MINT lernen

Textaufgaben3.0.2 Bruch, Dezimalzahl und Prozent

Zwei Sachaufgaben mit Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont — von der Kiosk-Umfrage bis zur Reißzwecke.

1

Die Umfrage zum Schulkiosk

AFB I–II

Die Schülervertretung möchte wissen, wie oft am Kiosk eingekauft wird, und befragt dazu alle 200 Schülerinnen und Schüler der Jahrgänge 7 bis 9. Jede befragte Person durfte genau eine Antwort ankreuzen (Material M1).

M1Ergebnis der Umfrage (200 Befragte)
Antworttäglichmehrmals pro Wocheseltennie
Anzahl der Nennungen48626624

Der Grundwert ist bei allen Antworten derselbe: die 200 befragten Personen.

  1. Gib den Anteil der Antwort „täglich“ als gekürzten Bruch, als Dezimalzahl und in Prozent an.
  2. Berechne, wie viel Prozent der Befragten mindestens mehrmals pro Woche am Kiosk einkaufen.
  3. Prüfe, ob die Prozentanteile aller vier Antworten zusammen 100 % ergeben, und erkläre, warum das hier so sein muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Anteil ist \(\frac{\text{Anzahl}}{\text{Grundwert}}\). Kürze den Bruch zuerst; für die Dezimalzahl teilst du Zähler durch Nenner, und für die Prozentangabe multiplizierst du die Dezimalzahl mit 100.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\frac{48}{200}=\frac{6}{25}\)

\(48:200=0{,}24\), also \(0{,}24=24\,\%\).

24 % der Befragten kaufen täglich am Kiosk ein.

Hinweis zu Aufgabe b)
„Mindestens mehrmals pro Woche“ schließt die Personen mit ein, die sogar täglich einkaufen — du musst also zwei Anzahlen zusammenfassen, bevor du den Anteil bildest.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(48+62=110\)

\(\frac{110}{200}=\frac{11}{20}=0{,}55=55\,\%\)

55 % der Befragten kaufen mindestens mehrmals pro Woche am Kiosk ein — also etwas mehr als die Hälfte.

Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne alle vier Anteile einzeln in Prozent um und addiere sie. Überlege danach, was die Bedingung „genau eine Antwort pro Person“ für die Summe der Anzahlen bedeutet.„Erklären“ verlangt, den Zusammenhang in eigenen Worten nachvollziehbar darzustellen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\frac{48}{200}=24\,\%\); \(\frac{62}{200}=0{,}31=31\,\%\); \(\frac{66}{200}=0{,}33=33\,\%\); \(\frac{24}{200}=0{,}12=12\,\%\)

\(24\,\%+31\,\%+33\,\%+12\,\%=100\,\%\) — die Probe geht auf.

Das muss so sein: Jede Person hat genau ein Kreuz gesetzt, also ergeben die vier Anzahlen zusammen wieder die 200 Befragten \((48+62+66+24=200)\). Der Anteil aller Befragten am Grundwert ist \(\frac{200}{200}=1=100\,\%\).

2

Die Reißzwecke im Physikraum

AFB II–III

Eine Reißzwecke fällt beim Werfen entweder mit der Spitze nach oben oder auf die Seite. Anders als beim Würfel weiß niemand vorher, wie oft welche Lage auftritt — sie lässt sich nur durch Versuche schätzen.

Die Klasse 8b wirft dieselbe Reißzwecke in vier Serien und notiert jedes Mal, wie oft die Spitze nach oben zeigt (Material M2).

M2Vier Wurfserien mit derselben Reißzwecke
Anzahl der Würfe2050100500
davon „Spitze oben“92147232
relative Häufigkeit????

Die relative Häufigkeit ist der Anteil der Treffer an allen Würfen der jeweiligen Serie.

  1. Berechne die vier relativen Häufigkeiten jeweils als Dezimalzahl und in Prozent.
  2. Beschreibe, wie sich die relativen Häufigkeiten mit wachsender Wurfzahl verhalten.
  3. Mia sagt: „Nach 100 Würfen waren es 47 Treffer, nach 500 Würfen schon 232 — die Reißzwecke fällt also immer häufiger auf die Spitze.“ Nimm Stellung zu ihrer Aussage.
  4. Die Klasse will die Reißzwecke 1000-mal werfen. Bestimme näherungsweise die zu erwartende Trefferzahl und begründe, warum die Vorhersage trotzdem unsicher bleibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Teile in jeder Spalte die Trefferzahl durch die Wurfzahl derselben Serie — nicht durch die Summe aller Würfe.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\frac{9}{20}=0{,}45=45\,\%\)

\(\frac{21}{50}=0{,}42=42\,\%\)

\(\frac{47}{100}=0{,}47=47\,\%\)

\(\frac{232}{500}=0{,}464=46{,}4\,\%\)

Hinweis zu Aufgabe b)
Schreibe die vier Prozentwerte der Reihe nach auf und achte darauf, wie stark sie noch voneinander abweichen. Vergleiche den Sprung von 20 auf 50 Würfe mit dem Sprung von 100 auf 500.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Werte 45 %, 42 %, 47 % und 46,4 % schwanken bei kurzen Serien deutlich (von 42 % bis 47 %), liegen bei den längeren Serien aber dicht beieinander.

Mit wachsender Wurfzahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit: Sie pendelt sich bei ungefähr 46 % ein. Einzelne Ausreißer fallen bei 500 Würfen viel weniger ins Gewicht als bei 20 Würfen.

Hinweis zu Aufgabe c)
Mia vergleicht zwei Anzahlen, die zu unterschiedlich langen Serien gehören. Vergleiche stattdessen die zugehörigen Anteile.„Stellung nehmen“ verlangt ein eigenes Urteil, das du mit Zahlen aus M2 stützt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist nicht haltbar. Mia vergleicht 47 Treffer aus 100 Würfen mit 232 Treffern aus 500 Würfen, also Anzahlen aus verschieden langen Serien. Dass in der längeren Serie mehr Treffer fallen, ist selbstverständlich — die Serie ist ja fünfmal so lang.

Vergleichbar sind nur die Anteile: \(47\,\% \) gegenüber \(46{,}4\,\%\). Die relative Häufigkeit ist also sogar leicht gesunken und im Rahmen der üblichen Schwankung gleich geblieben.

Richtig wäre: Je länger die Serie, desto verlässlicher der Anteil — nicht: desto häufiger der Treffer.

Hinweis zu Aufgabe d)
Nutze den Wert der längsten Serie als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit und rechne ihn auf 1000 Würfe hoch. Denke für die Begründung daran, was die relative Häufigkeit über einen einzelnen Wurf aussagt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit: \(p\approx 0{,}46\) (Wert der 500er-Serie).

\(0{,}46\cdot 1000=460\)

Zu erwarten sind rund 460 Treffer, realistisch etwa 440 bis 480.

Sicher ist das nicht: Die relative Häufigkeit ist nur ein aus Versuchen gewonnener Schätzwert, und jeder einzelne Wurf bleibt zufällig. Sie sagt nichts darüber aus, wie der nächste Wurf ausgeht — nur, mit welchem Anteil auf lange Sicht zu rechnen ist.