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Übungen: Flächen und Volumen

Zehn Aufgaben zur Wiederholung: Umfang und Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat, danach Oberfläche und Rauminhalt von Würfel und Quader.

Zum NachschlagenZurück zur ErklärungFlächen und Volumen — Formeln zu Rechteck, Quadrat, Würfel und Quader nachlesen.
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Übungsaufgaben

Zehn Aufgaben, fortlaufend nummeriert: erst Flächen und Umfang von Rechteck und Quadrat, danach Würfel und Quader. Die Schwierigkeit steigt innerhalb jedes Themas — bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Rechteck 8 × 5 cm
AFB I

Ein Rechteck hat a = 8 cm und b = 5 cm. Berechne Flächeninhalt und Umfang.

cm²
cm
Erinnerung: Fläche eines Rechtecks: A = a · b. Umfang: U = 2 · (a + b) — also alle vier Seiten zusammen.Warum so? Beim Umfang läufst du außen herum: 2× die lange Seite + 2× die kurze Seite.
Lösung: A = 8 · 5 = 40 cm². U = 2 · (8 + 5) = 26 cm.
a = 8 cm b = 5 cm
Rechteck 8 × 5 cm
A2
Quadrat a = 7 cm
AFB I

Ein Quadrat hat die Seitenlänge a = 7 cm. Berechne Flächeninhalt und Umfang.

cm²
cm
Erinnerung: Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang. A = a · a = a². Umfang U = 4 · a.Warum so? Weil alle 4 Seiten gleich sind — also 4 mal a.
Lösung: A = 7² = 7·7 = 49 cm². U = 4 · 7 = 28 cm.
a = 7 cm a = 7 cm
Quadrat 7 × 7 cm
A3
Rechteck 14 m × 6 m
AFB I

Ein Rechteck ist a = 14 m lang und b = 6 m breit.

m
m²
Erinnerung: U = 2 · (a + b) — du läufst einmal außen herum. A = a · b — du füllst die Fläche mit Kästchen.Merke dir den Unterschied an der Einheit: Umfang ist eine Länge (m), Fläche ist ein Quadrat (m²).
Lösung: U = 2 · (14 + 6) = 2 · 20 = 40 m. A = 14 · 6 = 84 m².
A4
Zwei Rechtecke vergleichen
AFB II

Rechteck 1 ist 12 cm lang und 3 cm breit. Rechteck 2 ist 6 cm lang und 6 cm breit.

a) Berechne beide Flächeninhalte. b) Berechne beide Umfänge. c) Was fällt dir auf?

cm²
cm²
cm
cm
Erinnerung: A = a · b und U = 2 · (a + b). Rechne beide Figuren getrennt aus und lege die vier Ergebnisse nebeneinander.Gleicher Flächeninhalt bedeutet nicht gleicher Umfang. Je „quadratischer“ eine Figur ist, desto kleiner ist ihr Umfang bei gleicher Fläche — das ist der Grund, warum ein Quadrat mit 36 cm² am wenigsten Zaun braucht.
Lösung: A1 = 12 · 3 = 36 cm², A2 = 6 · 6 = 36 cm² — gleich groß. U1 = 2 · (12 + 3) = 30 cm, U2 = 2 · (6 + 6) = 24 cm — das langgestreckte Rechteck hat den größeren Umfang.
A5
Rechteck rückwärts — Seite gesucht
AFB III

Von einem Rechteck kennt man den Flächeninhalt A = 84 cm² und die Länge a = 12 cm.

a) Wie lang ist die zweite Seite b? b) Wie groß ist der Umfang?

cm
cm
Umkehraufgabe: Aus A = a · b folgt b = A ÷ a. Erst b bestimmen, dann damit den Umfang berechnen.Warum darf man teilen? Weil Multiplikation und Division Umkehroperationen sind — du machst die Rechnung a · b rückwärts.
Lösung: b = 84 ÷ 12 = 7 cm. U = 2 · (12 + 7) = 38 cm.
A6
Würfel a = 4 cm — Flächen und Oberfläche
AFB I

Ein Würfel hat die Kantenlänge a = 4 cm.

a) Wie viele Flächen hat der Würfel?

Stück

b) Welche Form hat jede einzelne Fläche? Tippe Q für Quadrat oder R für Rechteck:

c) Berechne den Oberflächeninhalt (6 Flächen · a²):

cm²
Erinnerung: Ein Würfel hat 6 gleich große Flächen — alle sind Quadrate mit Seitenlänge a. Die Oberfläche ist deshalb O = 6 · a².Würfel = „Spezial-Quader“, bei dem alle drei Kantenlängen gleich sind: a = b = c.
Lösung: 6 Flächen — alle Quadrate. O = 6 · 4² = 6 · 16 = 96 cm².
a = 4 cm
Würfel
A7
Quader 6 × 4 × 3 — Flächen zählen
AFB II

Ein Quader hat die Kantenlängen 6 cm, 4 cm und 3 cm.

a) Wie viele Flächen hat er insgesamt?

Stück

b) Wie viele verschiedene Rechtecke gibt es (jedes kommt paarweise vor)?

Stück

c) Berechne den Oberflächeninhalt: O = 2 · (a·b + a·c + b·c).

cm²
Erinnerung: Ein Quader hat 6 Flächen — aber nur 3 verschiedene Größen. Vorne/hinten sind gleich, links/rechts sind gleich, oben/unten sind gleich.Deshalb steht in der Formel der Faktor 2 — jedes „Rechteck“ kommt zweimal vor.
Lösung: 6 Flächen, 3 verschiedene Rechtecke. O = 2·(6·4 + 6·3 + 4·3) = 2·(24 + 18 + 12) = 2 · 54 = 108 cm².
a = 6 cm c = 3 cm b = 4 cm
Quader 6×4×3 cm
A8
Würfel a = 5 cm — Volumen
AFB I

Ein Würfel hat die Kantenlänge a = 5 cm. Berechne sein Volumen.

cm³
Erinnerung: Volumen eines Würfels: V = a · a · a = a³. Beim Würfel sind alle drei Kanten gleich lang.Achtung — Einheit: Bei Volumen schreiben wir cm³ (Kubikzentimeter), bei Fläche cm² (Quadratzentimeter).
Lösung: V = 5³ = 5 · 5 · 5 = 125 cm³.
a = 5 cm V = ?
Würfel — Volumen
A9
Quader 6 × 4 × 3 cm — Volumen und Oberfläche
AFB II

Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 cm, b = 4 cm und c = 3 cm.

cm³
cm²
Volumen: V = a · b · c. Oberfläche: Der Quader hat drei Paare gleich großer Flächen: O = 2 · (a·b + a·c + b·c).Warum immer · 2? Weil zu jeder Fläche eine deckungsgleiche gegenüberliegt — vorne/hinten, links/rechts, oben/unten.
Lösung: V = 6 · 4 · 3 = 72 cm³. O = 2 · (24 + 18 + 12) = 2 · 54 = 108 cm².
A10
Würfel rückwärts — V = 125 cm³
AFB III

Ein Würfel hat das Volumen V = 125 cm³.

a) Wie lang ist eine Kante? b) Wie groß ist die Oberfläche?

cm
cm²
Umkehraufgabe: Gesucht ist die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert 125 ergibt (a³ = 125). Probiere 4 · 4 · 4 und 5 · 5 · 5. Danach: O = 6 · a².Systematisches Probieren ist hier ein völlig legitimer Weg — die dritte Wurzel lernst du später als eigene Rechenart kennen.
Lösung: a³ = 125, also a = 5 cm (denn 5 · 5 · 5 = 125). O = 6 · 5² = 6 · 25 = 150 cm².