Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Grundidee des Zerlegens
AFB I
Welche Aussagen über das Berechnen beliebiger Vielecke stimmen?
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Für beliebige Vielecke gibt es bewusst keine Formel — du baust dir die Rechnung aus den Bausteinen selbst zusammen. Überlappen ist verboten, weil du das gemeinsame Stück sonst doppelt zählst; die Anzahl der Teile ist dagegen völlig frei.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I
Fünf Behauptungen rund um Zerlegen, Ergänzen und Einheiten.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Merksatz: Die Fläche einer Figur ist eine feste Größe — der Weg dorthin ist frei. Deine Zerlegung muss nur lückenlos und überschneidungsfrei sein.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB I
Setze die Fachbegriffe an die richtige Stelle — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Ein beliebiges Vieleck hat keine eigene Formel. Deshalb darfst du es in bekannte Teilfiguren . Jede Teilfläche berechnest du einzeln, danach musst du alle Werte . Hat die Figur viele einspringende Ecken, ist oft das Ergänzen schneller: Du legst ein umschließendes um die Figur und musst die Restflächen davon . Beide Wege liefern denselben .
Der „Umfang“ bleibt übrig — er wird in m gemessen, nicht in m², und hat mit der Zerlegung nichts zu tun. Diese Verwechslung kostet in Klassenarbeiten regelmäßig Punkte.
A4
Zerlegen, Ergänzen oder nichts von beidem?
AFB I
Sortiere die Arbeitsweisen in die passenden Körbe.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Zerlegen (Teile addieren)
2Ergänzen (Reste abziehen)
3keine Flächenberechnung
Faustregel: Ist die Figur „ausgefranst“, zerlegst du. Fehlt der Figur nur wenig zum Rechteck oder hat sie ein Loch, ergänzt du. Seitenlängen addieren und Ecken zählen liefern dagegen gar keine Fläche.
A5
Arbeitsschritte in Ordnung bringen
AFB I
In welcher Reihenfolge gehst du bei einem zusammengesetzten Vieleck vor?
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Die Figur skizzieren und alle gegebenen Maße eintragen.
2Eine geschickte Zerlegung wählen und die Trennlinien einzeichnen.
3Die fehlenden Teilmaße aus den gegebenen Maßen berechnen.
4Jede Teilfläche einzeln mit ihrer Formel ausrechnen.
5Alle Teilflächen addieren und das Ergebnis mit Einheit hinschreiben.
Schritt 3 wird am häufigsten übersprungen: In der Aufgabe stehen meist nur die Außenmaße, die Breiten und Höhen der Teilstücke musst du erst durch Subtrahieren bestimmen.
A6
Blitzrechnung: zweiteilige Terrasse
AFB I
Eine Terrasse besteht aus zwei aneinandergesetzten Rechtecken: A₁ ist 9 m × 4 m groß, A₂ ist 3 m × 5 m groß. Wie groß ist die Gesamtfläche?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
9 · 4 = 36 und 3 · 5 = 15, zusammen A = 51 m². Wichtig ist die Reihenfolge: erst jede Teilfläche vollständig ausrechnen, dann addieren — nicht Längen mit Flächen mischen.
A7
Begriffs-Memory
AFB I
Finde die sechs Paare aus Begriff und Bedeutung.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Das entscheidende Begriffspaar ist „Trennlinie“ und „Teilmaß“: Sobald du eine Trennlinie ziehst, entstehen neue Seitenlängen, die in der Aufgabe nicht dastehen — die musst du selbst bestimmen.
A8
Rechenkette: Haus-Fünfeck
AFB II
Ein Haus-Fünfeck: unten ein Rechteck, 8 m breit und 5 m hoch, darauf sitzt ein Giebeldreieck mit der Grundseite 8 m und der Höhe 4 m. Arbeite dich Schritt für Schritt vor.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Berechne zuerst die Rechteckfläche A₁ (8 m breit, 5 m hoch).m²
Nun das Giebeldreieck A₂ mit g = 8 m und h = 4 m.m²
Addiere beide Teilflächen zur Gesamtfläche A.m²
Wie hoch ist die Figur insgesamt — vom Boden bis zur Giebelspitze?m
8 · 5 = 40, ½ · 8 · 4 = 16, zusammen 56 m². Der letzte Schritt zeigt den Unterschied zwischen Fläche und Länge: 5 m + 4 m = 9 m Gesamthöhe — Höhen addiert man in m, Flächen in m².
A9
Kreuztabelle: welche Gesamtfläche?
AFB II
Fünf zusammengesetzte Figuren, drei mögliche Gesamtflächen. Kreuze für jede Zeile die richtige Spalte an.
Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Figur
A = 30 cm²
A = 40 cm²
A = 60 cm²
Rechteck 6 × 4 plus Dreieck (g = 6, h = 2)
Rechteck 8 × 3 plus Quadrat 4 × 4
zwei Rechtecke 5 × 6 und 5 × 6
Rechteck 10 × 5 minus Dreieck (g = 5, h = 8)
Trapez (a = 10, c = 6, h = 5) plus Dreieck (g = 8, h = 5)
Zeile 1: 24 + 6 = 30. Zeile 2: 24 + 16 = 40. Zeile 3: 30 + 30 = 60. Zeile 4: 50 − 20 = 30. Zeile 5: 40 + 20 = 60. Achte besonders auf Zeile 4 — dort steht ein Minus, weil ein Stück herausgeschnitten wurde.
A10
Welche Teilfigur ist gemeint?
AFB II
Ein Grundstück wurde in fünf Teilstücke zerlegt. Klicke im Schema jeweils das gesuchte Teilstück an.
Klicke das gesuchte Element im Schema an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Die Werte: A₁ = 36 m², A₂ = ½ · 6 · 4 = 12 m², A₃ = ½ · (8 + 4) · 3 = 18 m², A₄ = 25 m², A₅ = 6 m². Weil das Teichbecken ausgespart ist, lautet die Rechnung 36 + 12 + 18 + 25 − 6 = 85 m² — ein einziges falsches Vorzeichen verdirbt hier das ganze Ergebnis.
A11
Figur trifft Fläche
AFB II
Verbinde jede zusammengesetzte Figur mit ihrer Gesamtfläche — Kopfrechnen genügt.
Klicke links eine Figur an und dann rechts ihre Fläche — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Der Reihe nach: 28 + 12 = 40; 54 − 12 = 42; 18 + 12 = 30; 36 + 12 = 48; 30 + 24 = 54. Beim Parallelogramm wird nicht halbiert — nur Dreieck und Trapez haben den Faktor ½.
A12
Fehlersuche im Schulheft
AFB II
Sechs Sätze aus einem Schulheft — drei davon sind falsch. Finde sie.
In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2 und Zeile 6 sind die Klassiker: das vergessene ½ beim Dreieck und das falsche Vorzeichen beim Ergänzen. Beides fällt sofort auf, wenn du dein Ergebnis mit dem umschließenden Rechteck vergleichst.
A13
Lenas Rechenweg
AFB II
Begleite Lena durch eine Treppenform — bei jedem Schritt entscheidest du, wie es weitergeht.
Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Der Vergleich mit dem umschließenden Rechteck ist die beste Schnellkontrolle, die du hast: Das Ergebnis muss kleiner sein — und bei einer Treppenform grob zwischen der Hälfte und drei Vierteln liegen.
A14
Musterlösung zusammenbauen
AFB II
Eine Figur besteht aus einem Rechteck 12 m × 5 m und einem aufgesetzten Trapez mit a = 12 m, c = 6 m und h = 4 m. Baue die vollständige Musterlösung — zwei Bausteine sind Fallen.
Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die beiden Fallen sind das vergessene ½ beim Trapez (72 statt 36) und die Längeneinheit m statt m². Eine vollständige Lösung braucht immer: Skizze, Teilflächen einzeln, Summe, Antwortsatz mit Einheit.
A15
Schätz-Regler: sechseckige Terrasse
AFB II
Eine sechseckige Terrasse besteht aus einem Rechteck 6 m × 4 m, an dessen beiden schmalen Seiten je ein Dreieck mit g = 4 m und h = 3 m angesetzt ist. Schätze die Gesamtfläche — erst schieben, dann nachrechnen!
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 m²72 m²
Rechteck: 6 · 4 = 24 m². Die beiden Dreiecke: 2 · ½ · 4 · 3 = 12 m². Zusammen 36 m². Wer die Dreiecke „nach Gefühl“ dazuschätzt, landet meist zu hoch — zwei halbe Dreiecke ergeben eben nur ein Rechteck von 4 m × 3 m.
A16
Zerlegen, Ergänzen — oder beides?
AFB III
Ordne jede Aussage dem richtigen Bereich zu.
Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur Zerlegen
2 beide
3 nur Ergänzen
Die Mitte ist der eigentliche Kern: Skizze, Teilmaße und Einheit brauchst du bei jeder Strategie. Unterscheiden lassen sich die beiden Wege nur am Vorzeichen und daran, ob die Teilflächen innerhalb oder außerhalb der Figur liegen.
A17
Entscheidungsbaum: welche Strategie?
AFB III
Situation: Du sollst die Fläche eines Vielecks bestimmen, das aus einem großen Rechteck entstanden ist, aus dem an zwei Ecken je ein Dreieck herausgeschnitten wurde. Finde den passenden Weg.
Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Beide Wege wären hier rechnerisch möglich — aber das Ergänzen braucht nur drei Rechnungen statt fünf. „Geschickt zerlegen“ heißt: den Weg mit den wenigsten Teilflächen und den wenigsten selbst berechneten Teilmaßen wählen.
A18
Teilflächen-Baukasten: 68 m² treffen
AFB III
Acht Teilfiguren liegen bereit; unter jeder Schaltfläche steht ihr Flächeninhalt in m²: Rechteck 8 × 5 → 40, Rechteck 6 × 4 → 24, Trapez (a = 7, c = 3, h = 4) → 20, Quadrat 4 × 4 → 16, Dreieck (g = 8, h = 3) → 12, Parallelogramm (g = 5, h = 2) → 10, Dreieck (g = 4, h = 3) → 6, Dreieck (g = 4, h = 2) → 4. Schalte Teilflächen zu, bis die Summe genau 68 m² beträgt.
Klicke die Teilflächen an, die du verwenden möchtest. Tastatur: ←/→ wandern, Enter schaltet um. Die Summe rechnet sich live mit.
0 m²
Ziel: 68 m²
Eine mögliche Lösung ist 40 + 24 + 4 = 68, eine andere 40 + 16 + 12 = 68. Genau das ist die Kernaussage des Kapitels: Verschiedene Zerlegungen führen zur selben Gesamtfläche — entscheidend ist nur, dass die Summe stimmt.
A19
Was passiert mit der Gesamtfläche?
AFB III
Eine zusammengesetzte Figur wird verändert. Schätze für jede Zeile ein, was mit dem Flächeninhalt passiert — ohne zu rechnen.
Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halbiert, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt, 4 = verdreifacht, 5 = vervierfacht. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = halbiert5 = vervierfacht
Du zerlegst dieselbe Figur statt in zwei nun in fünf Teilflächen.
Alle Längen der Figur werden verdoppelt.
An die Figur wird eine zweite, deckungsgleiche Figur angesetzt.
Die Figur wird um 90° gedreht und an eine andere Stelle verschoben.
An die Figur werden zwei weitere, deckungsgleiche Figuren angesetzt.
Die Figur wird entlang ihrer Symmetrieachse geteilt; du betrachtest nur eine Hälfte.
Die schwierigste Zeile ist „alle Längen verdoppelt“: Jede einzelne Teilfläche wird dabei viermal so groß, also auch die Summe. Anders zerlegen, drehen oder verschieben ändert dagegen gar nichts — die Fläche gehört zur Figur, nicht zu deinem Rechenweg.
A20
Rückwärts: die fehlende Grundseite
AFB III
Eine Figur besteht aus drei Teilflächen mit A = A₁ + A₂ + A₃ = 90 cm². Bekannt sind A₁ = 36 cm² (Rechteck 9 cm × 4 cm) und A₃ = 24 cm² (Rechteck 6 cm × 4 cm). Das mittlere Teilstück ist ein Dreieck mit der Höhe h = 6 cm. Wie lang ist seine Grundseite g? Probiere, bis es passt.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Zuerst die fehlende Teilfläche bestimmen: 90 − 36 − 24 = 30 cm² für das Dreieck. Dann probieren: ½ · 10 · 6 = 30 ✓, also g = 10 cm. Wer stattdessen 90 durch 3 teilt, nimmt fälschlich an, alle Teilflächen wären gleich groß.
A21
L-Form mit vorgegebener Zerlegung
AFB I
Berechne die Fläche der L-Form. Die Trennlinie ist schon eingezeichnet — du musst nur noch zwei Rechtecke berechnen und addieren.
Maße: gesamte Breite unten 10 m, Höhe links 7 m, oben rechts ist eine Ecke von 6 m × 3 m herausgenommen.
m²
m²
m²
Ansatz: Zerlege in zwei Rechtecke entlang der eingezeichneten Linie. Jedes Rechteck einzeln berechnen, dann addieren.Warum so? Rechteck-Flächen sind elementar (a · b) — am einfachsten.
Ein T-förmiger Grundriss: der waagerechte Balken oben ist 8 m breit und 2 m hoch. Der senkrechte Balken in der Mitte ist 3 m breit und 6 m hoch (gemessen vom unteren Rand bis zur Unterkante des waagerechten Balkens).
m²
Erkenntnis: Zerlege das T in zwei Rechtecke: oberer Balken und unterer Balken.Warum so? Die natürliche Form macht es einfach: oben quer, unten senkrecht — zwei einfache Rechtecke.
Hier ist eine Figur — entscheide selbst: Zerlegen oder Ergänzen?
Figur X: U-Form mit kleinem Ausschnitt
Figur Y: Rechteck mit Loch
Warum diese Wahl?
Figur X hat einen geschlossenen Rand und natürliche Trennlinien (rechtwinklig) — Zerlegen in zwei oder drei Rechtecke ist intuitiv. Figur Y hat ein Loch — hier ist Ergänzen/Subtraktion einfacher: großes Rechteck minus kleines Loch. Beide Strategien sind grundsätzlich für alle Figuren möglich, aber eine ist meistens deutlich praktischer.
Zwei Wege
A24
Pfeil-Form — eigene Zerlegung wählen
AFB II
Ein Pfeil-förmiges Vieleck: Schaft (Rechteck) 6 cm × 3 cm, Spitze ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis 5 cm und Höhe 4 cm (an der schmalen 3-cm-Seite des Schafts angesetzt).
cm²
Hinweis zur Zerlegung
Rechteck: 6 · 3 = 18 cm². Dreieck (Spitze): ½ · 5 · 4 = 10 cm². Summe: 28 cm². Beachte: Die Basis des Dreiecks (5 cm) ist nicht dieselbe wie die Schaftbreite (3 cm). Hier ist die Spitze breiter — wie bei einer Lanze.
Pfeil zerlegen
A25
Hausgrundriss
AFB II
Der Grundriss eines Hauses ist L-förmig: Der Hauptraum ist 12 m breit (waagerecht) und 9 m tief (senkrecht). An der rechten unteren Ecke springt eine Erweiterung heraus, die 5 m breit (zusätzlich waagerecht nach rechts) und 4 m tief (also bündig mit der Unterkante des Hauptraums) ist. Für den Außenanstrich wird die Länge aller Außenwände gebraucht.
m²
m
Hinweis
Fläche: Hauptraum 12·9 = 108 m². Erweiterung 5·4 = 20 m². Gesamt: 128 m². Umfang einer L-Form: nicht 2·(Länge + Breite) der Teilrechtecke, sondern einmal außen herum. Im Uhrzeigersinn von der oberen linken Ecke: 12 (oben) + 5 (rechte Wand des Hauptraums, bis die Erweiterung beginnt: 9 − 4 = 5) + 5 (Stufe nach rechts) + 4 (rechte Wand der Erweiterung) + 17 (Unterseite, ganze Breite) + 9 (linke Wand) = 52 m. Kurzweg: Bei einer L-Form ist der Umfang genau so groß wie beim umschließenden Rechteck, hier 2·(17 + 9) = 52 m.
Hausgrundriss
A26
Trickaufgabe: Vieleck mit Loch
Mix
Ein rechteckiges Schwimmbecken ist 25 m × 12 m groß. In der Mitte befindet sich eine quadratische Insel mit 4 m Seitenlänge. Wie groß ist die Wasserfläche?
m²
Wie geht man bei „Hohlfiguren“ vor?
Ergänzen-Strategie: Außenfläche minus Innenfläche. Außen: 25 · 12 = 300 m². Loch (Insel): 4 · 4 = 16 m². Wasserfläche: 300 − 16 = 284 m². Wichtig: Die Position der Insel ist egal für die Fläche — Hauptsache, sie ist komplett im Becken. Die Fläche ändert sich nicht, wenn die Insel woanders liegt.
Becken mit Insel
A27
Triangulation: wie viele Diagonalen für ein 7-Eck?
AFB III
Ein beliebiges Vieleck mit n Ecken (also ein n-Eck) kann man von einer Ecke aus in Dreiecke zerlegen. Wie viele Diagonalen braucht man dafür mindestens, und wie viele Dreiecke entstehen?
Allgemeine Formel
Von einer Ecke aus zeichnet man Diagonalen zu allen nicht benachbarten Ecken. Da zwei Nachbarn ausfallen (links und rechts) und die Ecke selbst, bleiben n − 3 Diagonalen. Diese zerlegen das n-Eck in n − 2 Dreiecke. Bei n = 7: 4 Diagonalen, 5 Dreiecke. Bei n = 4 (Viereck): 1 Diagonale, 2 Dreiecke (das kennst du schon — wie man jedes Viereck in zwei Dreiecke teilt). Bei n = 3 (Dreieck): 0 Diagonalen, 1 Dreieck — passt auch!
7-Eck
A28
Stadtpark planen
AFB III
Ein Stadtpark hat folgende Form: Der Hauptteil ist ein Trapez mit a = 80 m, c = 50 m, h = 40 m. An der Seite a (lange Seite) ist außen ein halbkreisförmiger Spielplatz angebaut (für jetzt: behandle ihn als Trapez mit a = 30 m, c = 20 m, h = 12 m). Berechne die Gesamtfläche des Parks. Welche Strategie hilft dir?
m²
Rechenweg
Park (Trapez): A₁ = ½ · (80 + 50) · 40 = ½ · 130 · 40 = 2600 m². Spielplatz (Trapez): A₂ = ½ · (30 + 20) · 12 = ½ · 50 · 12 = 300 m². Gesamt: 2600 + 300 = 2900 m². Strategie: Zerlegen in zwei Trapeze und addieren.
Park + Spielplatz
A29
Eigene Zerlegung wählen
AFB III
Ein unregelmäßiges Fünfeck hat die folgenden Eckpunkte (im Karoraster mit 1 cm Karos): A(0,0), B(8,0), C(8,4), D(4,7), E(0,4). Skizziere das Fünfeck im Heft, finde eine sinnvolle Zerlegung und berechne die Fläche.
cm²
Lösungsskizze
Eine sinnvolle Zerlegung: Das Rechteck ABCE (0,0)→(8,0)→(8,4)→(0,4) hat 8·4 = 32 cm². Darauf sitzt das Dreieck E(0,4)-C(8,4)-D(4,7) als „Dach“: Grundseite 8 cm (EC), Höhe von D senkrecht auf EC = 7−4 = 3 cm → ½·8·3 = 12 cm². Gesamt: 32 + 12 = 44 cm². Andere Zerlegung möglich: Triangulation von A aus: die Diagonalen AC und AD teilen das Fünfeck in die drei Dreiecke ABC, ACD und ADE. Egal welche Strategie: 44 cm².
Fünfeck — Zerlegung als Beispiel
A30
Ablesen und rechnen
AFB II
Die Treppenfigur liegt auf Karopapier (1 Karo = 1 cm). Die blau gestrichelte Linie zerlegt sie schon in zwei Rechtecke. Zähle die Karos ab, berechne beide Teilflächen und danach die Gesamtfläche.
cm²
cm²
cm²
Ablesen: Rechteck A₁ ist 2 Karo breit und 2 Karo hoch, Rechteck A₂ liegt darunter und ist breiter.Beim Zerlegen darf keine Teilfläche doppelt gezählt werden — die gestrichelte Linie gehört zu beiden Rechtecken als Rand, aber die Fläche zählt nur einmal.
