Das Vorwissen: Terme und Vorzeichen
Alles in diesem Kapitel baut auf drei Dingen aus Klasse 7 auf: Variablen, gleichartige Terme und die Vorzeichenregeln (2.0.1–2.0.3).
Variablen und Terme
Eine Variable steht für eine Zahl. Nur gleichartige Terme lassen sich zusammenfassen. Stolperstein: 3x + 2 ist nicht 5x.
Vorzeichenregeln
Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene Minus — beim Multiplizieren und Dividieren.
Einfache Gleichungen
Auf beiden Seiten dasselbe rechnen, bis x allein steht. Mit der Probe prüfen.
Warum 3x + 2 nicht 5x ist
3x heißt „dreimal eine Zahl“, 2 ist eine feste Zahl. Setzt man x = 10 ein, ergibt 3x + 2 = 32, aber 5x = 50 — also sind die Terme verschieden.
Terme umformen: Klammern auflösen und setzen
Ausmultiplizieren und Ausklammern sind dieselbe Regel — einmal von links nach rechts, einmal rückwärts gelesen (2.1.1–2.1.4).
Ausmultiplizieren
Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Summanden multipliziert. Stolperstein: nur den ersten Summanden erwischen.
Ausklammern
Den gemeinsamen Faktor aller Summanden vor die Klammer ziehen. Probe durch Ausmultiplizieren.
Minus vor der Klammer
Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen in der Klammer um.
Produkt zweier Summen
Jeder Summand der ersten Klammer mal jeder der zweiten — vier Produkte, dann zusammenfassen.
Warum man jeden Summanden trifft
3 · (x + 4) heißt: dreimal (x + 4) nebeneinander, also x + 4 + x + 4 + x + 4. Darin steckt dreimal x und dreimal 4 — nicht nur dreimal x.
Gleichungen mit Klammern und Variablen auf beiden Seiten
Erst vereinfachen, dann nach x auflösen (2.2.1–2.2.4). Am Ende zeigt sich, ob es eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt.
Gleichungen mit Klammern
Zuerst alle Klammern auflösen und zusammenfassen, dann wie gewohnt umformen.
Variablen auf beiden Seiten
Alle x-Terme auf eine Seite bringen, alle Zahlen auf die andere.
Spezialfälle
Fällt x weg, entscheidet die Restaussage: falsch heißt keine Lösung, wahr heißt jede Zahl ist Lösung.
Sachprobleme
Variable festlegen, Gleichung aufstellen, lösen, Probe am Text, Antwortsatz.
Die Probe ist Pflicht
Setzt man die Lösung in die Ausgangsgleichung ein, müssen beide Seiten denselben Wert ergeben. Die Probe gehört in die ursprüngliche Gleichung, nicht in eine umgeformte — sonst übersieht man frühe Fehler.
Die Regeln, an denen die Punkte hängen
In der Arbeit gehen die meisten Punkte nicht beim Rechnen verloren, sondern bei Vorzeichen und vergessenen Summanden.
Minusklammern immer ganz umdrehen
−(2x − 5) = −2x + 5. Wer nur das erste Vorzeichen ändert, bekommt −2x − 5 und rechnet ab da falsch weiter.
Beim Produkt zweier Summen vier Produkte
(a + b)(c + d) hat immer vier Teilprodukte. Zähle sie nach, bevor du zusammenfasst.
Lösungsmenge angeben
Nicht nur „x = 4“, sondern L = {4}. Bei den Spezialfällen L = { } oder L = ℚ — und kurz begründen, warum.