Der L-förmige Aufenthaltsraum
AFB IIDie Schule richtet einen neuen Aufenthaltsraum ein. Sein Grundriss ist L-förmig, weil in einer Ecke der Technikschacht steht (M1). Der Boden soll Laminat bekommen.
Das Laminat kostet 24,90 € je Quadratmeter. Der Handwerker rechnet 8 % Verschnitt auf die Bodenfläche auf.
Die grüne gestrichelte Linie zeigt eine mögliche Zerlegung in zwei Rechtecke.
- Berechne den Flächeninhalt des Raums, indem du ihn in zwei Rechtecke zerlegst.
- Berechne denselben Flächeninhalt ein zweites Mal, indem du zum großen Rechteck ergänzt, und vergleiche die beiden Wege.
- Berechne die Materialkosten für das Laminat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Unteres Rechteck: \(6{,}40\,\text{m}\cdot 3{,}00\,\text{m}=19{,}20\,\text{m}^2\)
Oberes Rechteck: \(4{,}00\,\text{m}\cdot 1{,}80\,\text{m}=7{,}20\,\text{m}^2\)
\(A=19{,}20\,\text{m}^2+7{,}20\,\text{m}^2=26{,}40\,\text{m}^2\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Großes Rechteck: \(6{,}40\,\text{m}\cdot 4{,}80\,\text{m}=30{,}72\,\text{m}^2\)
Aussparung: \(2{,}40\,\text{m}\cdot 1{,}80\,\text{m}=4{,}32\,\text{m}^2\)
\(A=30{,}72\,\text{m}^2-4{,}32\,\text{m}^2=26{,}40\,\text{m}^2\)
Beide Wege führen zum selben Ergebnis. Beim Zerlegen werden zwei Teilflächen addiert, beim Ergänzen wird von einer größeren Fläche eine Teilfläche abgezogen. Der Rechenaufwand ist fast gleich; das Ergänzen ist hier etwas kürzer, weil man die 3,00 m nicht erst ausrechnen muss. Zwei verschiedene Wege mit gleichem Ergebnis sind zugleich eine gute Kontrolle.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Mit Verschnitt: \(26{,}40\,\text{m}^2\cdot 1{,}08=28{,}512\,\text{m}^2\)
Kosten: \(28{,}512\,\text{m}^2\cdot 24{,}90\,\tfrac{\text{€}}{\text{m}^2}\approx 709{,}95\,\text{€}\)
Das Laminat kostet rund 710 €.
Das Grundstück im Katasterplan
AFB IIIIm Katasterplan ist ein Grundstück als Fünfeck \(ABCDE\) eingezeichnet (M2). Ein Kästchen entspricht 1 m.
Der Nachbar schaut auf den Plan und meint: „Wenn ihr die Spitze \(D\) waagerecht verschiebt, ändert sich am Flächeninhalt gar nichts.“
Ein Kästchen entspricht 1 m. Die orange gestrichelte Strecke \(\overline{EC}\) ist eine mögliche Zerlegungslinie.
- Bestimme den Flächeninhalt des Grundstücks durch Zerlegen.
- Bestimme ihn ein zweites Mal durch Ergänzen zu einem Rechteck.
- Überprüfe die Behauptung des Nachbarn und begründe deine Antwort.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Rechteck \(ABCE\): \(9\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}=45\,\text{m}^2\)
Dreieck \(ECD\) mit \(g=\overline{EC}=9\,\text{m}\) und \(h=3\,\text{m}\): \(\tfrac{1}{2}\cdot 9\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=13{,}5\,\text{m}^2\)
\(A=45\,\text{m}^2+13{,}5\,\text{m}^2=58{,}5\,\text{m}^2\)
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Umgebendes Rechteck: \(9\,\text{m}\cdot 8\,\text{m}=72\,\text{m}^2\)
Linkes Restdreieck (über \(E\)): \(\tfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=6\,\text{m}^2\)
Rechtes Restdreieck (über \(C\)): \(\tfrac{1}{2}\cdot 5\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=7{,}5\,\text{m}^2\)
\(A=72\,\text{m}^2-6\,\text{m}^2-7{,}5\,\text{m}^2=58{,}5\,\text{m}^2\)
Beide Wege liefern 58,5 m².
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Behauptung ist richtig.
Das Rechteck \(ABCE\) wird von der Verschiebung überhaupt nicht berührt. Für das Dreieck \(ECD\) gilt: Die Grundseite \(\overline{EC}\) bleibt 9 m lang, und die Höhe ist der senkrechte Abstand von \(D\) zur Geraden durch \(E\) und \(C\). Weil \(D\) nur waagerecht wandert, bleibt dieser Abstand 3 m. Also bleibt die Dreiecksfläche 13,5 m² und die Gesamtfläche 58,5 m².
Beispiel \(D'(7\,|\,8)\): \(\tfrac{1}{2}\cdot 9\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}=13{,}5\,\text{m}^2\), also wieder \(45\,\text{m}^2+13{,}5\,\text{m}^2=58{,}5\,\text{m}^2\).
Der Umfang ändert sich dabei allerdings sehr wohl: Die Seiten \(\overline{ED}\) und \(\overline{DC}\) werden länger oder kürzer. Für den Zaun um das Grundstück macht die Verschiebung also durchaus einen Unterschied.