Das Vorwissen: Gleichungen und Geraden
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei Geradengleichungen. Dafür braucht man Umformen, die Form y = m · x + b und die Punktprobe (5.0.1–5.0.3).
Gleichungen umformen
Auf beiden Seiten dasselbe rechnen, bis die gesuchte Variable allein steht.
Geradengleichung
Steigung m und y-Achsenabschnitt b legen die Gerade fest.
Punktprobe
Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen.
Warum man nach y auflöst
In der Form y = m · x + b kann man die Gerade sofort zeichnen und zwei Gleichungen direkt vergleichen. Deshalb beginnen viele Verfahren mit genau diesem Schritt.
Vier Wege zur Lösung
Gesucht ist das Zahlenpaar (x | y), das beide Gleichungen zugleich erfüllt — grafisch der Schnittpunkt beider Geraden (5.1.1–5.1.4).
Grafisch
Beide Geraden zeichnen und den Schnittpunkt ablesen. Anschaulich, aber oft ungenau.
Gleichsetzungsverfahren
Beide Gleichungen nach y auflösen und gleichsetzen.
Einsetzungsverfahren
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere einsetzen.
Additionsverfahren
Gleichungen so vervielfachen, dass beim Addieren eine Variable wegfällt.
Welches Verfahren wann?
Steht schon „y = …“ in beiden Gleichungen: Gleichsetzen. Steht eine Variable allein: Einsetzen. Stehen gleiche oder entgegengesetzte Koeffizienten untereinander: Addieren.
Keine oder unendlich viele Lösungen
Parallele Geraden schneiden sich nie: keine Lösung (z. B. 0 = 4). Identische Geraden haben alle Punkte gemeinsam: unendlich viele Lösungen (0 = 0).
Vom Text zum System
Bei Anwendungsaufgaben ist das Aufstellen die eigentliche Arbeit; das Lösen ist danach Routine (5.1.5).
Variablen festlegen
Beide Unbekannten mit Bedeutung und Einheit notieren.
Zwei Gleichungen aufstellen
Jede Information im Text liefert eine Gleichung — typisch: eine Anzahl und ein Preis.
Lösen und deuten
Mit einem passenden Verfahren lösen, am Text prüfen und einen Antwortsatz schreiben.
Probe am Text, nicht nur an den Gleichungen
Ein Rechenfehler beim Aufstellen fällt bei der Probe in den eigenen Gleichungen nicht auf. Deshalb die Lösung am Aufgabentext prüfen: Stimmen Anzahl und Gesamtpreis?
Die Regeln, an denen die Punkte hängen
Die meisten Punkte gehen beim Vervielfachen, bei Vorzeichen und bei der zweiten Variablen verloren.
Beim Vervielfachen jede Zahl erwischen
Wird eine Gleichung mit 3 multipliziert, gilt das für jeden Summanden auf beiden Seiten — auch für die Zahl rechts.
Die zweite Variable nicht vergessen
Nach x = 3 ist die Aufgabe nicht fertig. Den Wert in eine Ausgangsgleichung einsetzen und y berechnen.
Lösung als Zahlenpaar
L = {(3 | 2)} — mit Probe in beiden Gleichungen. Bei den Sonderfällen L = { } oder „unendlich viele Lösungen“ begründen.