Begründung: Beim Distributivgesetz muss der Faktor 3 mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert werden — also auch mit der 4. Richtig ist: 3·(x + 4) = 3x + 12, nicht 3x + 4.
Zahlenbeispiel (z.B. x = 2): 3·(2 + 4) = 3·6 = 18. Aber 3·2 + 4 = 6 + 4 = 10. Die Ergebnisse sind verschieden → der Term ist verschieden.
Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
Aufgabenblock — AFB III (Verallgemeinern · Reflektieren)
Hier geht es nicht mehr nur ums Rechnen. Du sollst begründen, Fehler finden, Beispiele konstruieren und Aussagen verallgemeinern. 8 Aufgaben in ca. 30–40 Minuten. Manche Aufgaben haben kein Eingabefeld — überlege selbst, schreibe deine Antwort auf, und klappe danach die Reflexions-Lösung auf, um deine Antwort mit einer guten Begründung zu vergleichen. Bei Aufgaben mit Eingabefeld: kurze Antwort genügt (z.B. eine Zahl, ein Term).
1
Begründung — Warum ist 3·(x+4) ≠ 3x + 4?
AFB IIIEine Mitschülerin behauptet: „3·(x + 4) ist doch dasselbe wie 3x + 4.“ Erkläre, warum das falsch ist, und gib ein Zahlenbeispiel an, das den Fehler zeigt.
Reflexions-Lösung anzeigen
2
Konstruktion — Gleichung mit L = { } erfinden
AFB IIIKonstruiere eine Gleichung mit Klammern, die keine Lösung hat (L = { }). Schreibe sie auf und begründe.
Reflexions-Lösung anzeigen
Idee: Beide Seiten müssen nach dem Ausmultiplizieren denselben x-Anteil haben, aber verschiedene Zahlen. Dann fällt das x weg und es bleibt eine falsche Aussage.
Beispiele:
• 2·(x + 3) = 2x + 7 → 2x + 6 = 2x + 7 → 6 = 7 (falsch) ✓
• 5·(x − 1) = 5x → 5x − 5 = 5x → −5 = 0 (falsch) ✓
• 3·(2x + 4) = 6x + 1 → 6x + 12 = 6x + 1 → 12 = 1 (falsch) ✓
Wichtig: gleiche x-Koeffizienten, unterschiedliche Konstanten.
Beispiele:
• 2·(x + 3) = 2x + 7 → 2x + 6 = 2x + 7 → 6 = 7 (falsch) ✓
• 5·(x − 1) = 5x → 5x − 5 = 5x → −5 = 0 (falsch) ✓
• 3·(2x + 4) = 6x + 1 → 6x + 12 = 6x + 1 → 12 = 1 (falsch) ✓
Wichtig: gleiche x-Koeffizienten, unterschiedliche Konstanten.
3
Modellierung — Schwimmbad-Karten
AFB IIIDas Schwimmbad bietet zwei Tarife an:
• Tarif A: Jahreskarte für 60 €, jeder Besuch kostet zusätzlich 2 €.
• Tarif B: Keine Jahreskarte, jeder Besuch kostet 5 €.
Bei welcher Anzahl Besuche x kosten beide Tarife gleich viel? Stelle eine Gleichung auf und löse sie.
Besuche
Kostenterme: Tarif A: 60 + 2x. Tarif B: 5x. Gleichsetzen: 60 + 2x = 5x.
−2x: 60 = 3x → :3: x = 20. Ab 21 Besuchen lohnt sich Tarif A.
Lösung anzeigen
Tarif A: KA = 60 + 2x | Tarif B: KB = 5x
60 + 2x = 5x |−2x
60 = 3x |:3 x = 20
Bei 20 Besuchen kosten beide Tarife 100 €. Mehr als 20 → Tarif A günstiger.
60 + 2x = 5x |−2x
60 = 3x |:3 x = 20
Bei 20 Besuchen kosten beide Tarife 100 €. Mehr als 20 → Tarif A günstiger.
4
Fehler finden — Felix' Rechnung
AFB IIIFelix hat gerechnet:
„5 − (x + 2) = 5 − x + 2 = 7 − x“
Wo ist der Fehler? Was wäre richtig? Wie lautet das korrekte Ergebnis?
Reflexions-Lösung anzeigen
Der Fehler: Felix hat zwar das Minus vor x richtig übernommen, aber das Vorzeichen der 2 nicht umgedreht. Bei Minus vor der Klammer müssen alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht werden.
Richtig: 5 − (x + 2) = 5 − x − 2 = 3 − x.
Probe (x = 1): Original 5 − (1 + 2) = 5 − 3 = 2. Felix: 7 − 1 = 6. Korrekt: 3 − 1 = 2. ✓
Richtig: 5 − (x + 2) = 5 − x − 2 = 3 − x.
Probe (x = 1): Original 5 − (1 + 2) = 5 − 3 = 2. Felix: 7 − 1 = 6. Korrekt: 3 − 1 = 2. ✓
5
Umkehrung — Welcher Term wurde zu „6x + 10“ ausmultipliziert?
AFB IIIJemand hat einen Klammer-Term ausmultipliziert und das Ergebnis 6x + 10 erhalten. Welche einfache Klammerform hätte er als Ausgangsterm haben können? Gib den Term in der Form a·(… + …) an.
Größter gemeinsamer Teiler von 6 und 10 ist 2. Klammere die 2 aus.
Lösung anzeigen
ggT(6, 10) = 2 → 6x = 2·3x und 10 = 2·5
6x + 10 = 2·(3x + 5)
Probe: 2·(3x + 5) = 6x + 10 ✓
6x + 10 = 2·(3x + 5)
Probe: 2·(3x + 5) = 6x + 10 ✓
6
Verallgemeinerung — Für welche n gilt n·(x+3) − n·x = 3n?
AFB IIIFür welche Zahlen n gilt die Gleichung n·(x + 3) − n·x = 3n? Antworte mit „alle“, „keine“ oder einer konkreten Zahl.
Linke Seite ausmultiplizieren: n·(x + 3) − n·x = nx + 3n − nx = 3n.
Links und rechts steht 3n — egal welches n du wählst, die Gleichung stimmt immer. Es ist eine Identität.
Lösung anzeigen
n·(x + 3) − n·x = nx + 3n − nx = 3n
Also: 3n = 3n — wahr für jedes n (und übrigens auch für jedes x).
Die Gleichung gilt für alle n.
Das ist eine allgemeingültige Aussage über das Distributivgesetz.
Also: 3n = 3n — wahr für jedes n (und übrigens auch für jedes x).
Die Gleichung gilt für alle n.
Das ist eine allgemeingültige Aussage über das Distributivgesetz.
7
Konstruktion — Gleichung mit Lösung x = 5
AFB IIIErfinde eine Gleichung mit Klammern auf beiden Seiten, deren Lösung x = 5 ist. Schreibe sie auf, multipliziere aus und prüfe deine Lösung durch Einsetzen.
Reflexions-Lösung anzeigen
Strategie: Starte mit x = 5 und „verkleide“ es. Beispiel: Beide Seiten müssen für x = 5 denselben Wert haben.
Konstruktion (1): 2·(x + 1) = 3·(x − 3) + 5? Probe x = 5: links 2·6 = 12, rechts 3·2 + 5 = 11. Nicht passend.
Konstruktion (2): 2·(x − 1) = x + 3. Probe x = 5: links 2·4 = 8, rechts 5 + 3 = 8 ✓
Weiteres Beispiel: 3·(x − 2) = 2·(x − 1)+1. Probe x = 5: 3·3 = 9, 2·4 + 1 = 9 ✓
Es gibt unendlich viele Möglichkeiten — wichtig ist nur, dass deine Probe aufgeht.
Konstruktion (1): 2·(x + 1) = 3·(x − 3) + 5? Probe x = 5: links 2·6 = 12, rechts 3·2 + 5 = 11. Nicht passend.
Konstruktion (2): 2·(x − 1) = x + 3. Probe x = 5: links 2·4 = 8, rechts 5 + 3 = 8 ✓
Weiteres Beispiel: 3·(x − 2) = 2·(x − 1)+1. Probe x = 5: 3·3 = 9, 2·4 + 1 = 9 ✓
Es gibt unendlich viele Möglichkeiten — wichtig ist nur, dass deine Probe aufgeht.
8
Modellierung — Quadrat aus Streichhölzern
AFB IIIAus Streichhölzern wird eine Reihe von Quadraten gelegt, bei der benachbarte Quadrate eine Seite teilen (Figur 1: 1 Quadrat = 4 Hölzer; Figur 2: 2 Quadrate = 7 Hölzer; Figur 3: 3 Quadrate = 10 Hölzer …).
(a) Stelle einen Term auf, der die Anzahl Hölzer für n Quadrate angibt.
(b) Wie viele Quadrate kann man aus 100 Hölzern legen?
Muster: Pro Quadrat kommen 3 neue Hölzer dazu (die geteilte Seite gibt es nur einmal). Start: 4 Hölzer für 1 Quadrat.
H(n) = 4 + 3·(n − 1) = 3n + 1. Für (b): 3n + 1 ≤ 100 → 3n ≤ 99 → n ≤ 33.
Lösung anzeigen
(a) Beim 1. Quadrat: 4 Hölzer. Jedes weitere bringt nur 3 dazu.
H(n) = 4 + 3·(n − 1) = 4 + 3n − 3 = 3n + 1
(b) 3n + 1 ≤ 100 |−1
3n ≤ 99 |:3 → n ≤ 33
Man kann maximal 33 Quadrate legen (mit 3·33 + 1 = 100 Hölzern, also genau passend).
H(n) = 4 + 3·(n − 1) = 4 + 3n − 3 = 3n + 1
(b) 3n + 1 ≤ 100 |−1
3n ≤ 99 |:3 → n ≤ 33
Man kann maximal 33 Quadrate legen (mit 3·33 + 1 = 100 Hölzern, also genau passend).
Stark — du hast alle drei Übungsstufen geschafft!
Bereit für die Klassenarbeit?
Jetzt empfiehlt sich der Klassenarbeits-Block mit gemischten Aufgaben unter Zeitlimit.