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Übung — AFB I

10 Aufgaben zum Reproduzieren: Verfahren erkennen, einsetzen, ausrechnen — quer durch alle fünf Unterkapitel.

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Aufgabenblock — AFB I

Diese Übung deckt alle fünf Unterkapitel des Themas „Gleichungssysteme“ ab: grafisch lösen, Gleichsetzen, Einsetzen, Addieren und Anwenden. Du löst 10 Standardaufgaben der Anforderungsstufe AFB I (Reproduzieren) — also: Verfahren kennen, Werte einsetzen, ausrechnen. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klassenarbeit.

A1
Wie schreibt man die Lösung auf?
AFB I

Ein Gleichungssystem hat die Lösung x = 3 und y = 2. Welche Schreibweisen beschreiben genau diese Lösung?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Reihenfolge im Zahlenpaar ist fest: erst x, dann y. Und es muss „und“ heißen — beide Gleichungen sollen ja gleichzeitig stimmen. (2 | 3) wäre eine ganz andere Lösung.
A2
Schnittpunkt ablesen
AFB I

Die Zeichnung zeigt die Geraden I: y = 0,5x + 1 und II: y = −x + 4. Lies die Koordinaten des Schnittpunkts ab.

Wo kreuzen sie sich?: Suche den einen Punkt, durch den beide Geraden laufen.
Ablesen: Gehe vom Kreuzungspunkt senkrecht nach unten zur x-Achse und waagerecht nach links zur y-Achse.
Lösung: Der Schnittpunkt ist S (2 | 2), also x = 2 und y = 2.
xyIIIS (2 | 2)
Die beiden Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
A3
Gleichsetzungsverfahren — Schritt für Schritt
AFB I

I y = 2x − 3
II y = −x + 6

Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst — also darfst du die rechten Seiten gleichsetzen.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Setze gleich: 2x − 3 = −x + 6. Addiere auf beiden Seiten x. Wie viele x stehen jetzt links? x
  2. Addiere auf beiden Seiten 3. Welche Zahl steht rechts?
  3. Teile durch 3. Wie groß ist x?
  4. Setze x in Gleichung I ein. Wie groß ist y?
Die Lösung ist L = {(3 | 3)}. Die Probe in Gleichung II: −3 + 6 = 3 ✓ — immer in der anderen Gleichung prüfen, sonst merkst du einen Rechenfehler nicht.
A4
Einsetzungsverfahren anwenden
AFB I

I y = 3x
II 2x + y = 15

Gleichung I ist bereits nach y aufgelöst. Setze sie in Gleichung II ein und berechne x und y.

Einsetzen: Ersetze in Gleichung II das y durch 3x: 2x + 3x = 15.
Zusammenfassen: 2x + 3x sind 5x. Also 5x = 15.
Lösung: x = 3, und mit Gleichung I: y = 3·3 = 9. Also L = {(3 | 9)}.
A5
Bauplan für das Additionsverfahren
AFB I

I x + y = 9
II x − y = 3

Setze die fünf Schritte in der richtigen Reihenfolge zusammen. Zwei Bausteine sind falsch und bleiben übrig.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Beim Addieren fällt y weg, weil +y und −y sich gegenseitig aufheben. Das ist der ganze Trick des Verfahrens — eine Variable verschwindet, und es bleibt eine einzige Gleichung mit x.
A6
Wie viele Lösungen hat das System?
AFB I

Zwei Geraden können sich schneiden, parallel sein oder aufeinanderliegen. Kreuze für jedes System die richtige Anzahl an.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Gleichungssystemgenau einekeineunendlich viele
y = 2x + 1  und  y = 2x − 3
y = 2x + 1  und  y = −x + 4
y = 3x − 2  und  2y = 6x − 4
y = 0,5x  und  y = 4 − x
x + y = 5  und  2x + 2y = 6
Entscheidend ist der Vergleich von m und b: gleiches m und gleiches b → dieselbe Gerade (unendlich viele Lösungen); gleiches m, aber verschiedenes b → parallel (keine Lösung); verschiedenes m → genau ein Schnittpunkt.
A7
Gleichung nach y umstellen
AFB I

Stelle 3x + 2y = 12 nach y um und gib Steigung m und y-Achsenabschnitt b an. Das brauchst du, bevor du eine Gerade zeichnen oder gleichsetzen kannst.

x-Glied wegschaffen: Subtrahiere auf beiden Seiten 3x: 2y = −3x + 12.
Durch 2 teilen: Jedes Glied wird geteilt: −3x : 2 = −1,5x und 12 : 2 = 6.
Lösung: y = −1,5x + 6, also m = −1,5 und b = 6. Trage die Kommazahl mit Komma ein: −1,5 — das Minuszeichen gehört dazu.
xyy = −1,5x + 6
Die umgestellte Gerade fällt: pro Schritt nach rechts geht es 1,5 nach unten.
A8
Welche Lösung gehört zu welchem System?
AFB I

Alle fünf Systeme sind bereits nach y aufgelöst. Setze gleich und ordne jedem System sein Lösungspaar zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Zwei Systeme haben denselben x-Wert 3, aber verschiedene y-Werte — deshalb reicht es nie, nur x auszurechnen. Setze x immer noch in eine der beiden Gleichungen ein.
A9
Probe machen
AFB I

Behauptet wird: (4 | 1) löst das System

I 2x + 3y = 11
II x − y = 3

Setze x = 4 und y = 1 ein und berechne, welchen Wert die linke Seite jeder Gleichung annimmt.

Einsetzen I: Rechne 2·4 + 3·1. Punkt vor Strich beachten.
Einsetzen II: Rechne 4 − 1.
Lösung: I ergibt 8 + 3 = 11 und II ergibt 3. Beide Gleichungen stimmen — (4 | 1) ist also wirklich die Lösung.
A10
Stimmt das?
AFB I

Fünf Grundaussagen über lineare Gleichungssysteme.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die drei rechnerischen Verfahren liefern denselben Schnittpunkt wie die Zeichnung — nur eben exakt. Deshalb ist die Zeichnung gut zum Verstehen und zur Kontrolle, aber das Rechnen bringt die Punkte.

Wie war es?

Wie sicher fühlst du dich nach diesen 10 Aufgaben der Stufe AFB I?