Das Vorwissen: Rechteck, Quader, Einheiten
Das Kapitel beginnt nicht bei null. Alle neuen Formeln werden aus dem Rechteck hergeleitet, und alle Ergebnisse stehen am Ende in einer Einheit, die du umrechnen können musst. Diese vier Bausteine aus Klasse 5 und 6 solltest du auswendig können — sie tauchen in jeder Aufgabe des Kapitels wieder auf.
Rechteck und Quadrat
Beim Rechteck werden die beiden Seitenlängen multipliziert, beim Quadrat sind sie gleich. Aus dieser einen Formel entsteht später jede weitere Flächenformel des Kapitels. Stolperstein: Umfang und Flächeninhalt verwechseln.
Quadrat: A = a2 · U = 4 · a
Würfel und Quader
Beide sind bereits Prismen — nur heißen die Formeln hier noch anders. Wenn du später O = 2 · G + M lernst, kannst du damit gegenrechnen: Beim Quader kommt genau dasselbe heraus.
Quader: O = 2 · (ab + ac + bc)
V = a · b · c
Die drei Einheiten-Leitern
Längen gehen in Zehnerschritten, Flächen in Hunderterschritten, Volumina in Tausenderschritten. Wer die Stufenzahl verwechselt, rechnet richtig und bekommt trotzdem keine Punkte.
1 cm2 = 100 mm2 · 1 cm3 = 1000 mm3
Hohlmaße
Liter und Milliliter sind Volumeneinheiten mit anderem Namen. Diese Brücke brauchst du in fast jeder Sachaufgabe zum Prisma — vom Aquarium bis zur Regentonne.
1 m3 = 1000 L
Umfang oder Flächeninhalt?
Der Umfang ist die Länge des Randes — du läufst außen herum und misst in cm. Der Flächeninhalt ist der Platz darin — du legst Quadrate hinein und misst in cm2. Eine gute Kontrolle: Steht in deinem Ergebnis keine Quadrat-Einheit, obwohl nach einer Fläche gefragt war, hast du dich irgendwo vertan.
Vielecke — vier Formeln, eine Idee
Keine der vier Formeln musst du glauben: Jede entsteht aus dem Rechteck, indem man ein Stück umlegt, die Figur verdoppelt oder sie zerschneidet. Gemeinsam ist allen, dass eine Grundseite und die dazu senkrechte Höhe gebraucht werden — nie eine schräge Seite.
Dreieck
Zwei gleiche Dreiecke ergeben zusammen ein Parallelogramm — daher kommt das 12. Jede der drei Seiten darf Grundseite sein; zu jeder gehört eine eigene Höhe.
Parallelogramm
Schneidet man das überstehende Dreieck ab und legt es auf der anderen Seite an, entsteht ein Rechteck mit denselben Maßen. Deshalb steht hier kein 12.
Trapez
Zwei gleiche Trapeze passen zu einem Parallelogramm mit der Grundseite a + c zusammen. In die Formel gehören nur die beiden parallelen Seiten — die Schenkel b und d kommen nicht vor.
Beliebige Vielecke
Alles, was kein Standardvieleck ist, wird auf bekannte Figuren zurückgeführt: zerlegen in Dreiecke, Rechtecke und Trapeze — oder zu einem Rechteck ergänzen und das Zuviel abziehen.
Die Höhe gehört immer zu einer bestimmten Grundseite
Höhe und Grundseite sind ein Paar: Die Höhe ist das Lot, das im rechten Winkel von der Grundseite zur gegenüberliegenden Ecke (Dreieck) oder zur parallelen Gegenseite (Parallelogramm, Trapez) geht. Ein Dreieck hat deshalb drei solche Paare, und alle drei liefern denselben Flächeninhalt. Gemischt eingesetzt — Grundseite aus dem einen, Höhe aus dem anderen Paar — kommt Unsinn heraus.
Wenn die Höhe außerhalb der Figur liegt
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck trifft das Lot die Verlängerung der Grundseite, liegt also außerhalb des Dreiecks. Das ist erlaubt und ändert nichts an der Formel: Entscheidend ist der senkrechte Abstand zwischen Grundseite und Ecke, nicht die Frage, ob die gestrichelte Linie innen oder außen verläuft.
Prismen: vom Vieleck zum Körper
Ein Prisma ist ein Vieleck, das in die Höhe gezogen wurde. Oben und unten liegt dieselbe Figur — die Grundfläche G —, dazwischen spannt sich der Mantel aus lauter Rechtecken. Genau deshalb bringt dir Phase 2 hier direkt Punkte: G ist eine der Flächen, die du gerade berechnen gelernt hast.
Der Körper
Grund- und Deckfläche sind kongruent und liegen parallel übereinander; bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten senkrecht darauf. Würfel und Quader sind auch Prismen.
Das Netz
Klappt man den Körper auf, entsteht ein langer Rechteckstreifen mit zwei angesetzten Grundflächen. Der Streifen ist so lang wie der Umfang der Grundfläche und so hoch wie das Prisma.
Mantelfläche M
Weil der Mantelstreifen ein einziges großes Rechteck ist, genügt eine Multiplikation: Umfang der Grundfläche mal Höhe. Du musst also zuerst u berechnen — alle Randseiten der Grundfläche addieren.
Oberfläche O
Die Oberfläche ist alles, was man anstreichen würde: zweimal die Grundfläche plus der Mantel. Kontrolle: Beim Quader liefert diese Formel genau O = 2 · (ab + ac + bc).
Der teuerste Fehler des Kapitels: a · h statt u · h
Beim Quader ist es verführerisch, für den Mantel nur eine Seitenlänge mit der Höhe zu multiplizieren — das ist aber nur eine der Seitenflächen. Der Mantel geht einmal ringsherum, also gehört der komplette Umfang in die Formel. Merksatz: Das Geschenkpapier reicht einmal um den Körper herum, nicht nur über eine Wand.
Prismen zeichnen und füllen
Zwei Aufgabentypen bleiben noch: den Körper räumlich darstellen und seinen Rauminhalt bestimmen. Beim Schrägbild gelten feste Zeichenregeln, beim Volumen eine einzige Formel — und die gilt für jedes Prisma, egal wie verwinkelt die Grundfläche ist.
Schrägbild — die Regeln
Die dem Betrachter zugewandte Frontfläche wird in Originalgröße gezeichnet. Nur die Tiefenkanten laufen schräg nach hinten — und nur sie werden verkürzt.
Verdeckte Kanten
Kanten, die hinter dem Körper liegen, werden trotzdem gezeichnet — aber gestrichelt. Beim Quader sind das genau die drei Kanten, die an der hinteren unteren linken Ecke zusammenstoßen. Werkzeug: Geodreieck für den Winkel, Lineal für die Längen.
Volumen
Ein Prisma ist ein Stapel aus lauter gleichen Schichten. Jede Schicht hat den Flächeninhalt G, und es gibt so viele davon, wie der Körper hoch ist.
Einheiten beim Volumen
Fläche mal Länge ergibt eine Kubikeinheit — cm2 · cm = cm3. Rechne vorher alle Maße in dieselbe Einheit um, sonst stimmt das Ergebnis nicht. Für Sachaufgaben ist die Brücke zu Litern wichtig.
1 m3 = 1000 L
Warum eine einzige Formel für alle Prismen reicht
Stell dir den Körper als Stapel dünner Schichten vor, die alle dieselbe Form und dieselbe Größe haben. Das Volumen ist dann Schichtfläche mal Stapelhöhe — unabhängig davon, ob die Schicht ein Quadrat, ein Dreieck oder ein Sechseck ist. Dieselbe Überlegung steckt hinter dem Prinzip von Cavalieri.
Dreieckhöhe und Prismenhöhe sind zwei verschiedene Größen
Bei einem dreiseitigen Prisma tauchen zwei Höhen auf: die Höhe im Dreieck, mit der du G = 12 · g · hΔ berechnest, und die Höhe des Körpers, mit der du anschließend V = G · h multiplizierst. Schreib beide mit unterschiedlichen Namen in die Rechnung — dann kannst du sie gar nicht verwechseln.
Die Regeln, an denen die Punkte hängen
Die meisten verlorenen Punkte in diesem Kapitel kosten keine schwierige Idee, sondern eine Kleinigkeit: ein vergessener Faktor, eine falsch abgelesene Strecke, eine Einheit, die nicht passt. Diese sechs Punkte gehen alle in die Arbeit mit.
1. Das 12 gehört zu Dreieck und Trapez — und nur dorthin
Dreieck und Trapez entstehen durch Verdoppeln, deshalb wird am Ende halbiert. Parallelogramm und Rechteck entstehen durch Umlegen, dort wird nichts halbiert. Kontrolle vor dem Abgeben: Steht in jeder Dreiecks- und Trapezrechnung der Faktor?
2. Die Höhe ist immer ein Lot, nie eine schräge Seite
Beim Parallelogramm ist die schräge Seite länger als die Höhe, beim Trapez sind die Schenkel b und d nur Dekoration. In der Aufgabe stehen oft mehr Maße, als du brauchst — nimm die Strecke, die im rechten Winkel auf der Grundseite steht, erkennbar am Viertelkreis mit Punkt.
3. Beim Mantel zählt der Umfang
M = u · h, nicht a · h. Und bei der Oberfläche gehört die Grundfläche zweimal dazu: O = 2 · G + M. Beim Würfel sind es sechs gleiche Quadrate, also O = 6 · a2 — wer vier rechnet, vergisst Boden und Deckel.
4. Einheiten zuerst angleichen, am Ende mitschreiben
Stehen in einer Aufgabe m und cm nebeneinander, rechnest du vor dem Einsetzen alles in eine Einheit um. Und prüfe am Schluss die Art der Einheit: Längen in cm, Flächen in cm2, Volumina in cm3. Eine Oberfläche in cm3 ist immer falsch.
5. Beim Schrägbild wird nur die Tiefe verkürzt
Front- und Rückfläche behalten ihre Originalmaße; halbiert wird ausschließlich, was nach hinten läuft. Verdeckte Kanten werden gestrichelt gezeichnet und nicht weggelassen — eine fehlende Kante kostet genauso Punkte wie eine durchgezogene.
6. Skizze, Rechnung, Antwortsatz
Fertige bei jeder Sachaufgabe zuerst eine Skizze an und trage die gegebenen Maße ein — dabei fällt sofort auf, ob eine Angabe fehlt oder überflüssig ist. Rechne dann in nachvollziehbaren Schritten mit Einheiten und schließe mit einem Antwortsatz ab. Zum Schluss ein Plausibilitätscheck: Passt die Größenordnung zur Situation?