und P(Ω) = 1. Alles andere lässt sich daraus ableiten.
A6
Murmeln im Beutel
AFB II

In einem Beutel liegen 20 gleich große Murmeln: 5 rote, 8 blaue und 7 gelbe. Du ziehst blind eine Murmel.

Ansatz: Jede einzelne Murmel ist ein Ergebnis — deshalb hat Ω so viele Elemente wie der Beutel Murmeln.Warum hilft das? Nur wenn du die Ergebnisse einzeln zählst, sind sie alle gleich wahrscheinlich und du darfst die Laplace-Formel benutzen.
Rechenweg: P(rot) = 5 : 20, P(gelb) = 7 : 20. Teile jeweils die Anzahl der günstigen Murmeln durch 20.
Lösung: a) 20 Ergebnisse, b) 5 : 20 = 0,25, c) 7 : 20 = 0,35. Zur Kontrolle: 0,25 + 0,4 + 0,35 = 1.
A7
Laplace oder nicht?
AFB II

Sortiere jedes Experiment in den passenden Korb.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Laplace-Experiment
2Zufallsexperiment, aber kein Laplace
3kein Zufallsexperiment
Laplace heißt gleich wahrscheinlich. Reißzwecke, beschwerter Würfel und Wetter sind zufällig, aber eben nicht fair verteilt. Zählen, Nachschlagen und Rechnen sind gar keine Zufallsexperimente.
A8
Ereignis statt Ergebnis
AFB II

Ein fairer Oktaeder trägt die Zahlen 1 bis 8. Das Ereignis E lautet: „Die Zahl ist größer als 6.“ Wie groß ist P(E)?

Bestimme zuerst, welche Zahlen zu E gehören — dann rechne.
E = {7; 8} hat 2 günstige Ergebnisse, Ω hat 8. Also P(E) = 2 : 8 = 0,25. Ein Ereignis fasst mehrere Ergebnisse zusammen; gezählt wird trotzdem einzeln.
A9
Rückwärts gerechnet
AFB III

In einer Kiste liegen nur rote und weiße Tischtennisbälle, insgesamt 30 Stück. Die Wahrscheinlichkeit, blind einen roten Ball zu greifen, beträgt 0,2.

Ansatz: Dreh die Laplace-Formel um. Aus P = günstig : alle wird günstig = P · alle.Warum hilft das? Die Formel ist eine Gleichung — du darfst sie nach jeder der drei Größen auflösen.
Rechenweg: rote Bälle = 0,2 · 30. Die weißen sind der Rest von 30. Für c) hilft dir, dass sich beide Wahrscheinlichkeiten zu 1 ergänzen.
Lösung: a) 0,2 · 30 = 6 rote Bälle, b) 30 − 6 = 24 weiße Bälle, c) 24 : 30 = 0,8. Probe: 0,2 + 0,8 = 1.
A10
Begriffe und ihre Bedeutung
AFB III

Finde die sechs Paare aus Begriff und Erklärung.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Ergebnis und Ereignis werden am häufigsten verwechselt: Das Ergebnis ist ein einzelner Ausgang, das Ereignis fasst mehrere Ausgänge zusammen.
2

Baumdiagramme lesen

Wurzel, Äste, Knoten, Pfade: Wer den Baum sicher liest, hat die halbe Aufgabe gelöst.

A11
Bauteile im Wetterbaum
AFB I

Die Wetterstation der Schule sagt für den Vormittag und den Nachmittag jeweils Sonne oder Regen voraus. Finde die gesuchten Stellen im Baumdiagramm.

Klicke das gesuchte Element im Baumdiagramm an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Start 0,6 0,4 Sonne Regen 0,7 0,3 0,5 0,5 (S|S) (S|R) (R|S) (R|R) Stufe 1 = Vormittag, Stufe 2 = Nachmittag, S = Sonne, R = Regen
Vier Bauteile hat jedes Baumdiagramm: die Wurzel, die Äste mit ihren Wahrscheinlichkeiten, die Knoten als Zwischenstationen und die Pfadenden mit den Ergebnissen. Kontrolle: 0,6 + 0,4 = 1 und 0,7 + 0,3 = 1.
A12
Der fehlende Ast
AFB I

An einem Knoten gehen zwei Äste ab. Auf einem steht 0,7, der andere ist noch leer. Welche Zahl gehört dorthin?

Trage die fehlende Astwahrscheinlichkeit ein — Enter prüft direkt.
Die Äste, die von einem Knoten abgehen, ergeben zusammen immer 1: 1 − 0,7 = 0,3. Diese Astsumme ist deine beste Kontrolle beim Zeichnen.
A13
Ereignis und Pfade verbinden
AFB I

Verbinde jedes Ereignis mit den Pfaden, die dazugehören (Wetterbaum von A11).

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Ein Ereignis ist ein Bündel von Pfaden. Wer die Pfade sauber auflistet, hat den halben Rechenweg schon geschafft.
A14
Wie viele Ergebnisse?
AFB I

Wie viele Elemente hat die Ergebnismenge des zweistufigen Wetterbaums?

Zähle die Pfadenden und trage die Zahl ein — Enter prüft direkt.
2 · 2 = 4 Pfadenden, also Ω = {(S|S); (S|R); (R|S); (R|R)}. Jedes Pfadende trägt genau ein Ergebnis.
A15
Wo steht was im Baum?
AFB II

Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Angabe im Baumdiagramman der Wurzelan einem Astan einem Pfadende
das Wort „Start“
die Zahl 0,6
das Ergebnis (S|R)
die Wahrscheinlichkeit für den Nachmittag
das komplette Paar aus Vormittag und Nachmittag
Merksatz: Zahlen an die Äste, Ergebnisse an die Enden. Die Wurzel bekommt keine Wahrscheinlichkeit — dort ist noch nichts passiert.
A16
Den Baum vollständig lesen
AFB II

Im Wetterbaum von A11 sind einige Angaben abgedeckt. Vom Knoten „Regen“ gehen zwei Äste mit je 0,5 ab, vom Knoten „Sonne“ ein Ast mit 0,7.

Ansatz: Schau dir immer nur einen Knoten an und frage: Welche Möglichkeiten gehen von hier weiter?Warum hilft das? An jedem einzelnen Knoten startet ein neues Teilexperiment — und dessen Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich zu 1.
Rechenweg: a) 1 − 0,7. b) Auch die Äste der 1. Stufe gehören zu einem Knoten, der Wurzel. c) 2 Äste in der 1. Stufe, an jedem Knoten wieder 2 Äste.
Lösung: a) 0,3, b) 1 (nämlich 0,6 + 0,4), c) 2 · 2 = 4 Pfade.
A17
Stimmt das über Baumdiagramme?
AFB II
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Zwei Kontrollen reichen fast immer: Astsumme an jedem Knoten gleich 1 und Zahl der Pfadenden gleich Zahl der Ergebnisse.
A18
Drei Äste, eine Lücke
AFB II

Ein Kiosk verkauft nur Brezel, Brötchen und Muffin. An einem Knoten stehen die Äste 0,25 (Brezel) und 0,35 (Brötchen); der dritte Ast ist leer. Welche Zahl fehlt?

Trage die fehlende Wahrscheinlichkeit ein — Enter prüft direkt.
1 − (0,25 + 0,35) = 0,4. Die Regel gilt für beliebig viele Äste, nicht nur für zwei.
A19
Baum mit vier Ästen
AFB III

In der Robotik-AG wird ausgelost, welche Aufgabe ein Team bekommt. Am ersten Knoten gehen vier Äste ab: Bauen (0,15), Programmieren (0,25), Testen (0,2) und Dokumentieren. Danach folgt eine zweite Stufe mit jeweils 3 Ästen.

Ansatz: Trenne die beiden Fragen sauber: Wahrscheinlichkeiten werden ergänzt, Äste und Pfade werden gezählt.Warum hilft das? Die Astsumme 1 hat nichts mit der Anzahl der Pfade zu tun — das sind zwei verschiedene Kontrollen.
Rechenweg: a) 1 − (0,15 + 0,25 + 0,2). b) 4 · 3. c) 4 Äste in der 1. Stufe, dazu an jedem der 4 Knoten noch einmal 3 Äste.
Lösung: a) 1 − 0,6 = 0,4, b) 4 · 3 = 12 Pfade, c) 4 + 4 · 3 = 16 Äste.
A20
Was liest du direkt ab?
AFB III

Welche Angaben kannst du einem vollständig beschrifteten Baumdiagramm ohne zusätzliche Rechnung entnehmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Abgelesen werden Struktur und Astwerte. Pfad- und Ereigniswahrscheinlichkeiten musst du berechnen: erst multiplizieren (1. Pfadregel), dann addieren (2. Pfadregel).
3

Zeichnen, mit und ohne Zurücklegen

Wie viele Äste hat jede Stufe — und ändert sich der Vorrat zwischen den Zügen?

A21
Ohne Zurücklegen zeichnen
AFB I

Bringe die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1 Aufschreiben, wie viele Stücke am Anfang im Vorrat liegen.
2 Für jedes Stück des Anfangsvorrats einen Ast der 1. Stufe zeichnen.
3 Den Vorrat um das gezogene Stück verringern.
4 An jeden Knoten die Äste der 2. Stufe mit dem neuen, kleineren Vorrat anhängen.
5 An jedes Pfadende das zugehörige Ergebnis schreiben.
Der entscheidende Schritt ist der dritte: Ohne Zurücklegen ändert sich der Vorrat zwischen den Stufen — deshalb wird der Baum nach rechts schmaler.
A22
Zahlenschloss am Fahrrad
AFB I

Ein Zahlenschloss hat 3 Ringe mit je 6 Symbolen. Jeder Ring wird unabhängig eingestellt. Wie viele Pfade hätte das zugehörige Baumdiagramm?

Rechne selbst und trage die Pfadzahl ein — Enter prüft direkt.
6 · 6 · 6 = 216 Pfade. Jeder Ring ist ein Teilversuch mit 6 Möglichkeiten — der Vorrat verändert sich nicht, das entspricht dem Ziehen mit Zurücklegen.
A23
Fehlersuche: mit oder ohne Zurücklegen
AFB I

Drei der sechs Sätze sind falsch. Klicke genau diese an.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Ein Satz genügt als Test: Ist der Vorrat vor dem zweiten Zug noch derselbe? Wenn ja, ändert sich nichts. Wenn nein, wird alles um ein Stück kleiner.
A24
Zwei Namen aus dem Lostopf
AFB I

In einem Lostopf liegen 9 Namenskärtchen. Es werden nacheinander zwei Kärtchen gezogen und nicht zurückgelegt. Wie viele Pfade hat das Baumdiagramm?

Trage die Anzahl der Pfade ein — Enter prüft direkt.
9 · 8 = 72 Pfade. Wer 81 rechnet, hat das Zurücklegen vergessen: Beim zweiten Zug liegen nur noch 8 Kärtchen im Topf.
A25
Wie sieht der Baum aus?
AFB II

Ein Beutel enthält 8 unterschiedliche Bausteine. Beantworte die Fragen und schau, wo du landest.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
    Zwei Fragen bestimmen jeden Baum: Wie viele Teilversuche gibt es — und bleibt der Vorrat zwischen den Stufen gleich?
    A26
    Playlist im Shuffle-Modus
    AFB II

    Auf einer Playlist stehen 12 verschiedene Songs. Der Shuffle-Modus spielt zwei Songs nacheinander und wiederholt dabei keinen Song.

    Ansatz: Frage dich für jede Stufe getrennt: Wie viele Möglichkeiten stehen an dieser Stelle noch zur Auswahl?Warum hilft das? Die Astzahl einer Stufe ist immer genau die Zahl der Möglichkeiten, die dort noch übrig sind.
    Rechenweg: Erster Song: 12 Möglichkeiten. Zweiter Song: derselbe Song fällt weg, also 11. Pfade: 12 · 11.
    Lösung: a) 12 Äste, b) 11 Äste, c) 12 · 11 = 132 Pfade.
    A27
    Vorrat prüfen
    AFB II

    Sortiere jedes Experiment nach der Art, wie sich der Vorrat verhält.

    Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
    1Ziehen mit Zurücklegen
    2Ziehen ohne Zurücklegen
    3kein Ziehen aus einem Vorrat
    Würfeln, Werfen und Drehen verbrauchen nichts — sie verhalten sich wie Ziehen mit Zurücklegen, sind aber gar kein Ziehen. Entscheidend ist immer: Ist der Vorrat vor dem nächsten Teilversuch unverändert?
    A28
    Drei Aufkleber verschenken
    AFB II

    Aus 10 verschiedenen Aufklebern werden nacheinander drei an drei Kinder verteilt. Kein Aufkleber wird doppelt vergeben. Wie viele Pfade hat der Baum?

    Trage die Anzahl der Pfade ein — Enter prüft direkt.
    10 · 9 · 8 = 720 Pfade. Jede Stufe verliert genau eine Möglichkeit. Mit Zurücklegen wären es 10 · 10 · 10 = 1000.
    A29
    Rückwärts: wie groß war der Vorrat?
    AFB III

    Aus einer Kiste werden zwei Gegenstände nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Das Baumdiagramm hat 42 Pfade.

    Ansatz: Ohne Zurücklegen gilt: Pfade = n · (n − 1). Probiere Zahlen systematisch aus.Warum hilft das? Zwei aufeinanderfolgende Zahlen mit dem Produkt 42 findest du schneller durch Probieren als durch Umformen.
    Rechenweg: 5 · 4 = 20, 6 · 5 = 30, 7 · 6 = 42. Damit hast du n. Für c) bleibt der Vorrat gleich: n · n.
    Lösung: a) 7 Gegenstände, b) 6 Äste, c) 7 · 7 = 49 Pfade.
    A30
    Lösungsweg zusammenbauen
    AFB III

    Setze den Rechenweg für diese Frage zusammen: Ein Zahlenschloss hat 4 Ringe mit je 5 Symbolen. Wie viele Einstellungen sind möglich?

    Setze den Bauplan von oben nach unten zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
    Die beiden Fallen: das Verringern des Vorrats, obwohl gar nichts entnommen wird — und das Addieren statt Multiplizieren (4 + 5 = 9 wäre viel zu wenig).
    4

    Pfadmultiplikation

    Entlang eines Pfades werden die Astwahrscheinlichkeiten multipliziert.

    A31
    Zwei Ampeln auf dem Schulweg
    AFB II

    Auf dem Weg zur Schule liegen zwei Ampeln. Die erste zeigt mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 Grün, die zweite unabhängig davon mit 0,5.

    Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
    1. P(erste Ampel rot)
    2. P(beide Ampeln grün) = 0,4 · 0,5
    3. P(beide Ampeln rot) = 0,6 · 0,5
    Jeder Pfad wird entlang der Äste multipliziert. Die vier Pfade ergeben zusammen 0,2 + 0,2 + 0,3 + 0,3 = 1 — eine gute Kontrolle.
    A32
    Zwei Freiwürfe
    AFB I

    Eine Basketballspielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 0,8. Sie wirft zweimal, die Würfe beeinflussen sich nicht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft sie beide Male?

    Trage die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
    0,8 · 0,8 = 0,64. Achtung vor der häufigsten Falle: 0,8 + 0,8 = 1,6 wäre größer als 1 und damit als Wahrscheinlichkeit unmöglich.
    A33
    Ablauf: Pfadwahrscheinlichkeit im Gewächshaus
    AFB I

    In einem Gewächshaus keimt ein Samenkorn mit der Wahrscheinlichkeit 0,7. Keimt es, blüht die Pflanze später mit 0,8. Spiele den Rechenweg durch.

    Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
      Der Ablauf ist immer gleich: Baum zeichnen, Pfad suchen, entlang des Pfades multiplizieren, Ergebnis auf Plausibilität prüfen.
      A34
      Dreimal dieselbe Seite
      AFB II

      Eine faire Münze wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander Zahl zu erhalten?

      Trage die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
      0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125. Der Baum hat 8 Pfade, und jeder einzelne davon hat die Wahrscheinlichkeit 1 : 8 = 0,125.
      A35
      Wie ändert sich die Pfadwahrscheinlichkeit?
      AFB II

      Ein Pfad besteht aus zwei Ästen. Nur eine Astwahrscheinlichkeit wird verändert — wie wirkt sich das auf die Pfadwahrscheinlichkeit aus?

      Stufe 1 = die Pfadwahrscheinlichkeit wird halbiert, 2 = sie bleibt gleich, 3 = sie verdoppelt sich, 4 = sie verdreifacht sich, 5 = sie vervierfacht sich.
      Änderung an einem AstWirkung 1 bis 5
      Die Astwahrscheinlichkeit 0,5 wird durch 0,25 ersetzt.
      Ein zusätzlicher Ast mit der Wahrscheinlichkeit 1 wird angehängt.
      Die Astwahrscheinlichkeit 0,2 wird durch 0,4 ersetzt.
      Die Astwahrscheinlichkeit 0,25 wird durch 0,75 ersetzt.
      Die Astwahrscheinlichkeit 0,1 wird durch 0,4 ersetzt.
      Weil entlang des Pfades multipliziert wird, überträgt sich jeder Faktor direkt auf das Ergebnis: Wird ein Ast doppelt so groß, verdoppelt sich der ganze Pfad.
      A36
      Samen im Gewächshaus
      AFB II

      Ein Samenkorn keimt mit der Wahrscheinlichkeit 0,7. Keimt es, so blüht die Pflanze mit der Wahrscheinlichkeit 0,8; sonst blüht sie nicht.

      Ansatz: Zeichne den zweistufigen Baum und schreibe an jeden Ast seine Wahrscheinlichkeit. In der 2. Stufe ergänzen sich die Äste zu 1.Warum hilft das? Nur mit dem vollständigen Baum siehst du, dass zu 0,8 der Gegenast 0,2 gehört.
      Rechenweg: a) 0,7 · 0,8. b) 0,7 · 0,2. Für c) musst du nichts rechnen — überlege, was alle Pfade zusammen abdecken.
      Lösung: a) 0,7 · 0,8 = 0,56, b) 0,7 · 0,2 = 0,14, c) alle Pfade zusammen ergeben immer 1. Probe: 0,56 + 0,14 + 0,3 = 1.
      A37
      Zwei markierte Karten
      AFB III

      In einem Stapel liegen 10 Karten, davon sind 5 markiert. Es werden zwei Karten nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide markiert sind? Runde auf zwei Nachkommastellen.

      Trage die gerundete Wahrscheinlichkeit ein — Enter prüft direkt.
      5 : 10 · 4 : 9 = 20 : 90 ≈ 0,22. Der zweite Ast heißt 4 : 9, weil eine markierte Karte bereits gezogen wurde und der Stapel um eine Karte kleiner ist.
      A38
      Pfadzahl zusammenbauen
      AFB II

      Ein mehrstufiges Zufallsexperiment hat 96 Pfade. Setze diese Zahl aus den Bausteinen zusammen.

      Klicke Bausteine an, bis die Summe genau 96 ergibt.
      0 Pfade
      Ziel: 96 Pfade
      64 + 32 = 96. Und weil 96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 ist, passt zu dieser Pfadzahl zum Beispiel ein Baum mit fünf Stufen zu je 2 Ästen und einer Stufe mit 3 Ästen.
      A39
      Der Abfüllautomat
      AFB III

      Ein Automat füllt Müslibecher. Jeder Becher wird unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit 0,9 korrekt gefüllt.

      Ansatz: Jeder Becher ist eine Stufe im Baum. Der Gegenast zu 0,9 hat die Wahrscheinlichkeit 0,1.Warum hilft das? Weil die Becher sich nicht beeinflussen, tragen alle Stufen dieselben Astwahrscheinlichkeiten.
      Rechenweg: a) 0,9 · 0,9. b) 0,9 · 0,9 · 0,9. c) 0,9 · 0,1 — achte auf die Reihenfolge im Pfad.
      Lösung: a) 0,81, b) 0,729, c) 0,09. Auffällig: Mit jeder weiteren Stufe sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass alles gut geht.
      A40
      Wie oft in 200 Durchgängen?
      AFB III

      Ein Pfad besteht aus zwei Ästen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,4 und 0,2. Das Experiment wird 200-mal durchgeführt. Wie oft ist dieser Pfad ungefähr zu erwarten?

      Schiebe den Regler auf deine Schätzung und prüfe sie. Eine Abweichung von wenigen Durchgängen zählt noch als richtig.
      0200
      0,4 · 0,2 = 0,08. Bei 200 Durchgängen erwartet man 0,08 · 200 = 16 Treffer. Das ist eine Erwartung, kein garantiertes Ergebnis — bei einem echten Versuch kommen auch 12 oder 21 vor.
      5

      Pfadaddition und Ereignisse

      Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.

      A41
      Was sagt die 2. Pfadregel?
      AFB I

      Welche Aussagen über die 2. Pfadregel sind richtig?

      Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
      Die beiden Regeln greifen ineinander: entlang eines Pfades multiplizieren, über mehrere Pfade hinweg addieren.
      A42
      Kakao in der Bäckerei
      AFB II

      Ein Kunde kauft zuerst ein Gebäck: mit 0,6 ein Brötchen, mit 0,4 eine Brezel. Wer ein Brötchen nimmt, bestellt mit 0,5 zusätzlich Kakao; wer eine Brezel nimmt, nur mit 0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde Kakao bestellt?

      Trage die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
      Zwei Pfade führen zum Kakao: 0,6 · 0,5 = 0,30 und 0,4 · 0,2 = 0,08. Zusammen 0,30 + 0,08 = 0,38. Die 0,5 allein wäre falsch, denn nur ein Teil der Kunden nimmt überhaupt ein Brötchen.
      A43
      Welche Regel brauchst du?
      AFB II

      Ordne jede Frage dem Bereich zu, in dem sie berechnet wird.

      Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
      1 nur 1. Pfadregel
      2 beide Regeln nacheinander
      3 nur 2. Pfadregel
      Faustregel: Ein einzelner Pfad braucht nur die 1. Regel. Mehrere fertige Pfade braucht nur die 2. Regel. Sobald du mehrere Pfade erst ausrechnen und dann zusammenzählen musst, brauchst du beide.
      A44
      Genau ein Treffer
      AFB II

      Ein Spieler trifft beim Torschuss mit der Wahrscheinlichkeit 0,8. Er schießt zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau einmal trifft?

      Trage die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
      Zwei Pfade gehören zum Ereignis: Treffer–Fehlschuss 0,8 · 0,2 = 0,16 und Fehlschuss–Treffer 0,2 · 0,8 = 0,16. Zusammen 0,32. Wer nur einen der beiden Pfade zählt, halbiert das Ergebnis.
      A45
      Die zweite Pfadregel im Wortlaut
      AFB I

      Setze die passenden Wörter in den Lückentext ein. Zwei Wörter bleiben übrig.

      Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

      Besteht ein Ereignis aus , so berechnest du zuerst jede der zugehörigen einzeln. Anschließend du diese Werte. Zählst du auf diese Weise alle Pfade eines Baumdiagramms zusammen, erhältst du immer den Wert .

      Die beiden übrig gebliebenen Wörter sind die typischen Verwechslungen: „multiplizieren“ gehört zur 1. Pfadregel, die „Ergebnismenge“ zu den Grundbegriffen.
      A46
      Glücksrad auf dem Schulfest
      AFB II

      Ein Glücksrad zeigt mit 0,3 das rote und mit 0,7 das blaue Feld. Bei Rot gewinnt man anschließend mit 0,5, bei Blau nur mit 0,2.

      Ansatz: Zeichne den zweistufigen Baum mit den Ästen Rot/Blau und darunter jeweils Gewinn/kein Gewinn.Warum hilft das? Erst im Baum siehst du, dass zwei verschiedene Pfade zum Gewinn führen.
      Rechenweg: a) 0,3 · 0,5. b) Addiere diesen Pfad zum zweiten Gewinnpfad 0,7 · 0,2. c) Was zum Gewinn fehlt, ergänzt sich zu 1.
      Lösung: a) 0,15, b) 0,15 + 0,14 = 0,29, c) 1 − 0,29 = 0,71.
      A47
      Stimmt das über Ereignisse?
      AFB II

      Prüfe die Aussagen nacheinander.

      Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
      Aussage 1 von 5

      Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 und 1. Kommt beim Addieren mehr als 1 heraus, hast du einen Pfad doppelt gezählt oder Äste statt Pfade addiert.
      A48
      Zweimal dasselbe Feld
      AFB III

      Ein Glücksrad hat 4 gleich große Felder und wird zweimal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Male dasselbe Feld erscheint?

      Trage die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
      Vier Pfade gehören dazu, jeder mit 0,25 · 0,25 = 0,0625. Zusammen 4 · 0,0625 = 0,25. Kurzweg: Das erste Feld ist beliebig, das zweite muss mit 1 : 4 passen.
      A49
      Zwei Stifte aus dem Etui
      AFB III

      In einem Etui liegen 5 Stifte: 2 rote und 3 grüne. Es werden nacheinander zwei Stifte ohne Zurücklegen gezogen.

      Ansatz: Zeichne den Baum mit den Ästen 3 : 5 und 2 : 5. In der 2. Stufe liegen nur noch 4 Stifte im Etui.Warum hilft das? Ohne Zurücklegen ändern sich Zähler und Nenner — das siehst du nur am gezeichneten Baum.
      Rechenweg: a) 3 : 5 · 2 : 4. Für b) gibt es zwei Pfade: rot–grün und grün–rot; beide ausrechnen und addieren.
      Lösung: a) 6 : 20 = 0,3, b) 6 : 20 + 6 : 20 = 0,6, c) 2 : 20 = 0,1. Probe: 0,3 + 0,6 + 0,1 = 1.
      A50
      Der Rechenweg bei mehreren Pfaden
      AFB II

      Bringe die Arbeitsschritte in die richtige Reihenfolge.

      Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
      1 Das Baumdiagramm zeichnen und alle Astwahrscheinlichkeiten eintragen.
      2 Alle Pfade markieren, die zum gesuchten Ereignis gehören.
      3 Jeden markierten Pfad einzeln mit der 1. Pfadregel ausrechnen.
      4 Die berechneten Pfadwahrscheinlichkeiten mit der 2. Pfadregel addieren.
      5 Prüfen, ob das Ergebnis zwischen 0 und 1 liegt, und einen Antwortsatz schreiben.
      Der häufigste Fehler passiert beim zweiten Schritt: Wird ein passender Pfad übersehen, ist das Ergebnis zu klein — wird ein Pfad doppelt gezählt, zu groß.
      6

      Gegenereignis und „mindestens einmal“

      Der Umweg über 1 − P(keinmal) spart bei vielen Aufgaben ein ganzes Bündel Pfade.

      A51
      Was gilt für das Gegenereignis?
      AFB I

      Prüfe die Aussagen nacheinander.

      Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
      Aussage 1 von 5

      Der Kern ist immer derselbe: P(nicht E) = 1 − P(E). Diese eine Zeile spart bei „mindestens“-Aufgaben oft ein ganzes Bündel von Pfaden.
      A52
      Kein Freilos
      AFB I

      Ein Losautomat gibt mit der Wahrscheinlichkeit 0,35 ein Freilos aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, kein Freilos zu bekommen?

      Trage die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
      1 − 0,35 = 0,65. Beide Werte zusammen ergeben 1, denn ein drittes Ergebnis gibt es hier nicht.
      A53
      Fehlersuche: „mindestens einmal“
      AFB II

      Drei der sechs Sätze sind falsch. Klicke genau diese an.

      In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
      Zwei Kontrollen entlarven fast jeden Fehler: Liegt das Ergebnis zwischen 0 und 1 — und wird es größer, wenn man mehr Versuche zulässt?
      A54
      Mindestens einmal Gewinn
      AFB II

      Bei einem Spiel gewinnt man in jedem Durchgang mit der Wahrscheinlichkeit 0,2. Jemand spielt zwei Durchgänge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal zu gewinnen?

      Trage die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
      P(kein Gewinn) = 0,8 · 0,8 = 0,64, also P(mindestens einmal) = 1 − 0,64 = 0,36. Die naheliegende Rechnung 0,2 + 0,2 = 0,4 zählt den Pfad mit zwei Gewinnen doppelt.
      A55
      Dosenwerfen in drei Versuchen
      AFB II

      Beim Dosenwerfen trifft Jonas in jedem Versuch mit der Wahrscheinlichkeit 0,8. Er hat drei Versuche.

      Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
      1. P(ein einzelner Versuch geht daneben) = 1 − 0,8
      2. P(alle drei Versuche gehen daneben) = 0,2 · 0,2 · 0,2
      3. P(mindestens ein Treffer) = 1 − 0,008
      Der lange Weg wären sieben Pfade mit mindestens einem Treffer. Über das Gegenereignis genügt ein Pfad — genau darin liegt der Zeitgewinn.
      A56
      Die Reißzwecke
      AFB II

      Eine Reißzwecke bleibt beim Fallen mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 auf dem Kopf liegen, sonst auf der Seite. Sie wird dreimal geworfen.

      Ansatz: „Kein einziges Mal Kopf“ ist genau ein Pfad im dreistufigen Baum: Seite – Seite – Seite.Warum hilft das? Für b) brauchst du dann nur noch eine Subtraktion statt sieben Pfade.
      Rechenweg: a) 0,6 · 0,6 · 0,6. b) 1 minus dein Ergebnis aus a). c) 0,4 · 0,4 · 0,4.
      Lösung: a) 0,6³ = 0,216, b) 1 − 0,216 = 0,784, c) 0,4³ = 0,064.
      A57
      Zwei verschiedene Automaten
      AFB III

      An zwei Automaten wird je einmal gespielt. Der erste gibt mit 0,3 einen Gewinn aus, der zweite mit 0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, an mindestens einem Automaten zu gewinnen?

      Trage die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
      P(kein Gewinn) = 0,7 · 0,8 = 0,56, also P(mindestens ein Gewinn) = 1 − 0,56 = 0,44. Der Trick funktioniert auch dann, wenn die Stufen verschiedene Wahrscheinlichkeiten haben.
      A58
      Wann lohnt sich das Gegenereignis?
      AFB II

      In welchen Fällen ist der Umweg über das Gegenereignis der schnellere Weg?

      Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
      Der Umweg lohnt sich immer dann, wenn das Gegenereignis aus einem einzigen Pfad besteht — das ist bei „mindestens einmal“ der Fall. Ein einzelner Pfad oder ein exaktes „genau“ ist dagegen direkt schneller.
      A59
      Mindestens eine Sechs
      AFB III

      Ein fairer Würfel wird mehrfach geworfen. Runde alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

      Ansatz: Bei einem Wurf ist P(keine Sechs) = 5 : 6. Für mehrere Würfe wird dieser Wert mit sich selbst multipliziert.Warum hilft das? „Keine Sechs“ ist in jeder Stufe derselbe Ast — deshalb entsteht eine Potenz.
      Rechenweg: a) (5 : 6)³. b) 1 minus dein Ergebnis aus a). c) 1 − (5 : 6)².
      Lösung: a) 125 : 216 ≈ 0,58, b) 1 − 0,58 = 0,42, c) 1 − 25 : 36 ≈ 0,31. Mit jedem weiteren Wurf steigt die Chance auf eine Sechs.
      A60
      Welcher Weg führt zum Ziel?
      AFB III

      Eine Aufgabe fragt nach der Wahrscheinlichkeit, bei vier Versuchen mindestens einmal zu treffen. Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums.

      Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
        Bei vier Versuchen gehören 15 Pfade zu „mindestens einmal“, aber nur einer zu „keinmal“. Der Entscheidungsbaum führt deshalb zum Gegenereignis.
        7

        Relative Häufigkeit und klassische Probleme

        Gemessene Häufigkeiten, theoretische Wahrscheinlichkeiten — und ein Problem, das die halbe Welt in Streit versetzt hat.

        A61
        Relative Häufigkeit berechnen
        AFB I

        In einer Versuchsreihe mit 50 Durchgängen tritt ein Ereignis 9-mal ein. Wie groß ist seine relative Häufigkeit?

        Trage die relative Häufigkeit als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
        9 : 50 = 0,18. Die relative Häufigkeit ist immer die Anzahl der Treffer geteilt durch die Anzahl aller Durchgänge — nie durch die Zahl der Nieten.
        A62
        Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
        AFB II

        Welche Aussagen über relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit sind richtig?

        Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
        Das Gesetz der großen Zahlen sagt nur: Je länger die Reihe, desto wahrscheinlicher liegt die gemessene Häufigkeit dicht am theoretischen Wert. Eine Garantie für einzelne Reihen gibt es nicht.
        A63
        Begriffe rund um die Häufigkeit
        AFB II

        Verbinde jeden Begriff mit der passenden Beschreibung.

        Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden Partner — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
        Eine kurze Merkhilfe: absolut zählt Stücke, relativ zählt Anteile, die Wahrscheinlichkeit steht im Modell — und die Brücke zwischen Messung und Modell ist das Gesetz der großen Zahlen.
        A64
        Wie viele Treffer sind zu erwarten?
        AFB I

        Ein Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0,25. Das Experiment wird 400-mal durchgeführt. Wie viele Treffer erwartet man ungefähr?

        Trage die erwartete Trefferzahl ein — Enter prüft direkt.
        0,25 · 400 = 100 Treffer. Das ist ein Erwartungswert, keine Garantie: 93 oder 108 Treffer wären genauso wenig verwunderlich.
        A65
        Der Reißnagel-Versuch
        AFB II

        Eine Klasse wirft einen Reißnagel 250-mal. In 95 Würfen bleibt er auf dem Kopf liegen, sonst auf der Seite.

        Ansatz: Teile die Trefferzahl durch die Zahl aller Würfe. Für b) brauchst du entweder 155 : 250 oder den Gegenwert zu a).Warum hilft das? Beide relativen Häufigkeiten ergänzen sich zu 1, genau wie zwei Gegenereignisse.
        Rechenweg: a) 95 : 250. b) 1 minus dein Ergebnis aus a). c) Nimm die relative Häufigkeit als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit und multipliziere mit 1000.
        Lösung: a) 95 : 250 = 0,38, b) 1 − 0,38 = 0,62, c) 0,38 · 1000 = 380 Würfe.
        A66
        Woher stammt die Zahl?
        AFB II

        Entscheide für jede Angabe, ob sie gemessen oder aus dem Modell berechnet wurde.

        Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
        Angabeaus Daten gemessenaus dem Modell berechnet
        In 60 von 200 Würfen fiel eine gerade Zahl.
        Beim fairen Würfel gilt P(gerade Zahl) = 0,5.
        Eine Klasse notiert 38 % Kopf beim Reißnagel.
        Ein zweistufiger Baum liefert P = 0,56 für einen Pfad.
        Von 500 Losen waren 46 Gewinnlose.
        Faustregel: Wo gezählt wurde, steht eine Häufigkeit. Wo gerechnet wurde, steht eine Wahrscheinlichkeit. Bei unbekannten Geräten ist die gemessene Häufigkeit die beste Schätzung für die Wahrscheinlichkeit.
        A67
        Ein klassisches Problem: die drei Türen
        AFB III

        Hinter einer von drei Türen steht ein Preis, hinter den beiden anderen nichts. Du wählst eine Tür. Der Moderator, der alles weiß, öffnet danach eine der beiden anderen Türen — immer eine leere. Spiele die Überlegung durch.

        Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
          Der Schlüssel ist die Zusatzinformation: Der Moderator wählt nicht zufällig. Deshalb ändert sich die Wahrscheinlichkeit für deine erste Tür nicht — das ganze Gewicht der anderen Gruppe landet auf einer einzigen Tür.
          A68
          Wechseln oder bleiben?
          AFB III

          Wie groß ist beim Drei-Türen-Problem die Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn man die Tür wechselt? Runde auf zwei Nachkommastellen.

          Trage die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl ein — Enter prüft direkt.
          2 : 3 ≈ 0,67. Wer bleibt, gewinnt nur mit 1 : 3 ≈ 0,33. Beide Werte ergänzen sich zu 1, denn Wechseln und Bleiben sind Gegenereignisse.
          A69
          Die Simulation zum Problem
          AFB III

          Eine Klasse simuliert das Drei-Türen-Problem 300-mal mit der Strategie „immer wechseln“. In 198 Durchgängen gewinnt sie den Preis.

          Ansatz: Erst messen, dann vergleichen: Die relative Häufigkeit kommt aus der Simulation, die Wahrscheinlichkeit aus der Überlegung mit 2 : 3.Warum hilft das? Nur wenn beide Werte getrennt bestimmt werden, ist der Vergleich aussagekräftig.
          Rechenweg: a) 198 : 300. b) 2 : 3 mit dem Taschenrechner. c) 2 : 3 · 900 — hier geht es glatt auf.
          Lösung: a) 0,66, b) 0,67, c) 600 Gewinne. Die Simulation liegt sehr dicht am theoretischen Wert — genau das erwartet das Gesetz der großen Zahlen.
          A70
          Die Argumentation zusammenbauen
          AFB III

          Setze die Begründung für die Strategie „wechseln“ Schritt für Schritt zusammen.

          Setze den Bauplan von oben nach unten zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
          Die beiden Fallen sind genau die typischen Fehlschlüsse: „zwei Türen also 1 : 2“ ignoriert die Vorgeschichte, und „zufällig geöffnet“ unterschlägt das Wissen des Moderators.
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          Nimm dir nach der Auswertung 20 Minuten Zeit und erledige diese vier Schritte im Heft.

          1. Notiere die zwei schwächsten Themen aus deiner Auswertung. Schreibe zu jedem in einem Satz auf, woran es gelegen hat: fehlender Begriff, falsche Pfadregel oder Rechenfehler.
          2. Wähle aus jedem dieser beiden Themen eine Aufgabe, die du nicht gelöst hast, und rechne sie vollständig auf Papier — mit gezeichnetem Baumdiagramm und einem Antwortsatz.
          3. Erfinde zu deinem schwächsten Thema eine eigene Aufgabe mit Lösung. Wer eine Aufgabe stellen kann, hat das Thema verstanden.
          4. Wiederhole den Selbsttest nach zwei Tagen ohne Hilfsmittel und vergleiche die beiden Auswertungen. Notiere, in welchem Thema du dich am stärksten verbessert hast.