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AFB II — Zusammenhänge herstellen

Übung — AFB II (Zusammenhänge)

Zehn Aufgaben, in denen mehrere Regeln zusammenspielen: ausklammern, binomische Formeln rückwärts lesen und Klammern in Sachaufgaben.

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Aufgabenblock — AFB II (Zusammenhänge)

Hier werden mehrere Regeln zugleich gebraucht: ausmultiplizieren und zusammenfassen, Klammern beidseits einer Gleichung, kleine Sachsituationen. 10 Aufgaben in ca. 25–35 Minuten. Jede Aufgabe hat einen gestuften Tipp und eine ausführliche Lösung. Bei Termergebnissen: ohne Leerzeichen, Reihenfolge der Summanden egal.

1
Term vereinfachen — 3·(x+4) − 2·(x−1)
AFB II

Multipliziere die Klammern aus und fasse zusammen.

3 · (x + 4) − 2 · (x − 1) =

Schritt 1: Beide Klammern ausmultiplizieren: 3x + 12 − 2x + 2 (Vorzeichen bei der 2. Klammer beachten!).
Schritt 2: x-Terme zusammen, Zahlen zusammen: (3x − 2x) + (12 + 2).
Lösung anzeigen
3·(x + 4) − 2·(x − 1) = 3x + 12 − 2x + 2
= (3x − 2x) + (12 + 2) = x + 14
2
Produkt von Summen — (x + 2)·(x + 5)
AFB II

Multipliziere aus und fasse zusammen.

(x + 2) · (x + 5) =

FOIL / jeder mit jedem: x·x + x·5 + 2·x + 2·5.
= x² + 5x + 2x + 10. Mittlere Terme zusammenfassen.
Lösung anzeigen
(x + 2)·(x + 5) = x·x + x·5 + 2·x + 2·5
= x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10
3
Produkt von Summen — (x − 3)·(x + 4)
AFB II

Multipliziere aus und fasse zusammen.

(x − 3) · (x + 4) =

x·x + x·4 + (−3)·x + (−3)·4 = x² + 4x − 3x − 12.
4x − 3x = 1x = x. Also bleibt: x² + x − 12.
Lösung anzeigen
(x − 3)·(x + 4) = x² + 4x − 3x − 12 = x² + x − 12
4
Verschachtelte Klammern — 4 − [2 + 3·(x − 1)]
AFB II

Löse von innen nach außen auf.

4 − [2 + 3 · (x − 1)] =

Innere Klammer zuerst: 3·(x − 1) = 3x − 3. Eingesetzt: 4 − [2 + 3x − 3].
Eckige Klammer zusammenfassen: 2 + 3x − 3 = 3x − 1. Dann 4 − (3x − 1) = 4 − 3x + 1.
Lösung anzeigen
3·(x − 1) = 3x − 3
4 − [2 + 3x − 3] = 4 − [3x − 1] = 4 − 3x + 1 = 5 − 3x
5
Gleichung mit Klammern beidseits — 2·(x + 1) = 3·(x − 2)
AFB II

Löse die Gleichung.

2 · (x + 1) = 3 · (x − 2)

Erst beide Klammern auflösen: 2x + 2 = 3x − 6.
−2x beidseits: 2 = x − 6 → +6: x = 8.
Lösung anzeigen
2·(x + 1) = 3·(x − 2) → 2x + 2 = 3x − 6 |−2x
2 = x − 6 |+6
x = 8
6
Gleichung — 5·(2x − 3) = 4·(x + 3)
AFB II

Löse die Gleichung.

5 · (2x − 3) = 4 · (x + 3)

Ausmultiplizieren: 10x − 15 = 4x + 12.
−4x: 6x − 15 = 12 → +15: 6x = 27 → :6: x = 27/6 = 4,5.
Lösung anzeigen
10x − 15 = 4x + 12 |−4x
6x − 15 = 12 |+15
6x = 27 |:6 x = 4,5
7
Textaufgabe — Rechteck-Umfang
AFB II

Ein Rechteck hat die Länge x + 4 (in cm) und die Breite x − 1. Stelle den Umfang als Term auf und gib ihn vereinfacht an.

cm
Umfang Rechteck: u = 2·(Länge + Breite) = 2·[(x + 4) + (x − 1)].
Innen zusammenfassen: (x + 4) + (x − 1) = 2x + 3. Dann · 2 = 4x + 6.
Lösung anzeigen
u = 2·(L + B) = 2·[(x + 4) + (x − 1)] = 2·(2x + 3) = 4x + 6 cm
8
Textaufgabe — Zahlenrätsel
AFB II

„Das Dreifache einer Zahl, vermindert um 5, ist gleich dem Doppelten derselben Zahl, vermehrt um 4.“ Stelle eine Gleichung auf und berechne die Zahl.

Übersetze: „Dreifache vermindert um 5“ = 3x − 5. „Doppelte vermehrt um 4“ = 2x + 4. Gleichung: 3x − 5 = 2x + 4.
−2x: x − 5 = 4 → +5: x = 9.
Lösung anzeigen
3x − 5 = 2x + 4 |−2x
x − 5 = 4 |+5 x = 9
Probe: 3·9 − 5 = 22 und 2·9 + 4 = 22 ✓
9
Spezialfall erkennen — 2·(x + 3) = 2x + 6
AFB II

Löse die Gleichung. Gib als Antwort entweder eine Zahl, „alle“ (für unendlich viele Lösungen) oder „keine“ (für keine Lösung) ein.

2 · (x + 3) = 2x + 6

Klammer ausmultiplizieren: 2x + 6 = 2x + 6. Was fällt auf?
Beide Seiten sind identisch. Egal welches x du einsetzt — es stimmt immer. → unendlich viele Lösungen.
Lösung anzeigen
2·(x + 3) = 2x + 6 → 2x + 6 = 2x + 6 |−2x → 6 = 6 (immer wahr)
L = ℝ — alle reellen Zahlen
10
Spezialfall erkennen — 3·(x + 2) = 3x + 1
AFB II

Löse die Gleichung. Antwort wie in Aufgabe 9.

3 · (x + 2) = 3x + 1

Ausmultiplizieren: 3x + 6 = 3x + 1. Was passiert, wenn du −3x rechnest?
Du bekommst 6 = 1 — das ist eine falsche Aussage. → keine Lösung.
Lösung anzeigen
3·(x + 2) = 3x + 1 → 3x + 6 = 3x + 1 |−3x → 6 = 1 (falsch)
L = { } — keine Lösung

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Übung — AFB III (Verallgemeinern)

Im letzten Schritt: Begründen, Modellieren, Fehler finden und kleine Knobelaufgaben.

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