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Übungen: Zufallsexperimente — AFB I

Sicher das Fundament — AFB I. Zehn Aufgaben quer durch die Kapitel 3.1 und 3.2: Grundbegriffe klären, Baumdiagramme ablesen.

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Aufgabenblock — AFB I

Diese Übung deckt alle vier Unterkapitel des Themas „Zufallsexperimente“ ab. Du löst 10 Standardaufgaben der Anforderungsstufe AFB I: kurze Wege, klare Ziele, jedes Mal ein bekanntes Verfahren. Die interaktiven Aufgaben geben dir sofort Rückmeldung, bei den Rechenaufgaben helfen dir gestufte Tipps.

A1
Was gilt für jede Wahrscheinlichkeit?
AFB I

Am Kiosk steht ein Kaugummiautomat mit roten, gelben und grünen Kugeln. Du wirfst eine Münze ein und drehst einmal. Kreuze alle Aussagen an, die für jede Wahrscheinlichkeit gelten.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
P = 1,5 gibt es nicht: 1 ist die Obergrenze und steht für „sicher“. Und 0,7 ist eine Prognose auf lange Sicht, keine Garantie für zehn Drehungen. Gleich groß müssen die Wahrscheinlichkeiten nur beim Laplace-Experiment sein — im Automaten liegen aber unterschiedlich viele Kugeln pro Farbe.
A2
Stimmt’s? — Fünf Aussagen zu den Grundbegriffen
AFB I

Fünf kurze Aussagen aus den Kapiteln 3.1 bis 3.4. Entscheide jedes Mal, ob sie stimmt.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die zwei Klassiker: „mal entlang, plus quer“ nicht verwechseln — und P = 0 heißt wirklich unmöglich, nicht „sehr selten“.
A3
Lückentext: die Wörter der Wahrscheinlichkeitsrechnung
AFB I

Setze die passenden Fachbegriffe ein. Ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein einzelner Ausgang eines Zufallsversuchs heißt . Fasst man mehrere davon zusammen, etwa „mindestens eine Sechs“, spricht man von einem . Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, liegt ein vor. Alles, was nicht zu einem Ereignis gehört, bildet sein . Multiplizierst du im Baumdiagramm alle Zahlen entlang eines Weges, erhältst du die .

Die „relative Häufigkeit“ bleibt übrig — sie zählt, was tatsächlich passiert ist, während die Wahrscheinlichkeit vorher etwas über die Aussichten sagt.
A4
Baumdiagramm ablesen: Bus und Sitzplatz
AFB I

Das Baumdiagramm zeigt Lenas Schulweg: Zuerst kommt der Bus pünktlich (P) oder verspätet (V), danach findet sie einen Sitzplatz (S) oder muss stehen (T). Klicke die gefragten Stellen an.

Klicke das gesuchte Element im Baumdiagramm an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.

Start 0,7 0,3 P V 0,6 0,4 0,2 0,8 (P|S) (P|T) (V|S) (V|T) P = pünktlich, V = verspätet, S = Sitzplatz, T = stehen
Kontrolle an jedem Knoten: 0,7 + 0,3 = 1 und 0,6 + 0,4 = 1 sowie 0,2 + 0,8 = 1. Die Zahlen der zweiten Stufe unterscheiden sich, weil ein verspäteter Bus meist voller ist.
A5
Blitzrechnung: eine Pfadwahrscheinlichkeit
AFB I

Bleib bei Lenas Schulweg aus A4. Berechne die Wahrscheinlichkeit des Pfades (P|S): Bus pünktlich und Sitzplatz gefunden. Gib das Ergebnis als Dezimalzahl an.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
0,7 · 0,6 = 0,42, also 42 %. Wer 1,3 herausbekommt, hat addiert — entlang eines Pfades wird immer multipliziert. Und die Pfadwahrscheinlichkeit ist stets kleiner als jeder einzelne Ast, weil beide Bedingungen zusammentreffen müssen.
A6
Bruch trifft Prozentwert
AFB I

Jede Wahrscheinlichkeit lässt sich als Bruch und als Prozentsatz schreiben. Verbinde, was zusammengehört.

Klicke links einen Bruch an und dann rechts seinen Prozentwert — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Der Weg ist immer derselbe: Bruch in eine Dezimalzahl verwandeln und mit 100 malnehmen. 1 : 4 = 0,25 → 25 %. Umgekehrt teilst du den Prozentwert durch 100.
A7
Unmöglich, möglich oder sicher?
AFB I

Ein gewöhnlicher Spielwürfel mit den Augenzahlen 1 bis 6 wird einmal geworfen. Sortiere die Ereignisse.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1unmöglich, P = 0
2möglich, 0 < P < 1
3sicher, P = 1
Sicher heißt: alle sechs Augenzahlen erfüllen die Bedingung. Unmöglich heißt: keine einzige. Alles dazwischen liegt echt zwischen 0 und 1 — die Primzahlen 2, 3 und 5 zum Beispiel bei P = 3 : 6 = 0,5.
A8
Rechenkette: dreimal die Reaktion messen
AFB I

Eine Handy-App zeigt bei jedem Start zufällig eine von vier Farben an. Bei Grün musst du tippen. Die Wahrscheinlichkeit für Grün beträgt bei jedem Start 0,25. Du startest die App dreimal. Rechne Schritt für Schritt, alle Ergebnisse als Dezimalzahl.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Start nicht Grün erscheint? P
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Grün hintereinander? P
  3. Und für dreimal Grün hintereinander? P
  4. Wie viele Pfade hat das Baumdiagramm zu diesen drei Starts? Pfade
1 − 0,25 = 0,75 für das Gegenereignis, dann 0,25 · 0,25 = 0,0625 und 0,25 · 0,25 · 0,25 = 0,015625. Der Baum hat 4 · 4 · 4 = 64 Pfade — und genau einer davon ist „dreimal Grün“: 1 : 64 = 0,015625.
A9
Wahrscheinlichkeit als Bruch, Dezimalzahl und Prozent
AFB I

In einer Schublade der Musik-AG liegen 20 Plektren: 8 rote, 6 blaue, 4 gelbe und 2 schwarze. Du greifst ohne hinzusehen genau eines heraus. Gib alle Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl an.

%
Ansatz: Bei einem Laplace-Versuch gilt P = Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl aller Ergebnisse.Warum hilft das? Jedes einzelne Plektrum hat dieselbe Chance, gegriffen zu werden. Deshalb darfst du einfach abzählen und teilen.
Rechenweg: a) 8 : 20. b) 6 : 20. c) 2 : 20 = 0,1, das mal 100. d) Gegenereignis von „gelb“: 1 − 4 : 20.
Lösung: a) 0,4   b) 0,3   c) 10 %   d) 1 − 0,2 = 0,8. Kontrolle: 0,4 + 0,3 + 0,2 + 0,1 = 1.
Warum ergeben alle vier Farben zusammen genau 1?
Weil jedes Plektrum zu genau einer Farbe gehört und keine Farbe vergessen wurde. Die vier Ereignisse decken die gesamte Ergebnismenge ab und überschneiden sich nicht. Rechnet man 8 + 6 + 4 + 2 = 20, greift man wieder alle 20 Stücke ab — und 20 : 20 = 1. Diese Probe lohnt sich immer: Kommt nicht 1 heraus, hast du ein Ergebnis doppelt gezählt oder eines übersehen.
A10
Zwei Stufen, ein Baum: Glücksrad und Münze
AFB I

Ein Glücksrad hat vier gleich große Felder: drei blaue und ein weißes. Du drehst einmal und wirfst danach eine faire Münze (Kopf oder Zahl). Zeichne das Baumdiagramm ins Heft und beantworte dann die Fragen. Alle Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahl.

Ansatz: Zeichne zuerst die 1. Stufe mit zwei Ästen (blau, weiß) und hänge an jeden Knoten die zwei Äste der Münze.Warum hilft das? Sobald der Baum steht, brauchst du nur noch die 1. Pfadregel: entlang des Pfades multiplizieren. Ohne Zeichnung verrutschen die Zahlen leicht.
Rechenweg: a) 3 von 4 Feldern sind blau. b) Das Glücksrad hat 4 Felder, die Münze 2 Seiten: 4 · 2. c) 0,75 · 0,5. d) 0,25 · 0,5.
Lösung: a) 0,75   b) 8 Pfade (4 · 2)   c) 0,375   d) 0,125. Probe: 0,375 + 0,375 + 0,125 + 0,125 = 1.
Warum sind es 8 Pfade, obwohl es nur vier Ergebnisse gibt?
Weil der Baum die vier Felder einzeln zeigt, nicht nur die zwei Farben. Fasst du die drei blauen Felder zu einem einzigen Ast mit der Wahrscheinlichkeit 0,75 zusammen, hat der Baum nur noch 2 · 2 = 4 Pfade — und genau diese vier Pfadwahrscheinlichkeiten hast du in c) und d) berechnet. Beide Darstellungen sind richtig: Die ausführliche Variante zählt gleich wahrscheinliche Ergebnisse, die kurze rechnet direkt mit Wahrscheinlichkeiten. Wichtig ist nur, dass du nicht mitten in der Aufgabe zwischen beiden wechselst.