MINT lernen

Textaufgaben3.0.3 Zufall und Laplace

Zwei Sachaufgaben mit Hinweisen und vollständigem Erwartungshorizont — vom Glücksrad bis zum Zahlenschloss.

1

Das Glücksrad beim Schulfest

AFB I–II

Am Stand der Klasse 8b steht ein Glücksrad mit 8 gleich großen Feldern. Die Felder sind von 1 bis 8 nummeriert und wie in Material M1 eingefärbt: vier Felder blau, zwei grün, eines gelb und eines rot.

Das Rad wird einmal gedreht; gewertet wird das Feld, auf dem der Zeiger stehen bleibt.

M1Das Glücksrad mit acht gleich großen Feldern
1 2 3 4 5 6 7 8 blau: 1–4 grün: 5, 6 gelb: 7 rot: 8

Alle acht Sektoren haben denselben Mittelpunktswinkel von 45°, sind also gleich groß.

  1. Gib die Ergebnismenge \(\Omega\) für die gedrehte Feldnummer sowie die Anzahl der möglichen Ergebnisse an.
  2. Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \(B\): „blaues Feld“, \(G\): „grünes Feld“ und \(E\): „gelbes oder rotes Feld“.
  3. Tim sagt: „Es gibt vier Farben, also ist jede Farbe gleich wahrscheinlich — jede hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{4}\).“ Prüfe seine Aussage und begründe, worauf es bei einem Laplace-Versuch ankommt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Die Ergebnismenge enthält alle Ausgänge, die der Versuch haben kann — hier alle Feldnummern. Schreibe sie in geschweiften Klammern auf.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\Omega=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}\)

Es gibt \(|\Omega|=8\) mögliche Ergebnisse.

Hinweis zu Aufgabe b)
Nutze die Laplace-Formel \(P(A)=\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}\) und zähle für jedes Ereignis die passenden Felder. Kürze am Ende.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=50\,\%\)

\(P(G)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=25\,\%\)

\(P(E)=\frac{1+1}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=25\,\%\)

Kontrolle: \(\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{2}{8}=\frac{8}{8}=1\) — jedes Feld ist genau einmal erfasst.

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche deine Ergebnisse aus b) mit Tims \(\frac{1}{4}\). Überlege, was bei einem Laplace-Versuch gleich groß sein muss: die Anzahl der Kategorien oder die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse?„Begründen“ verlangt eine Rückführung auf die Regel, nicht nur ein Beispiel.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist falsch. Aus b) folgt \(P(\text{blau})=\frac{1}{2}\), \(P(\text{grün})=\frac{1}{4}\), \(P(\text{gelb})=\frac{1}{8}\) und \(P(\text{rot})=\frac{1}{8}\). Blau ist viermal so wahrscheinlich wie Rot.

Ein Laplace-Versuch liegt vor, wenn alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Das gilt hier für die acht Felder, denn sie sind gleich groß — nicht aber für die vier Farben, weil hinter ihnen unterschiedlich viele Felder stehen.

Tim zählt Kategorien statt gleich wahrscheinlicher Ergebnisse. Die Anzahl der Farben allein sagt nichts über die Wahrscheinlichkeit aus.

2

Das Zahlenschloss am Fahrradständer

AFB II–III

Lea sichert ihr Fahrrad mit einem Zahlenschloss. Modell A hat 4 Ringe mit je den Ziffern 0 bis 9. Für jeden Ring kann jede Ziffer eingestellt werden, unabhängig von den anderen Ringen (Material M2).

Im Fahrradladen steht daneben Modell B mit 5 Ringen, auf denen aber nur die Ziffern 0 bis 5 stehen.

M2Stellenschema der beiden Schlossmodelle
Modell A 10 · 10 · 10 · 10 4 Ringe mit den Ziffern 0–9 Modell B 6 · 6 · 6 · 6 · 6 5 Ringe mit den Ziffern 0–5

In jedem Kästchen steht, wie viele Ziffern der jeweilige Ring anbietet. Nach dem Zählprinzip werden diese Anzahlen multipliziert.

  1. Berechne mit dem Zählprinzip, wie viele verschiedene Codes bei Modell A eingestellt werden können.
  2. Ein Dieb probiert einen zufällig gewählten Code. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Schloss beim ersten Versuch aufgeht, und begründe, warum hier ein Laplace-Versuch vorliegt.
  3. Vergleiche die beiden Modelle und beurteile, welches Schloss Lea kaufen sollte.
  4. Lea meint: „Den Code 0000 stelle ich lieber nicht ein — vier gleiche Ziffern sind viel seltener als eine Zahl wie 3719.“ Widerlege ihre Begründung.
Hinweis zu Aufgabe a)
Jeder Ring lässt sich unabhängig einstellen. Multipliziere für jede Stelle die Anzahl der dort möglichen Ziffern — genau das zeigt M2.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^4=10\,000\)

Modell A hat 10 000 verschiedene Codes.

Hinweis zu Aufgabe b)
Genau ein Code öffnet das Schloss. Setze in die Laplace-Formel ein und überlege für die Begründung, ob irgendein Code gegenüber den anderen bevorzugt ist.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(\text{Treffer})=\frac{1}{10\,000}=0{,}0001=0{,}01\,\%\)

Es liegt ein Laplace-Versuch vor: Jeder Ring lässt sich gleich leicht auf jede Ziffer stellen, deshalb ist jeder der 10 000 Codes gleich wahrscheinlich. Genau einer davon ist günstig.

Im Mittel müsste der Dieb also viele tausend Codes durchprobieren — das Schloss ist gegen zufälliges Ausprobieren gut geschützt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne zuerst die Anzahl der Codes von Modell B aus \((6^5)\) und stelle beide Zahlen gegenüber. Ein Modell hat mehr Ringe, das andere mehr Ziffern je Ring.„Beurteilen“ verlangt ein eigenes Urteil, das du mit deinen Zahlen stützt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Modell B: \(6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^5=7776\) Codes, also \(P=\frac{1}{7776}\approx 0{,}013\,\%\).

Modell A bietet mit 10 000 Codes mehr Möglichkeiten als Modell B mit 7776, obwohl B einen Ring mehr hat. Lea sollte Modell A wählen.

Der Vergleich zeigt: Eine zusätzliche Stelle hilft nur, wenn dadurch das Produkt größer wird. Hier wiegt der Verlust von vier Ziffern je Ring schwerer als der Gewinn eines fünften Rings \((10^4 > 6^5)\).

Hinweis zu Aufgabe d)
Frage dich, wie viele der 10 000 Einstellungen genau „0000“ ergeben und wie viele genau „3719“. Verwechselt Lea vielleicht einen einzelnen Code mit einer ganzen Gruppe von Codes?
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Die Begründung ist falsch. Unter den 10 000 Einstellungen kommt „0000“ genau einmal vor und „3719“ ebenfalls genau einmal. Beide Codes haben dieselbe Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{10\,000}\).

Lea verwechselt einen einzelnen Code mit einer Gruppe von Codes: Codes mit vier gleichen Ziffern gibt es nur 10 (0000, 1111, …, 9999), „gemischte“ Codes dagegen sehr viele. Die Gruppe „vier gleiche Ziffern“ ist also selten — der einzelne Code 0000 aber nicht seltener als jeder andere.

Ein praktischer Grund bleibt trotzdem: Ein Dieb probiert auffällige Codes wie 0000 oder 1234 zuerst. Das ist aber kein mathematisches, sondern ein Argument über das Verhalten von Menschen.