Dreißig Aufgaben zum Gleichsetzungsverfahren — von der Begriffsklärung bis zum Sonderfall mit unbekanntem Parameter. Die ersten zwanzig sind interaktiv: anklicken, sortieren, verbinden, schätzen. Die letzten zehn rechnest du selbst und prüfst deine Zahl direkt im Feld; zu jeder gibt es drei Hilfestufen, wobei die dritte die vollständige Lösung zeigt.
Die Kürzel bedeuten: AFB I — wiedergeben und direkt anwenden, AFB II — selbstständig übertragen, AFB III — begründen, verallgemeinern und eigene Wege finden. Zwei Aufgaben sind mit Mix gekennzeichnet: Dort brauchst du auch Wissen aus dem Kapitel zum grafischen Lösen. Der Balken oben zählt mit, wie viele Aufgaben du geschafft hast.
A1
Was stimmt über das Verfahren?
AFB I
Kreuze alle Aussagen an, die auf das Gleichsetzungsverfahren zutreffen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Gleichsetzen darfst du nur zwei Terme, die dasselbe beschreiben — hier zwei y-Terme. Bei gleicher Steigung funktioniert das Verfahren übrigens auch, es liefert dann nur einen der beiden Sonderfälle.
A2
Stimmt das?
AFB I
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5
Die beiden Sonderfälle sind Spiegelbilder: wahre Aussage → unendlich viele Lösungen, falsche Aussage → keine Lösung. Und x allein ist nie die ganze Antwort.
A3
Der Rechenweg als Lückentext
AFB I
Setze die Fachbegriffe an die richtigen Stellen. Zwei Wörter bleiben übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Beim Gleichsetzungsverfahren werden zuerst beide Gleichungen nach derselben Variablen . Danach darfst du die beiden übrig gebliebenen Terme . Die neue Gleichung enthält nur noch eine . Ist x berechnet, musst du diesen Wert in eine der Ausgangsgleichungen , um y zu bekommen. Zum Schluss folgt die in beiden Gleichungen, und die wird notiert.
Zwei Wörter bleiben übrig: Steigung und Nullstelle gehören zur Geraden, nicht zum Rechenweg. Die sechs eingesetzten Begriffe sind genau die fünf Schritte des Verfahrens.
A4
Die fünf Schritte ordnen
AFB I
Bringe die Arbeitsschritte des Gleichsetzungsverfahrens in die richtige Reihenfolge.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Beide Gleichungen nach y auflösen.
2Die beiden y-Terme mit einem Gleichheitszeichen verbinden.
3Die entstandene Gleichung nach x auflösen.
4Das gefundene x in eine der Gleichungen einsetzen und y berechnen.
5Probe in beiden Gleichungen machen und die Lösungsmenge notieren.
Der häufigste Fehler ist, Schritt 4 wegzulassen. Ohne y hast du nur die halbe Lösung — und ohne Schritt 5 merkst du einen Rechenfehler erst bei der Rückgabe der Arbeit.
A5
Wie viele Lösungen?
AFB I
Sortiere jede Karte in den Korb mit der passenden Lösungsanzahl.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Genau eine Lösung
2Keine Lösung
3Unendlich viele Lösungen
Faustregel: Steht nach dem Gleichsetzen noch ein x da, gibt es genau eine Lösung. Fällt das x weg, entscheidet die übrig gebliebene Zahlenaussage — wahr heißt unendlich viele, falsch heißt keine.
A6
Rechenkette: I: y = 3x − 4, II: y = x + 2
AFB II
Löse das System Schritt für Schritt. Jeder Schritt schaltet den nächsten frei.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Setze die beiden y-Terme gleich und löse nach x auf. Wie groß ist x?
Setze dein x in II ein. Wie groß ist y?
Probe in I: Welchen Wert liefert 3 · 3 − 4?
Wie viele Lösungen hat dieses System?Lösung
Beide Gleichungen liefern bei x = 3 denselben Wert 5 — deshalb ist (3 | 5) der Schnittpunkt und L = {(3 | 5)}.
A7
Nur das x
AFB I
Gegeben ist I: y = 5x − 8 und II: y = 3x. Welchen x-Wert hat der Schnittpunkt?
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
5x − 8 = 3x | − 3x ergibt 2x − 8 = 0, also 2x = 8 und x = 4. Zur Kontrolle: In II ist y = 3 · 4 = 12, in I ist y = 5 · 4 − 8 = 12.
A8
Welches x gehört zu welchem System?
AFB II
Bestimme für jedes System die x-Koordinate des Schnittpunkts und setze das Kreuz.
Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
System
x = 1
x = 2
x = 3
I: y = 2x + 1, II: y = x + 2
I: y = 4x − 3, II: y = x + 3
I: y = 5x, II: y = 2x + 9
I: y = −x + 8, II: y = 3x
I: y = 0,5x + 2,5, II: y = x + 1
Die Rechnungen: 2x + 1 = x + 2 → x = 1 · 4x − 3 = x + 3 → x = 2 · 5x = 2x + 9 → x = 3 · −x + 8 = 3x → x = 2 · 0,5x + 2,5 = x + 1 → x = 3. Du musst nie y ausrechnen, um das x zu bestimmen.
A9
System und Lösung verbinden
AFB II
Verbinde jedes Gleichungssystem mit seiner Lösung.
Klicke links ein System an und dann rechts seine Lösung — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Tipp fürs Zuordnen: Rechne nur das x aus — die x-Werte 2, 4, 3, 3 und 4 grenzen die Möglichkeiten schon stark ein. Erst bei gleichem x brauchst du zusätzlich das y.
A10
Memory: Begriff und Bedeutung
AFB I
Finde die acht Paare aus Fachbegriff und Erklärung.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Versuche: 0 von 16
Die drei Zeilen 4 = 4, 4 = 7 und L = { } gehören eng zusammen: Sie sind die Sprache, in der du die Sonderfälle in der Klassenarbeit aufschreibst.
A11
Grafisch oder rechnerisch?
AFB II
Welche Aussage gehört zu welchem Verfahren — oder zu beiden?
Ordne jede Aussage einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur grafisch
2 beide Verfahren
3 nur Gleichsetzen
Beide Verfahren beantworten dieselbe Frage und liefern dasselbe Ergebnis. Der Unterschied liegt nur im Weg: ablesen ist anschaulich, rechnen ist exakt.
A12
Fehlersuche: I: y = 4x − 1, II: y = 2x + 5
AFB II
Ein Mitschüler hat so gerechnet. Markiere alle Zeilen, die einen Fehler enthalten.
In dieser Lösung stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Drei Fehler, drei Typen: ein Rechenfehler beim Umformen, eine unvollständige Antwort und eine Probe, die nichts prüft. Genau diese drei kosten in Klassenarbeiten die meisten Punkte.
A13
Toms Rechenweg
AFB II
Begleite Tom durch die Aufgabe und wähle in jedem Schritt die richtige Fortsetzung.
Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
Der komplette Ablauf: gleichsetzen → x sammeln → durch den Vorfaktor teilen → y berechnen und Probe. Vier Schritte, und jeder einzelne ist eine typische Fehlerquelle.
A14
Entscheidungsbaum: Wie geht es weiter?
AFB II
Vor dir liegt I: y = 4x − 5 und II: 2x + y = 7. Arbeite dich durch den Baum, bis du beim passenden Vorgehen landest.
Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Der Baum zeigt: Umformen ist kein Sonderfall, sondern der Normalfall. Nur wenn das Auflösen nach y auf Brüche führt, lohnt sich der Umweg über x.
A15
Lösungsweg zusammenbauen
AFB II
Baue den vollständigen Lösungsweg für I: y = x + 6 und II: y = 3x − 2. Zwei Bausteine sind falsch und bleiben übrig.
Setze den Lösungsweg von oben nach unten zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die beiden Fallen sind Klassiker: das vergessene Teilen durch 2 (x = 8 statt x = 4) und die vertauschten Koordinaten. In der Lösungsmenge steht immer erst x, dann y.
A16
Erst umformen, dann das x bestimmen
AFB III
Bei jedem System ist mindestens eine Gleichung noch nicht nach y aufgelöst. Bestimme trotzdem die x-Koordinate des Schnittpunkts.
Wähle für jede Zeile die x-Koordinate des Schnittpunkts: 1 = x ist 1, 2 = x ist 2, 3 = x ist 3, 4 = x ist 4, 5 = x ist 5. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = x ist 15 = x ist 5
I: 2y = 4x + 2 und II: y = −x + 7
I: y = 3x − 2 und II: x + y = 10
I: 3y = 12x und II: y = 2x + 2
I: y − x = 5 und II: y = 2x + 1
I: 2y = x + 8 und II: y = 1,5x − 1
In jeder Zeile musste zuerst umgeformt werden: 2y = 4x + 2 wird zu y = 2x + 1, x + y = 10 wird zu y = 10 − x, 3y = 12x wird zu y = 4x, y − x = 5 wird zu y = x + 5 und 2y = x + 8 zu y = 0,5x + 4. Erst danach darf man gleichsetzen.
A17
Welcher Schritt ist gemeint?
AFB II
Fünf Fragen zum Ablauf des Verfahrens. Klicke jeweils den passenden Schritt im Schema an.
Klicke den gesuchten Schritt im Schema an. Mit der Tastatur: Tab oder Pfeiltasten zum Wandern, Enter zum Auswählen.
Schritt 3 ist der entscheidende: Steht dort am Ende noch ein x, gibt es genau eine Lösung. Fällt das x weg, bleibt eine wahre oder falsche Aussage übrig — und damit unendlich viele oder gar keine Lösung.
A18
Rückwärts: die zweite Gleichung finden
AFB III
Von einem System kennst du nur Gleichung I: y = 2x + 1 und die x-Koordinate des Schnittpunkts: x = 4.
Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
Wie groß ist die y-Koordinate des Schnittpunkts?
Gleichung II lautet y = −x + b. Wie groß muss b sein?
Welchen y-Wert hat Gerade II an der Stelle x = 0?
Wie viele Lösungen hätte das System, wenn II stattdessen y = 2x + 5 wäre?Lösungen
Rückwärts denken heißt: Der Schnittpunkt (4 | 9) muss beide Gleichungen erfüllen. Aus 9 = −4 + b folgt b = 13. Und y = 2x + 5 hätte dieselbe Steigung wie I — parallele Geraden, also null Lösungen.
A19
Zwei Kerzen
AFB II
Eine dicke Kerze ist 24 cm hoch und brennt 3 cm pro Stunde herunter, eine dünne ist 12 cm hoch und brennt 1 cm pro Stunde herunter. Schätze zuerst: Nach wie vielen Stunden sind beide gleich hoch?
Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 Stunden12 Stunden
Die Rechnung: 24 − 3x = 12 − x | + 3x ergibt 24 = 12 + 2x, dann | − 12 ergibt 12 = 2x und damit x = 6. Nach 6 Stunden sind beide Kerzen genau 6 cm hoch. Danach überholt die dünne Kerze die dicke — die dicke ist nach 8 Stunden ganz abgebrannt.
A20
Sonderfälle durchschauen
AFB III
Kreuze alle Aussagen an, die richtig sind. Achte besonders auf die Unterscheidung der beiden Sonderfälle.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Gleiche Steigung heißt nur: kein einziger Schnittpunkt. Ob es null oder unendlich viele Lösungen sind, entscheidet der y-Achsenabschnitt. Und L = { } ist die leere Menge — genau das Gegenteil von unendlich vielen Lösungen.
A21
Zwei Systeme lösen
AFB I
Löse beide Systeme mit dem Gleichsetzungsverfahren und gib jeweils x und y an.
Ansatz: Beide Gleichungen sind schon nach y aufgelöst. Setze die rechten Seiten gleich: x + 4 = 3x − 2.Warum hilft das? Aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten wird eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.
Rechenweg: Sammle die x auf einer Seite: x + 4 = 3x − 2 | − x ergibt 4 = 2x − 2, dann | + 2 ergibt 6 = 2x. Bei b) genauso: 5x − 4 = 2x + 8 | − 2x ergibt 3x − 4 = 8.Es ist egal, auf welcher Seite die x landen — nimm die Seite, auf der der Vorfaktor größer ist, dann bleibt er positiv.
Lösung: a) x = 3 und y = 3 + 4 = 7, also L = {(3 | 7)} · b) x = 4 und y = 2 · 4 + 8 = 16, also L = {(4 | 16)}
A22
Ein System mit negativer Steigung
AFB I
Bestimme den Schnittpunkt von I: y = −3x + 20 und II: y = 2x.
Ansatz: Setze gleich: −3x + 20 = 2x. Das Minus vor dem 3x ist kein Problem — es wird wie jeder andere Summand behandelt.Warum hilft das? Auch bei negativen Steigungen bleibt der Ablauf völlig unverändert.
Rechenweg: −3x + 20 = 2x | + 3x ergibt 20 = 5x. Jetzt nur noch durch 5 teilen. Für y nimmst du am besten II, weil dort nur eine Multiplikation steht.Das +3x auf beiden Seiten räumt das Minus weg — so rechnest du im Anschluss nur mit positiven Zahlen.
Lösung: x = 4 und y = 2 · 4 = 8. Probe in I: −3 · 4 + 20 = 8 ✓. Also L = {(4 | 8)}
A23
Erst umformen, dann gleichsetzen
AFB II
Löse das System I: 2x + y = 7 und II: y = x − 2.
Ansatz: Gleichung I ist noch nicht nach y aufgelöst. Bringe sie zuerst in die Form y = …, indem du 2x auf beiden Seiten abziehst.Warum hilft das? Gleichsetzen darfst du nur zwei y-Terme — 2x + y ist keiner.
Rechenweg: Aus 2x + y = 7 wird y = 7 − 2x. Damit lautet die Gleichsetzung 7 − 2x = x − 2. Sammle nun die x auf der rechten und die Zahlen auf der linken Seite.Wenn du | + 2x rechnest, bleibt rechts 3x stehen — positiver Vorfaktor, weniger Vorzeichenfehler.
Lösung: 7 − 2x = x − 2 | + 2x ergibt 7 = 3x − 2, | + 2 ergibt 9 = 3x, also x = 3 und y = 3 − 2 = 1. L = {(3 | 1)}
A24
Mit Kommazahlen rechnen
AFB II
Bestimme den Schnittpunkt von I: y = 0,5x + 1 und II: y = 2x − 5.
Ansatz: Setze gleich: 0,5x + 1 = 2x − 5. Kommazahlen ändern nichts am Vorgehen.Warum hilft das? 0,5x ist einfach „ein halbes x“ — du darfst damit rechnen wie mit jedem anderen Vielfachen von x.
Rechenweg: | − 0,5x ergibt 1 = 1,5x − 5, dann | + 5 ergibt 6 = 1,5x. Teile zum Schluss durch 1,5. Wer Kommazahlen nicht mag, multipliziert die ganze Gleichung vorher mit 2.Mal 2 macht aus 0,5x + 1 = 2x − 5 die Gleichung x + 2 = 4x − 10 — dieselbe Lösung, nur ohne Komma.
Lösung: x = 6 : 1,5 = 4 und y = 0,5 · 4 + 1 = 3. Probe in II: 2 · 4 − 5 = 3 ✓. L = {(4 | 3)}
A25
Vermischt: erst ablesen, dann rechnen
AFB IMix
Teil a) gehört zum vorigen Kapitel, Teil b) zu diesem — achte darauf, welches Werkzeug du gerade brauchst.
Ansatz: Für a) suchst du in der Zeichnung die Stelle, an der sich beide Geraden kreuzen, und liest beide Koordinaten ab. Für b) setzt du die beiden Terme gleich.Warum hilft das? Beide Wege beantworten dieselbe Frage — nur einmal mit dem Auge, einmal mit der Rechnung.
Rechenweg: In der Zeichnung liegt der Schnittpunkt auf einem Gitterpunkt, das Ablesen ist also exakt. Bei b) gilt 2x − 2 = x + 1 | − x ergibt x − 2 = 1.Vergleiche danach: Die Zeichnung zeigt dir das Ergebnis sofort, die Rechnung liefert es auch dann, wenn der Schnittpunkt zwischen den Gitterpunkten liegt.
Lösung: a) S (2 | 3) · b) x = 3 und y = 3 + 1 = 4, also S (3 | 4)
I: y = x + 1 und II: y = −x + 5
A26
Zwei Handytarife
AFB II
Tarif A kostet 8 € Grundgebühr und zusätzlich 0,10 € pro Gesprächsminute. Tarif B hat keine Grundgebühr, kostet aber 0,30 € pro Minute. Bei welcher Gesprächsdauer kosten beide Tarife gleich viel?
min
€
Ansatz: Stelle für jeden Tarif eine Gleichung auf. Nenne die Minuten x und die Kosten y: Tarif A ergibt y = 0,1x + 8, Tarif B ergibt y = 0,3x.Warum hilft das? „Gleich viel kosten“ heißt genau: dieselben Kosten y bei derselben Minutenzahl x — also gleichsetzen.
Rechenweg: 0,1x + 8 = 0,3x | − 0,1x ergibt 8 = 0,2x. Teile durch 0,2. Wenn dir das mit dem Komma unangenehm ist: Rechne in Cent, dann heißt es 10x + 800 = 30x.Der Schnittpunkt ist der Punkt, ab dem sich der Tarif mit Grundgebühr lohnt — davor ist B günstiger, danach A.
Lösung: x = 8 : 0,2 = 40 Minuten, y = 0,3 · 40 = 12 €. Probe in Tarif A: 0,1 · 40 + 8 = 12 ✓. Ab 40 Minuten im Monat ist Tarif A günstiger.
A27
Die fehlende Zahl
AFB II
Gegeben ist I: y = 2x + 1 und II: y = −x + b. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt bei x = 3.
Ansatz: Der Schnittpunkt liegt auf beiden Geraden. Berechne zuerst mit Gleichung I, welchen y-Wert die Stelle x = 3 hat.Warum hilft das? Sobald du den ganzen Punkt kennst, kannst du ihn in II einsetzen und nach b auflösen.
Rechenweg: Aus I folgt y = 2 · 3 + 1 = 7. Dieser Punkt (3 | 7) muss auch II erfüllen: 7 = −3 + b. Löse nun nach b auf.Alternative: Setze gleich (2x + 1 = −x + b), setze x = 3 ein und löse dieselbe Gleichung — das Ergebnis ist identisch.
Lösung: b = 10, denn 7 = −3 + 10. Die zweite Gerade lautet y = −x + 10, der Schnittpunkt ist (3 | 7).
A28
Für welches m gibt es keine Lösung?
AFB III
Gegeben ist I: y = 3x + 2 und II: y = m · x − 4, wobei m eine noch unbekannte Zahl ist.
Ansatz: Setze gleich: 3x + 2 = m · x − 4. Überlege, wann diese Gleichung keine Lösung haben kann.Warum hilft das? Keine Lösung entsteht genau dann, wenn beim Umformen alle x wegfallen und eine falsche Aussage übrig bleibt.
Rechenweg: Bringe alle x auf eine Seite: 3x − m · x = −6, also (3 − m) · x = −6. Ist 3 − m nicht null, kannst du teilen und bekommst genau eine Lösung. Nur bei 3 − m = 0 steht dort 0 = −6.Anschaulich: Gleiche Steigung bedeutet parallele Geraden. Weil die y-Achsenabschnitte 2 und −4 verschieden sind, fallen die Geraden nicht zusammen — es gibt also keinen gemeinsamen Punkt.
Lösung: a) m = 3, denn dann steht 3x + 2 = 3x − 4 und damit 2 = −4 (falsch), also L = { }. b) Für m = 5 ist 3 − 5 = −2 ≠ 0, es gibt genau 1 Lösung: 3x + 2 = 5x − 4 führt auf x = 3 und y = 11. Ein m mit unendlich vielen Lösungen gibt es hier nicht, weil dafür auch −4 = 2 gelten müsste.
A29
Drei Geraden, ein Punkt
AFB III
Gegeben sind g1: y = x + 1, g2: y = −x + 7 und g3: y = 2x − 2. Zeige rechnerisch, dass alle drei Geraden durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen.
Ansatz: Drei Geraden schneiden sich in einem Punkt, wenn der Schnittpunkt von zweien auch auf der dritten liegt. Berechne also zuerst den Schnittpunkt von g₁ und g₂.Warum hilft das? Du musst nicht alle drei Paare durchrechnen — ein Punkt und eine Probe genügen.
Rechenweg: x + 1 = −x + 7 | + x ergibt 2x + 1 = 7, also 2x = 6. Setze das gefundene x anschließend in g₃ ein und vergleiche das Ergebnis mit dem y aus Teil a).Stimmen beide y-Werte überein, liegt der Punkt auf allen drei Geraden — dann sagt man, die Geraden sind kopunktal.
Lösung: a) x = 3 und y = 3 + 1 = 4, also S (3 | 4). b) g₃ liefert y = 2 · 3 − 2 = 4 — derselbe Wert. Damit verlaufen alle drei Geraden durch S (3 | 4).
A30
Zeichnung und Rechnung im Vergleich
AFB IIAFB IIIMix
Die Zeichnung zeigt I: y = 1,5x − 2 und II: y = −0,5x + 2. Bestimme den Schnittpunkt rechnerisch und vergleiche ihn mit der Zeichnung.
Ansatz: Setze die beiden Terme gleich: 1,5x − 2 = −0,5x + 2. Für den letzten Teil vergleichst du nur die Steigungen.Warum hilft das? Die Zeichnung liefert dir eine Erwartung — die Rechnung liefert den Beweis.
Rechenweg: | + 0,5x ergibt 2x − 2 = 2, dann | + 2 ergibt 2x = 4. Für den dritten Teil: Zwei Geraden mit derselben Steigung 1,5, aber verschiedenen y-Achsenabschnitten (−2 und +2) sind parallel.Beim Gleichsetzen von 1,5x − 2 = 1,5x + 2 fällt das x weg und es bleibt −2 = 2 — eine falsche Aussage.
Lösung: x = 2 und y = 1,5 · 2 − 2 = 1, also L = {(2 | 1)} — genau der Punkt in der Zeichnung. Mit y = 1,5x + 2 gäbe es 0 Lösungen, denn die Geraden wären parallel.
